寧小涵， 周曉軍

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

維護(hù)是保障生產(chǎn)系統(tǒng)正常運(yùn)行、提高設(shè)備可靠性的有效手段.隨著市場(chǎng)需求的日趨多樣化，越來越多的制造企業(yè)采用面向訂單的生產(chǎn)模式.在這一模式下，由于原材料缺乏、需求不足等原因，生產(chǎn)系統(tǒng)常面臨著隨機(jī)的生產(chǎn)等待，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)整體停機(jī)，這也為系統(tǒng)維護(hù)帶來了機(jī)會(huì).為此，如何充分利用隨機(jī)生產(chǎn)等待以合理優(yōu)化系統(tǒng)的維護(hù)方案，對(duì)制造企業(yè)降低維護(hù)成本、提高生產(chǎn)效率有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

目前，已有的機(jī)會(huì)維護(hù)研究多圍繞如何利用系統(tǒng)中設(shè)備強(qiáng)制預(yù)防維護(hù)所引發(fā)的確定性停機(jī)時(shí)間進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù).Xia等[1]采用單維護(hù)時(shí)間窗方法判斷串行系統(tǒng)中的設(shè)備是否接受預(yù)先計(jì)劃的確定性預(yù)防維護(hù)機(jī)會(huì)，并對(duì)維護(hù)活動(dòng)進(jìn)行整合優(yōu)化.俞夢(mèng)琦等[2]則引入雙維護(hù)時(shí)間窗方法進(jìn)一步確定維護(hù)組合的最佳維護(hù)時(shí)刻.Zhou等[3]、Zhao等[4]和Nguyen等[5]基于設(shè)備的狀態(tài)判斷其是否接受這種確定性機(jī)會(huì).Zhou等[6]以最大化短期機(jī)會(huì)費(fèi)用節(jié)余為目標(biāo)，采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解，判斷是否接受強(qiáng)制預(yù)防維護(hù)引發(fā)的機(jī)會(huì).顯然，已有研究均集中于如何利用設(shè)備強(qiáng)制預(yù)防維護(hù)所引發(fā)的系統(tǒng)內(nèi)部維護(hù)機(jī)會(huì)，沒有考慮生產(chǎn)等待帶來的外部維護(hù)機(jī)會(huì)，不利于進(jìn)一步降低維護(hù)成本.

在利用外部機(jī)會(huì)的機(jī)會(huì)維護(hù)研究中，先期有學(xué)者針對(duì)確定性的外部機(jī)會(huì)進(jìn)行研究.Do van等[7]針對(duì)多設(shè)備串聯(lián)系統(tǒng)提出新的動(dòng)態(tài)成組維護(hù)策略，對(duì)預(yù)先已知的外部機(jī)會(huì)進(jìn)行維護(hù)活動(dòng)規(guī)劃.Nzukam 等[8]基于Bruss算法選擇最優(yōu)的外部機(jī)會(huì)對(duì)單設(shè)備系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù).Khatab等[9]考慮利用生產(chǎn)計(jì)劃中預(yù)先已知的生產(chǎn)間歇進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)，提出基于彈性維護(hù)力度的串并聯(lián)系統(tǒng)選擇性維護(hù)優(yōu)化模型.隨著市場(chǎng)需求的多樣化，生產(chǎn)等待的隨機(jī)性越來越高，為此，Li等[10]提出基于年齡的單設(shè)備更換策略，隨機(jī)生產(chǎn)等待到達(dá)時(shí)，若設(shè)備年齡達(dá)到機(jī)會(huì)更換閾值則對(duì)其進(jìn)行更換.Wu等[11]提出兩階段單設(shè)備機(jī)會(huì)維護(hù)策略，第1階段對(duì)設(shè)備進(jìn)行等周期檢測(cè)，第2階段利用隨機(jī)到達(dá)的生產(chǎn)等待進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)，以充分利用設(shè)備剩余壽命.Yang等[12]采用逆高斯分布來表示設(shè)備衰退增量，針對(duì)生產(chǎn)等待隨機(jī)到達(dá)的單設(shè)備系統(tǒng)，基于狀態(tài)維護(hù)與機(jī)會(huì)維護(hù)相結(jié)合的策略，獲得預(yù)防更換衰退閾值和機(jī)會(huì)更換衰退閾值.在考慮機(jī)會(huì)到達(dá)隨機(jī)性的基礎(chǔ)上，Truong等[13-14]還考慮機(jī)會(huì)持續(xù)時(shí)間的隨機(jī)性，提出基于時(shí)變持續(xù)時(shí)間閾值的單設(shè)備機(jī)會(huì)維護(hù)策略.綜合來說，由于隨機(jī)性導(dǎo)致決策過程復(fù)雜，目前對(duì)利用隨機(jī)外部機(jī)會(huì)進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)的研究多局限于單設(shè)備維護(hù)規(guī)劃層面，且沒有兼顧系統(tǒng)中其余設(shè)備強(qiáng)制預(yù)防維護(hù)帶來的內(nèi)部機(jī)會(huì).

本文以多設(shè)備串行生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮齊次泊松到達(dá)且持續(xù)時(shí)間隨機(jī)的生產(chǎn)等待，提出一種時(shí)間窗與引力窗相結(jié)合的維護(hù)決策模型，充分利用了生產(chǎn)等待帶來的外部維護(hù)機(jī)會(huì)以及系統(tǒng)中設(shè)備強(qiáng)制預(yù)防維護(hù)引發(fā)的內(nèi)部維護(hù)機(jī)會(huì)實(shí)施維護(hù)優(yōu)化，以獲取系統(tǒng)在維護(hù)規(guī)劃期內(nèi)的最優(yōu)維護(hù)計(jì)劃，為面臨隨機(jī)生產(chǎn)等待的串行系統(tǒng)維護(hù)決策優(yōu)化研究提供基礎(chǔ).

1 問題描述及維護(hù)策略

串行生產(chǎn)線中的生產(chǎn)等待如圖1所示，該生產(chǎn)線由n臺(tái)設(shè)備組成.以串行生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對(duì)象，在實(shí)際生產(chǎn)場(chǎng)景中，該生產(chǎn)線面臨隨機(jī)到達(dá)的生產(chǎn)等待且持續(xù)時(shí)間隨機(jī).通常，串行生產(chǎn)系統(tǒng)中任何一臺(tái)設(shè)備的停機(jī)往往意味著系統(tǒng)的整體停機(jī)，為了減少設(shè)備維護(hù)造成的停機(jī)時(shí)間，節(jié)約停機(jī)成本，可利用生產(chǎn)等待帶來的外部機(jī)會(huì)對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行維護(hù).

圖1 串行生產(chǎn)線中的生產(chǎn)等待Fig.1 Production waits in serial production line

在維護(hù)策略方面，對(duì)于串行生產(chǎn)系統(tǒng)中的每一臺(tái)設(shè)備，當(dāng)出現(xiàn)可接受的生產(chǎn)等待時(shí)，該設(shè)備實(shí)施機(jī)會(huì)維護(hù)；若在計(jì)劃的預(yù)防維護(hù)周期內(nèi)沒有生產(chǎn)等待被接受，則進(jìn)行預(yù)防維護(hù)；設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，則進(jìn)行故障小修.從整個(gè)系統(tǒng)的角度考慮，設(shè)備的同時(shí)維護(hù)也意味著系統(tǒng)停機(jī)成本的節(jié)約，故當(dāng)某些設(shè)備停機(jī)進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)或預(yù)防維護(hù)時(shí)，其余設(shè)備也存在著提前維護(hù)的內(nèi)部機(jī)會(huì).對(duì)于由設(shè)備強(qiáng)制預(yù)防維護(hù)(內(nèi)部機(jī)會(huì))引發(fā)的維護(hù)活動(dòng)，采用時(shí)間窗[1]判斷其余設(shè)備是否同時(shí)維護(hù)；而對(duì)于由設(shè)備接受生產(chǎn)等待(外部機(jī)會(huì))引發(fā)的維護(hù)活動(dòng)，由于每個(gè)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)的時(shí)刻并不固定，傳統(tǒng)時(shí)間窗無法有效組合這類維護(hù)活動(dòng)，所以引入引力窗判斷未接受生產(chǎn)等待機(jī)會(huì)的設(shè)備是否同時(shí)維護(hù).

基于以上維護(hù)策略，維護(hù)建模及決策分為兩部分.首先，建立一個(gè)隨機(jī)狀態(tài)下的設(shè)備層維護(hù)決策優(yōu)化模型，分別構(gòu)建機(jī)會(huì)維護(hù)和預(yù)防維護(hù)的期望維護(hù)成本模型，以最小化各維護(hù)周期內(nèi)各設(shè)備期望維修總成本率為目標(biāo)，獲得最優(yōu)設(shè)備時(shí)間窗和生產(chǎn)等待持續(xù)時(shí)間閾值并判斷是否接受生產(chǎn)等待的機(jī)會(huì)；其次，構(gòu)建綜合考慮內(nèi)部機(jī)會(huì)和外部機(jī)會(huì)的系統(tǒng)層維護(hù)決策優(yōu)化模型，以最小化維護(hù)規(guī)劃期內(nèi)系統(tǒng)維護(hù)總成本率為目標(biāo)，基于系統(tǒng)時(shí)間窗與引力窗相結(jié)合的維護(hù)模型獲得系統(tǒng)的最優(yōu)維護(hù)計(jì)劃.其中，引力窗的定義綜合考慮了機(jī)會(huì)到達(dá)時(shí)刻與持續(xù)時(shí)間、設(shè)備維護(hù)相關(guān)成本及機(jī)會(huì)與設(shè)備時(shí)間窗之間的關(guān)系對(duì)于系統(tǒng)層維護(hù)整合趨向的影響.

2 維護(hù)建模及決策

2.1 考慮隨機(jī)生產(chǎn)等待的單設(shè)備維護(hù)建模及決策

考慮到模型的復(fù)雜性，首先提出以下假設(shè)：① 預(yù)防維護(hù)與機(jī)會(huì)維護(hù)均為修復(fù)非新，且效果相同；② 故障小修僅恢復(fù)設(shè)備功能不改變其衰退狀況；③ 維護(hù)活動(dòng)和生產(chǎn)等待的持續(xù)時(shí)間相比于維護(hù)周期很短，故忽略不記；④ 生產(chǎn)等待到達(dá)服從齊次泊松過程，持續(xù)時(shí)間為已知分布的隨機(jī)變量[10-13].

預(yù)防維護(hù)和機(jī)會(huì)維護(hù)往往不會(huì)使設(shè)備恢復(fù)到全新狀態(tài).Pham等[15]概括總結(jié)了8種修復(fù)非新的建模方法，其中虛擬役齡法在工程實(shí)踐中應(yīng)用廣泛，故基于該建模思想，采用虛擬役齡描述設(shè)備狀態(tài)，并用虛擬役齡因子θ∈(0,1)表示維護(hù)設(shè)備健康衰退演化的影響，則第i臺(tái)設(shè)備在第j+1次維護(hù)后的虛擬役齡Ai,j+1為

Ai,j+1=Ai,j+θiTi,j+1

(1)

式中：θi為第i臺(tái)設(shè)備的虛擬役齡因子；Ti,j+1為第i臺(tái)設(shè)備第j+1個(gè)維護(hù)周期的長(zhǎng)度.

圖2 設(shè)備維護(hù)的兩種情況Fig.2 Two situations of equipment maintenance

(2)

預(yù)防維護(hù)總成本包括維護(hù)成本、停機(jī)成本和故障小修成本，故第i臺(tái)設(shè)備在第j個(gè)維護(hù)周期預(yù)防維護(hù)的期望維修成本率為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2.2 時(shí)間窗與引力窗相結(jié)合的系統(tǒng)維護(hù)建模及決策

(16)

(17)

圖3 針對(duì)強(qiáng)制預(yù)防維護(hù)的時(shí)間窗模型Fig.3 Time window model for mandatory preventive maintenances

而對(duì)于外部機(jī)會(huì)(接受生產(chǎn)等待)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)活動(dòng)，由于每個(gè)設(shè)備都分別通過設(shè)備時(shí)間窗判斷是否接受生產(chǎn)等待的機(jī)會(huì)，而不是在一個(gè)計(jì)劃的時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行維護(hù)，系統(tǒng)時(shí)間窗無法處理這類維護(hù)活動(dòng)的優(yōu)化整合，所以引入引力窗這一概念來進(jìn)一步對(duì)維護(hù)活動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化整合.

圖4 針對(duì)隨機(jī)生產(chǎn)等待的引力窗模型Fig.4 Gravity window model for stochastic production waits

類比于萬有引力公式Fiksys可以定義為

(18)

式中：G為引力常量；miksys為機(jī)會(huì)的“質(zhì)量”；Mi為第i臺(tái)設(shè)備時(shí)間窗的“質(zhì)量”；Riksys為機(jī)會(huì)與設(shè)備時(shí)間窗之間的“距離”.將萬有引力公式與機(jī)會(huì)維護(hù)策略相結(jié)合的關(guān)鍵在于如何定義以上“質(zhì)量”和“距離”.引力常量G是一個(gè)比例系數(shù)，為了計(jì)算方便，取為G=1 N·h2/元2；“質(zhì)量”表示維護(hù)整合趨向的大小.機(jī)會(huì)的持續(xù)時(shí)間和設(shè)備的停機(jī)成本影響這一趨向的大小，故機(jī)會(huì)的“質(zhì)量”miksys可定義為

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

基于以上所述的系統(tǒng)維護(hù)整合模型，具體決策步驟如下.

步驟1從系統(tǒng)初始活動(dòng)次數(shù)，即r=1開始，各設(shè)備處于全新狀態(tài)；

步驟2輸入各設(shè)備維護(hù)時(shí)間窗及質(zhì)心，并賦值給3個(gè)時(shí)刻tst、ten和tcen，即

步驟3判斷累計(jì)系統(tǒng)維護(hù)活動(dòng)次數(shù)是否達(dá)到維護(hù)規(guī)劃期Tsys.若是，結(jié)束系統(tǒng)維護(hù)規(guī)劃；否則，轉(zhuǎn)入步驟4；

(25)

(26)

(27)

步驟5進(jìn)入下一次維護(hù)活動(dòng)，賦值r=r+1，則

(28)

i=1,2,…,n

(29)

i=1,2,…,n

(30)

i=1,2,…,n

然后轉(zhuǎn)回步驟3進(jìn)行下一次維護(hù)活動(dòng)的維護(hù)規(guī)劃.

(31)

(32)

3 算例分析

3.1 算例概覽及策略對(duì)比

考慮一個(gè)由6臺(tái)串行設(shè)備組成的機(jī)械加工生產(chǎn)線，如車床、磨床、銑床等組成的串行生產(chǎn)系統(tǒng)，生產(chǎn)線維護(hù)規(guī)劃期Tsys=1 500 h.Weibull分布特別適用于機(jī)械加工設(shè)備的故障率建模，故假設(shè)該串行生產(chǎn)線中每臺(tái)設(shè)備的故障率分布均服從Weibull分布，即為

(33)

表1 設(shè)備參數(shù)Tab.1 Equipment parameters

為獲得時(shí)間窗和引力窗維護(hù)整合模型下系統(tǒng)的最優(yōu)維護(hù)策略，基于MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，系統(tǒng)維護(hù)模型的決策變量為Twin*和F*.Twin*取值以設(shè)備預(yù)防維護(hù)周期為依據(jù)，通過設(shè)備層的數(shù)值模擬得到系統(tǒng)中設(shè)備的最長(zhǎng)預(yù)防維護(hù)周期約為250 h，因此Twin*的搜索范圍為[0,250] h，搜索步長(zhǎng)為10 h，通過仿真得到F*的最優(yōu)取值落在[3,9] kN區(qū)間內(nèi)，即為搜索范圍，搜索步長(zhǎng)為0.1 kN.生產(chǎn)等待的隨機(jī)性給系統(tǒng)帶來了不確定性，因此利用仿真獲得系統(tǒng)平均總維護(hù)成本率，每次數(shù)值模擬均對(duì)系統(tǒng)做 2 000 次隨機(jī)場(chǎng)景中的仿真.

表2 系統(tǒng)維護(hù)時(shí)刻表Tab.2 System maintenance schedule

3.2 不同停機(jī)成本下的策略對(duì)比

圖5 不同停機(jī)成本下的系統(tǒng)維護(hù)總成本率分析Fig.5 Total cost rate analysis of system maintenances at different downtime costs

(34)

隨著停機(jī)成本的增加，φ的變化如圖6所示.由圖6可知，停機(jī)成本越大，φ越大，意味著引力窗改進(jìn)的效果越明顯.這是因?yàn)楫?dāng)停機(jī)成本增加時(shí)，設(shè)備更趨向于利用生產(chǎn)等待進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)，從而避免設(shè)備強(qiáng)制性預(yù)防維護(hù)導(dǎo)致巨額停機(jī)成本的情況.由仿真結(jié)果可知，當(dāng)κ=0.1時(shí)，最優(yōu)維護(hù)策略下，在維護(hù)規(guī)劃期內(nèi)由外部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)為10.152 5次，由內(nèi)部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)為6.928次；而當(dāng)κ=50時(shí)，最優(yōu)維護(hù)策略下，由外部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)為7.826次，由內(nèi)部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)僅為0.015次.故停機(jī)成本越大時(shí)，引力窗對(duì)于系統(tǒng)維護(hù)計(jì)劃的改進(jìn)越為重要；停機(jī)成本相對(duì)較小時(shí)，時(shí)間窗對(duì)于系統(tǒng)維護(hù)計(jì)劃的改進(jìn)越為重要.不同停機(jī)成本下的具體仿真及優(yōu)化結(jié)果如表3所示.

圖6 不同停機(jī)成本下的引力窗改善占比分析Fig.6 Analysis of the proportion of gravity window improvements at different downtime costs

表3 不同停機(jī)成本的仿真結(jié)果Tab.3 Simulation results of different downtime costs

3.3 不同生產(chǎn)等待到達(dá)頻率的策略對(duì)比

圖7 不同生產(chǎn)等待到達(dá)頻率下的系統(tǒng)維護(hù)總成本率分析Fig.7 Total cost rate analysis of system maintenances at different production wait frequencies

此外，隨著λ的增大，φ的變化如圖8所示.由圖8可知，λ越大，φ越大，意味著生產(chǎn)等待的到達(dá)越頻繁，引力窗改進(jìn)的效果越明顯.這是因?yàn)樯a(chǎn)等待的到達(dá)越頻繁，設(shè)備越大概率地利用生產(chǎn)等待進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù).由仿真結(jié)果可知，當(dāng)λ=0.025 次/h時(shí)，在維護(hù)規(guī)劃期內(nèi)由外部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)為7.462次，由內(nèi)部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)為 1.730 5 次；而當(dāng)λ=0.2 次/h時(shí)，由外部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)為14.082次，由內(nèi)部機(jī)會(huì)引發(fā)的系統(tǒng)維護(hù)的平均次數(shù)僅為 0.045 5 次.故生產(chǎn)等待的到達(dá)越頻繁，引力窗對(duì)于系統(tǒng)維護(hù)總成本率的改進(jìn)越為重要；生產(chǎn)等待到達(dá)相對(duì)稀疏時(shí)，時(shí)間窗對(duì)于系統(tǒng)維護(hù)總成本率的改進(jìn)越為重要.不同生產(chǎn)等待到達(dá)的頻率下的具體仿真及優(yōu)化結(jié)果如表4所示.

圖8 不同生產(chǎn)等待到達(dá)頻率下的引力窗改善占比分析Fig.8 Analysis of the proportion of gravity window improvements at different production wait frequencies

表4 不同生產(chǎn)等待到達(dá)頻率的仿真結(jié)果Tab.4 Simulation results of different production wait frequencies

4 結(jié)語(yǔ)

本文同時(shí)考慮了串行生產(chǎn)系統(tǒng)面臨的由預(yù)防維護(hù)引發(fā)的內(nèi)部維護(hù)機(jī)會(huì)以及由生產(chǎn)等待帶來的隨機(jī)外部維護(hù)機(jī)會(huì)，提出時(shí)間窗與引力窗相結(jié)合的機(jī)會(huì)維護(hù)策略.對(duì)設(shè)備和系統(tǒng)分別進(jìn)行維護(hù)建模，利用時(shí)間窗對(duì)內(nèi)部機(jī)會(huì)引發(fā)的維護(hù)活動(dòng)進(jìn)行整合，利用引力窗對(duì)外部機(jī)會(huì)引發(fā)的維護(hù)活動(dòng)進(jìn)行整合.算例分析結(jié)果表明，在復(fù)雜的參數(shù)環(huán)境中，相對(duì)于無維護(hù)整合模型和時(shí)間窗模型，時(shí)間窗與引力窗相結(jié)合的決策模型均可以獲得更低的系統(tǒng)維護(hù)總成本率，具有廣泛的適應(yīng)性與穩(wěn)定性，且隨著停機(jī)成本的增大或生產(chǎn)等待到達(dá)頻率的提高，引力窗的改善占比呈遞增趨勢(shì).因此，在停機(jī)成本較高或生產(chǎn)中斷頻繁發(fā)生的串行生產(chǎn)系統(tǒng)中，引力窗對(duì)于維護(hù)計(jì)劃的改進(jìn)更為重要.