何香林 劉竹琴
(延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 陜西 延安 716000)
當(dāng)彈簧可視為輕質(zhì)彈簧時,滿足胡克定律[1,2],但在研究實際彈簧振子的振動問題時,大多時候彈簧不可視為輕質(zhì)彈簧,文獻[3]詳細闡述了有質(zhì)量彈簧對振動的影響,也有大量文獻研究了單彈簧的等效質(zhì)量[4~6],這為本文提供了理論基礎(chǔ)與思考方向.在實際工程應(yīng)用中往往不只是有單彈簧與振子組成的振動系統(tǒng),更多的是諸如兩彈簧串聯(lián)、兩彈簧并聯(lián)、多彈簧串聯(lián)等分別與振子組成的復(fù)雜彈簧振子系統(tǒng),復(fù)雜彈簧振子等效質(zhì)量的確定仍有待研究.因為在豎直方向上彈簧質(zhì)量對振動周期影響最大[7],實驗效果最為明顯,所以本文將對豎直方向上兩串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量進行研究.研究結(jié)果為多彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量的確定以及實際工程應(yīng)用提供了實驗基礎(chǔ),使學(xué)生了解到振動周期不僅與振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)有關(guān),還與彈簧自身質(zhì)量、位置分布有關(guān).
1.1.1 周期的測量
多普勒效應(yīng)綜合實驗儀可以設(shè)置采樣步距、采樣次數(shù),并且能夠采集彈簧振子振動的v-t圖像.在簡諧振動過程中,采集到的v-t圖呈三角函數(shù)圖像,方向相同且最大的相鄰兩個速度所對應(yīng)的采樣次數(shù)之差乘以采樣步距的值等于周期.為方便計算以及減小實驗誤差,采樣步距設(shè)置為0.1 s,采樣次數(shù)設(shè)置為最多次數(shù)150次,第b次(即最后一次)與第1次速度最大且方向相同的采樣次數(shù)之差設(shè)為Nb-N1,則周期的計算滿足式(1),即
(1)
1.1.2 等效質(zhì)量的測量
在研究有質(zhì)量彈簧與振子所組成的振動系統(tǒng)的運動規(guī)律時,周期計算公式如式(2)[8],T,κ,m0,m分別為振動周期、彈簧勁度系數(shù)、振子質(zhì)量、彈簧等效質(zhì)量,兩邊平方整理得式(3).在此實驗中,收集多組振子質(zhì)量和與之對應(yīng)的周期平方的值,作T2-m0的二元一次函數(shù)圖,設(shè)其斜率為a、截距為d,聯(lián)立式(3)、(4)便可求出等效質(zhì)量的測量值.
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(3)
(4)
實驗裝置由紅外接收器、自由落體組件、底座及發(fā)生器、電磁閥、保護盒、砝碼、電子秤、質(zhì)量分別為5.8 g與11.0g的兩彈簧及導(dǎo)軌組成.當(dāng)兩彈簧串聯(lián)時,掛上振子后彈簧伸長量過大,為得到足夠的實驗數(shù)據(jù)以達到減小實驗誤差的目的,需將兩導(dǎo)軌串接,此時需放置保護盒,如圖1所示.
圖1 測量兩串聯(lián)彈簧等效質(zhì)量的實驗裝置圖
(1)令質(zhì)量為5.8 g的彈簧為彈簧1,11.0 g的彈簧為彈簧2,當(dāng)兩彈簧串聯(lián)后,彈簧1在固定端,即彈簧1懸掛于電磁閥上方的掛鉤孔中,振子懸掛于彈簧2一端,實驗步驟如下:
1)設(shè)置好多普勒效應(yīng)綜合實驗儀的相關(guān)參數(shù),將電子秤稱量好的振子質(zhì)量記錄于表1,適當(dāng)下拉振子使系統(tǒng)做簡諧運動,待其穩(wěn)定后,開始采集v-t圖像.
2)為減小實驗誤差,多次采集v-t圖像,多次記錄第一次與最后一次速度最大且方向相同采樣次數(shù)的差,并取平均值,利用式(1)可得周期,再平方即可得出周期平方的值并記錄于表中.
3)改變振子質(zhì)量,重復(fù)上述步驟,共收集6組振子質(zhì)量和與之對應(yīng)的周期平方的值.
4)在Excel中輸入6組數(shù)據(jù),得二元一次方程,并作出T2-m0函數(shù)圖像,聯(lián)立式(3)、(4)求出等效質(zhì)量的測量值.
5)利用函數(shù)圖像以及測量值,研究等效質(zhì)量與兩單彈簧自身質(zhì)量、勁度系數(shù)的關(guān)系.
(2)當(dāng)彈簧2在固定端時,步驟同上,并比較兩次的測量值是否一致.
2.2.1 數(shù)據(jù)記錄
(1)振子質(zhì)量分別為101.0 g,118.0 g,134.0 g,145.9 g,167.9 g,178.1 g,周期平方取小數(shù)點后4位.彈簧1懸掛于固定端時,所得數(shù)據(jù)如表1所示.
表1 彈簧1懸掛于固定端時的數(shù)據(jù)記錄表
(2)彈簧2懸掛于固定端時,所得數(shù)據(jù)如表2所示.
表2 彈簧2懸掛于固定端時的數(shù)據(jù)記錄表
2.2.2 數(shù)據(jù)處理
(1)彈簧1懸掛于固定端所對應(yīng)的線性回歸曲線,如圖2所示,其相關(guān)系數(shù)R2為0.999 2,趨近于1,趨勢線精確度較高.
圖2 彈簧1懸掛于固定端的T2-m0函數(shù)曲線圖
圖2所對應(yīng)的線性回歸方程為
T2=21.937m0+0.172 6
(5)
此時a為21.937,d為0.172 6,代入式(4),保留小數(shù)點后4位,解得彈簧等效質(zhì)量的測量值為7.868 0 g.
經(jīng)測量,彈簧1的勁度系數(shù)為3.087 1,彈簧2的勁度系數(shù)為4.561 0,測量方法與等效質(zhì)量測量方法類似,不同之處便是只需知道T2-m0函數(shù)圖像的斜率即可求出勁度系數(shù),這里不再贅述.設(shè)等效質(zhì)量與兩單彈簧自身質(zhì)量的關(guān)系如式(6),c1與η滿足的函數(shù)關(guān)系如式(7),c2與η滿足的函數(shù)關(guān)系如式(8),η為懸掛振子端與固定端彈簧勁度系數(shù)的比值[9].m1,κ1,c1分別為固定端彈簧的質(zhì)量、勁度系數(shù)、相關(guān)系數(shù),m2,κ2,c2為懸掛振子端彈簧的質(zhì)量、勁度系數(shù)、相關(guān)系數(shù).
m=c1m1+c2m2
(6)
(7)
(8)
(9)
聯(lián)立式(6)~(9)解出此時等效質(zhì)量的理論值為7.844 9 g,約等于測量值.理論值與測量值的百分誤差為0.29%,在誤差范圍內(nèi),則假設(shè)成立.
(2)彈簧2懸掛于固定端所對應(yīng)的線性回歸曲線,如圖3所示.其相關(guān)系數(shù)R2為0.998 9,趨近于1,趨勢線精確度較高.
圖3 彈簧2懸掛于固定端的T2-m0函數(shù)曲線
圖3所對應(yīng)的線性回歸方程為
T2=21.679m0+0.076 5
(10)
此時a為21.679,d為0.076 5,代入式(4),保留小數(shù)點后4位,解得彈簧等效質(zhì)量的測量值為3.528 8 g,與彈簧1懸掛于固定端所得等效質(zhì)量的值不一致.
聯(lián)立式(6)~(9)解出此時等效質(zhì)量的理論值為3.626 1 g,約等于測量值.理論值與測量值的百分誤差為2.68%,在誤差范圍內(nèi),則假設(shè)成立.
綜上可知:
(1)豎直方向兩串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與彈簧的位置分布有關(guān);
(2)等效質(zhì)量的大小與單彈簧自身質(zhì)量、勁度系數(shù)滿足關(guān)系式(6)~(9).
本文設(shè)計了基于多普勒效應(yīng)綜合實驗儀研究兩串聯(lián)彈簧等效質(zhì)量的方案,并將標(biāo)準(zhǔn)值與測量值進行了比較,實驗誤差分別為0.29%和2.68%,結(jié)果精確度較高.但本文在最初收集、處理實驗數(shù)據(jù)過程中得出的百分誤差較大,在多次收集、處理實驗數(shù)據(jù)后,才最終得出誤差較小的等效質(zhì)量的測量值.究其原因:
(1)與研究等效勁度系數(shù)不同的是,研究等效質(zhì)量所要求的精確度更高;
(2)采用質(zhì)量較輕的彈簧,函數(shù)圖像斜率與截距的微小變化都會嚴重影響到等效質(zhì)量的測量值與理論值的百分誤差.
通過本次實驗,可以提高學(xué)生的創(chuàng)新意識、競爭與合作意識、科技意識,以及培養(yǎng)學(xué)生批判、嚴謹認真、實事求是的科學(xué)態(tài)度.