李遠(yuǎn)政，丁 康，蔣 飛

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510641)

齒輪在制造和安裝過(guò)程中容易存在加工誤差和軸不對(duì)中，導(dǎo)致實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)產(chǎn)生幅值調(diào)制現(xiàn)象。此外，齒輪作為汽車(chē)變速器、風(fēng)力發(fā)電機(jī)組以及航空航天等重大裝備中的關(guān)鍵傳動(dòng)部件，長(zhǎng)期處于高速重載等惡劣的工作環(huán)境中，極易出現(xiàn)齒輪磨損、齒形誤差、齒輪軸彎曲等平穩(wěn)型故障，同樣使振動(dòng)信號(hào)中出現(xiàn)幅值調(diào)制成分[1-2]，進(jìn)一步增加了齒輪故障診斷的難度。因此，為了提高齒輪故障診斷的精度，急需一種齒輪振動(dòng)信號(hào)的精確幅值解調(diào)方法。

常用的幅值解調(diào)方法主要有希爾伯特包絡(luò)解調(diào)、廣義檢波濾波解調(diào)方法[3](平方解調(diào)、檢波濾波解調(diào)和高通絕對(duì)值解調(diào))、能量算子解調(diào)等。Ming等[4]迭代使用希爾伯特變換求包絡(luò)并減去信號(hào)的直流偏置，可以從軸承故障的多分量信號(hào)中消除確定性諧波分量，保留循環(huán)脈沖響應(yīng)的故障特征；Feng等[5]分別推導(dǎo)了行星輪軸承在內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體故障時(shí)的顯式調(diào)幅信號(hào)模型，并根據(jù)調(diào)幅信號(hào)包絡(luò)譜中出現(xiàn)的特征頻率成分進(jìn)行軸承故障診斷；Feng等[6]基于本征時(shí)間尺度分解，提出了一種聯(lián)合幅頻解調(diào)分析方法，將行星輪系的故障振動(dòng)信號(hào)分解為多個(gè)單分量信號(hào)，并借助包絡(luò)解調(diào)譜和頻率解調(diào)譜進(jìn)行太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈的故障診斷；Cheng等[7]利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)把多分量的調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)分解為多個(gè)固有模態(tài)函數(shù)(IMF)，并對(duì)每個(gè)IMF進(jìn)行能量算子解調(diào)得到包絡(luò)譜，用于滾動(dòng)軸承故障診斷。徐元博等[8]提出了對(duì)稱(chēng)差分解析能量算子，能從重度污染的信號(hào)中解調(diào)出微弱故障信號(hào)頻率。張文義等[9]利用能量算子解調(diào)法分別求解齒輪和軸承振動(dòng)信號(hào)的幅值解調(diào)譜，并用于齒輪箱復(fù)合故障診斷。陳向民等[10]對(duì)角域的周期平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行能量算子解調(diào)分析，利用階次解調(diào)譜提取故障特征。齒輪箱故障診斷實(shí)質(zhì)是根據(jù)故障特征頻率及其幅值變化識(shí)別故障，以上研究通過(guò)解調(diào)獲取了故障特征頻率，可初步判斷故障類(lèi)型和定位故障位置，但無(wú)法通過(guò)幅值的變化解釋故障程度和調(diào)制強(qiáng)度之間的關(guān)系。為了更好地診斷故障的程度，有必要研究更精確的信號(hào)解調(diào)方法。

Qin[11]采用迭代能量算子解調(diào)和自適應(yīng)低通濾波實(shí)現(xiàn)了多分量調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)的精確解調(diào)，比迭代希爾伯特變換和希爾伯特黃變換具有更高的精度，但其應(yīng)用的對(duì)象均為欠調(diào)制信號(hào)，未針對(duì)過(guò)調(diào)制情況進(jìn)一步討論。Yang等[12]基于平方解調(diào)、貝塞爾函數(shù)和最小二乘優(yōu)化算法，提出了一種抗噪性良好的高精度調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)分離方法。但缺點(diǎn)在于處理過(guò)調(diào)制信號(hào)時(shí)，調(diào)幅信號(hào)的分離誤差較大，進(jìn)而導(dǎo)致調(diào)頻信號(hào)分離精度顯著降低。由于無(wú)法保證實(shí)際故障振動(dòng)信號(hào)一定是欠調(diào)制，上述方法的應(yīng)用具有一定的局限性。

綜上所述，提出了一種通用的齒輪故障振動(dòng)信號(hào)的精確幅值解調(diào)方法。該方法基于齒輪故障振動(dòng)的調(diào)制信號(hào)模型，利用希爾伯特變換構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并用平方解調(diào)定義數(shù)學(xué)關(guān)系明確的約束方程，通過(guò)信賴(lài)域反射最小二乘優(yōu)化算法[13]解得調(diào)幅信號(hào)的幅值和相位參數(shù)，可以在信號(hào)過(guò)調(diào)制時(shí)恢復(fù)真實(shí)的調(diào)幅信號(hào)，而且對(duì)于欠調(diào)制信號(hào)也有很好的適用性。

1 精確幅值解調(diào)重構(gòu)方法

齒輪存在平穩(wěn)型故障時(shí)，在第k階嚙合頻率附近的齒輪振動(dòng)調(diào)制信號(hào)可描述為[14]

xk(t)=Ak[1+bk(t)]cos[2πkfmt+θk+ck(t)]

(1)

(2)

(3)

式中:Ak為第k階嚙合頻率幅值，這里默認(rèn)；fm為嚙合頻率；θk為第k階嚙合頻率相位；bk(t)、ck(t)分別為第k階嚙合頻率的調(diào)幅和調(diào)頻函數(shù)；i、l為調(diào)制階次；I、L為最大調(diào)制階次；fn為故障齒輪轉(zhuǎn)頻；Bi、φi分別為第i階調(diào)幅信號(hào)的幅值和相位；Cl、βl分別為第l階調(diào)頻信號(hào)的幅值和相位。

(4)

為方便描述，令階次k，i，l=1，得到故障調(diào)制信號(hào)x1(t)如式(4)所示，并利用希爾伯特變換對(duì)其進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)。

構(gòu)造解析函數(shù)z(t)：

(5)

由此可得信號(hào)x1(t)的包絡(luò)z(t)：

(6)

包絡(luò)解調(diào)的局限性體現(xiàn)在：當(dāng)幅值過(guò)調(diào)制，即|B1|>1時(shí)，包絡(luò)z(t)為原低頻調(diào)幅信號(hào)的絕對(duì)值，即低頻調(diào)幅信號(hào)幅值在零線(xiàn)以下的部分將被翻折至零線(xiàn)上方，如圖1所示。此時(shí)的包絡(luò)的頻譜圖2中將包含故障特征頻率fn的各階次諧波分量。

圖1 希爾伯特包絡(luò)

圖2 希爾伯特包絡(luò)頻譜

由此引出所提方法的核心思想：對(duì)待定系數(shù)的故障調(diào)制數(shù)學(xué)模型進(jìn)行希爾伯特變換得到包絡(luò)數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)信賴(lài)域反射最小二乘優(yōu)化算法求解包絡(luò)數(shù)學(xué)模型的幅值和相位參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)包絡(luò)數(shù)學(xué)模型與實(shí)際故障振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)的最優(yōu)匹配。無(wú)論實(shí)際故障振動(dòng)信號(hào)是過(guò)調(diào)制還是欠調(diào)制，利用包絡(luò)模型參數(shù)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)都能正確表示故障振動(dòng)信號(hào)的真實(shí)調(diào)幅。

該方法由帶通濾波和頻譜校正、優(yōu)化方程構(gòu)造、待定系數(shù)求解三大部分組成，流程如圖3所示。

圖3 方法流程框圖

1.1 帶通濾波和頻譜校正

1) 通過(guò)等間隔采樣獲取存在平穩(wěn)型故障的定軸齒輪箱在軸承座處的振動(dòng)加速度信號(hào)。

2) 對(duì)振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行帶通濾波，選取遠(yuǎn)離共振峰的某階嚙合頻率為濾波器中心頻率，并使濾波器通帶覆蓋此階嚙合頻率兩側(cè)的故障頻率調(diào)制邊帶。濾波后得到具有調(diào)幅調(diào)頻特征的故障振動(dòng)信號(hào)x(t)。

3) 由于齒輪實(shí)際振動(dòng)信號(hào)為包含噪聲的復(fù)雜多分量信號(hào)，信號(hào)采樣過(guò)程中難以做到整周期采樣，需要利用加漢寧窗的比值校正法[15]對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行頻譜校正，以獲取校正的故障特征轉(zhuǎn)頻fnc和校正的嚙合頻率fmc。

1.2 優(yōu)化方程構(gòu)造

1) 構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：包絡(luò)數(shù)學(xué)模型與實(shí)際故障振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)的誤差平方和最小。

① 結(jié)合頻譜校正的結(jié)果，構(gòu)造調(diào)幅模型yl(t)：

(7)

式中：a為待定的嚙合頻率幅值；bi、βi分別為待定的各階調(diào)制諧波的幅值和相位；Imax為待定的最大諧波調(diào)制階次；fnc為校正的故障齒輪轉(zhuǎn)頻。

根據(jù)平方解調(diào)的原理，對(duì)故障調(diào)制信號(hào)取平方，只保留不含高頻載波的低頻部分。無(wú)論信號(hào)是欠調(diào)制或過(guò)調(diào)制，低頻部分中都只包含直流分量、調(diào)制頻率基頻的諧波和調(diào)制頻率2倍頻的諧波[3]。故可根據(jù)故障振動(dòng)信號(hào)x(t)平方解調(diào)譜中實(shí)際出現(xiàn)的最高調(diào)制階次(記為2Imax)確定調(diào)幅信號(hào)模型的調(diào)制階次Imax。

② 用yl(t)調(diào)制已知的任意高頻(該方法選取校正后的嚙合頻率fmc)諧波信號(hào)yh(t)，得到待定系數(shù)的故障調(diào)制數(shù)學(xué)模型y(t)

(8)

③ 利用希爾伯特變換對(duì)y(t)進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)，得到待定系數(shù)的包絡(luò)模型yenv(t)

(9)

④ 確定優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：待定系數(shù)的包絡(luò)模型yenv(t)與故障振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)z(t)的誤差平方和最小，即

(10)

2) 為了進(jìn)一步提高待定系數(shù)的求解精度，加入等式約束方程：故障振動(dòng)信號(hào)x(t)平方解調(diào)譜中故障轉(zhuǎn)頻及其倍頻處的校正幅值與故障調(diào)制模型y(t)取平方得到的對(duì)應(yīng)頻率處的幅值表達(dá)式相等。

① 利用加漢寧窗的比值校正法對(duì)信號(hào)x(t)的平方解調(diào)譜進(jìn)行幅值校正，得到零頻、故障轉(zhuǎn)頻及其倍頻處的校正幅值A(chǔ)kfnc(k=0，1，2，…，2Imax)。

② 對(duì)式(8)所示的故障調(diào)制數(shù)學(xué)模型y(t)取平方，歸納零頻、故障轉(zhuǎn)頻及其倍頻kfnc(k=0，1，2，…，2Imax)處的幅值表達(dá)式akfnc見(jiàn)表1。

表1 幅值表達(dá)式

③ 令故障振動(dòng)信號(hào)x(t)平方解調(diào)譜的校正幅值與幅值表達(dá)式對(duì)應(yīng)相等，構(gòu)造等式約束方程為

Akfnc=akfnc

(11)

1.3 待定系數(shù)求解

2) 確定待定系數(shù)的求解初值：調(diào)制信號(hào)幅值和相位求解初值分別設(shè)為0.1和1。

3)式(7)所示調(diào)幅模型中的待定系數(shù)(a，b1，…，bImax，β1，…，βImax)共2Imax+1個(gè)，式(11)確定的等式約束方程個(gè)數(shù)也為2Imax+1個(gè)。利用信賴(lài)域反射最小二乘優(yōu)化算法[13]求解目標(biāo)函數(shù)，得到待定系數(shù)，完成故障振動(dòng)信號(hào)x(t)的精確幅值解調(diào)和調(diào)幅信號(hào)重構(gòu)。

若故障振動(dòng)信號(hào)同時(shí)存在多個(gè)轉(zhuǎn)頻調(diào)制，可分別對(duì)每個(gè)故障轉(zhuǎn)頻進(jìn)行調(diào)制階次的判斷和目標(biāo)函數(shù)、約束方程的構(gòu)造，該方法依然適用。

2 仿真分析

2.1 仿真一

為驗(yàn)證所提方法的通用性，給出一階欠調(diào)制仿真信號(hào)1x1(t)和一階過(guò)調(diào)制仿真信號(hào)2x2(t)為

x1(t)=3[1+0.6cos(2π14t+30°)]cos(2π360t)

(12)

x2(t)=2[1+1.5cos(2π10t+45°)]cos(2π360t)

(13)

設(shè)置采樣頻率fs=1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024。由于給定的仿真信號(hào)均為單分量信號(hào)，且滿(mǎn)足整周期采樣的要求，可以省略所提方法中帶通濾波和離散頻譜校正的步驟。直接對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行平方解調(diào)，圖4平方解調(diào)譜顯示2個(gè)調(diào)制頻率(10、14 Hz)的最高階次均為2階，根據(jù)1.2節(jié)分析，可將調(diào)幅信號(hào)數(shù)學(xué)模型的階次定為2/2=1階，如式(14)所示。

圖4 平方解調(diào)譜

y1(t)=a·[1+bcos(2πft+β)]

(14)

式中：a為待定載波信號(hào)幅值；b為待定調(diào)制信號(hào)幅值；f為調(diào)制頻率；β為待定調(diào)制信號(hào)相位。

由于無(wú)需頻譜校正，讀出圖4平方解調(diào)譜中零頻、調(diào)制頻率、調(diào)制頻率2倍頻處幅值見(jiàn)表2。

表2 平方解調(diào)譜幅值

對(duì)仿真信號(hào)1做希爾伯特變換得到包絡(luò)信號(hào)z1(t)，按式(10)構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并按式(11)添加平方解調(diào)譜幅值與幅值表達(dá)式對(duì)應(yīng)相等的約束方程，得到優(yōu)化方程見(jiàn)式(15)。利用信賴(lài)域反射最小二乘優(yōu)化算法求解式(15)，得到調(diào)幅信號(hào)待定系數(shù)。同理可求得仿真信號(hào)2的調(diào)幅信號(hào)待定系數(shù)。

(15)

仿真信號(hào)1、信號(hào)2的調(diào)幅信號(hào)待定系數(shù)求解結(jié)果及誤差如表3所示，欠調(diào)制信號(hào)的幅值參數(shù)求解誤差最大僅為0.5%，相位參數(shù)求解誤差僅為0.04%，過(guò)調(diào)制信號(hào)參數(shù)求解沒(méi)有誤差。

表3 調(diào)幅信號(hào)待定系數(shù)求解結(jié)果及誤差

將上述求解的幅值和相位參數(shù)代入式(14)重構(gòu)調(diào)幅信號(hào)。從圖5可見(jiàn)，信號(hào)1的包絡(luò)與解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜完全重合。從圖6可見(jiàn)，解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)的時(shí)域波形有過(guò)零部分，其頻譜只有零頻和一階調(diào)制頻率且其幅值與給定值相等，說(shuō)明此時(shí)重構(gòu)出的信號(hào)是真實(shí)的調(diào)幅信號(hào)；而信號(hào)2的包絡(luò)時(shí)域波形不再是真實(shí)的調(diào)幅信號(hào)，是把調(diào)幅信號(hào)零線(xiàn)下的部分翻折到了零線(xiàn)上方，且包絡(luò)頻譜中出現(xiàn)了調(diào)制頻率的高階倍頻。

圖5 欠調(diào)制仿真信號(hào)1解調(diào)重構(gòu)結(jié)果

圖6 過(guò)調(diào)制仿真信號(hào)2解調(diào)重構(gòu)結(jié)果

以上仿真充分說(shuō)明了該方法在信號(hào)欠調(diào)制和過(guò)調(diào)制時(shí)均實(shí)現(xiàn)了真實(shí)調(diào)幅信號(hào)的精確解調(diào)重構(gòu)，具有通用性。

2.2 仿真二

為驗(yàn)證所提方法對(duì)于多頻率調(diào)制振動(dòng)信號(hào)的解調(diào)效果，同時(shí)加入不同信噪比的白噪聲來(lái)檢驗(yàn)其抗噪性。仿真二選取文獻(xiàn)[12]基于平方解調(diào)和最小二乘優(yōu)化算法的幅值解調(diào)法(方法二)和文獻(xiàn)[2]希爾伯特變換解調(diào)法(方法三)作對(duì)比。

設(shè)置齒輪箱輸入軸、輸出軸齒輪齒數(shù)分別為24、56，輸入轉(zhuǎn)速為906 r/min，采樣頻率fs為4 096 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)T為2 s。給出無(wú)噪聲過(guò)調(diào)制仿真信號(hào)x(t)：

x(t)=2[1+0.6cos(2πfn1t+45°)+

1.4cos(2πfn2t+36°)+

1.2cos(4πfn2t+30°)]×

cos[2πfmt+45°]

(16)

式中:輸入軸齒輪轉(zhuǎn)頻fn1為15.1 Hz、嚙合頻率fm為362.4 Hz、輸出軸齒輪轉(zhuǎn)頻fn2為6.47 Hz。

用上下截止頻率分別為420 Hz和300 Hz的帶通濾波器處理仿真信號(hào)，得到嚙合頻率及其附近的調(diào)制邊帶，頻譜圖如圖7所示。利用加漢寧窗的比值校正法得到校正的嚙合頻率fmc、輸入軸轉(zhuǎn)頻fn1c、輸出軸轉(zhuǎn)頻fn2c分別為362.396 7、15.075 5、6.485 1 Hz。對(duì)帶通濾波后的仿真信號(hào)進(jìn)行平方解調(diào)，其平方解調(diào)譜如圖8所示，其中fn1和fn2的最高調(diào)制階次分別為2階、4階，根據(jù)1.2節(jié)的分析，將調(diào)幅信號(hào)數(shù)學(xué)模型中fn1和fn2階次分別定為 2/2=1階、4/2=2階，得到式(17)所示的調(diào)幅信號(hào)模型y2(t)。

圖7 過(guò)調(diào)制仿真信號(hào)

圖8 平方解調(diào)譜

y2(t)=a[1+b1cos(2πfn1ct+β1)+

b2cos(2πfn2ct+β2)+

b3cos(4πfn2ct+β3)]

(17)

用比值校正法校正平方解調(diào)譜中零頻、故障轉(zhuǎn)頻及其倍頻(fn1、2fn1、fn2、2fn2、3fn2、4fn2)的幅值，得到校正幅值A(chǔ)kfnc見(jiàn)表4。

表4 平方解調(diào)譜的校正幅值

(18)

對(duì)濾波后的仿真信號(hào)做希爾伯特變換得到包絡(luò)信號(hào)z2(t)，按式(10)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，并添加按式(11)構(gòu)造的約束方程，得到優(yōu)化方程如式(18)所示。利用信賴(lài)域反射最小二乘優(yōu)化算法求解式(18)，得到待定系數(shù)及誤差見(jiàn)表5。

表5 調(diào)幅信號(hào)待定系數(shù)及誤差

從表5可看出無(wú)噪聲條件下，該方法對(duì)于過(guò)調(diào)制信號(hào)的解調(diào)達(dá)到了很高的精度，最大幅值求解誤差為0.71%，最大相位求解誤差為0.89%。

圖9為過(guò)調(diào)制求解結(jié)果對(duì)比圖，可以看出：① 解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)有過(guò)零線(xiàn)的部分，說(shuō)明仿真信號(hào)中存在過(guò)調(diào)制現(xiàn)象；② 該方法解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)與仿真信號(hào)的真實(shí)調(diào)幅保持了高度一致。

圖9 求解結(jié)果對(duì)比

根據(jù)1.2節(jié)的分析，用解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)y2(t)調(diào)制嚙合頻率載波，再對(duì)其進(jìn)行解調(diào)，得到解調(diào)重構(gòu)的包絡(luò)yenv(t)。圖10為仿真信號(hào)的包絡(luò)z2(t)和解調(diào)重構(gòu)包絡(luò)yenv(t)的頻譜對(duì)比圖，由于存在過(guò)調(diào)制，頻譜中不僅有給定的故障調(diào)制頻率，還出現(xiàn)了故障調(diào)制頻率的更高階倍頻及2個(gè)故障調(diào)制頻率的差[3]，且兩信號(hào)在各個(gè)頻率處幅值都基本相等。以上結(jié)果表明，振動(dòng)信號(hào)有多個(gè)頻率調(diào)制的情況下，該方法也能實(shí)現(xiàn)真實(shí)調(diào)幅信號(hào)的精確重構(gòu)。

圖10 希爾伯特包絡(luò)頻譜

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的抗噪性，在仿真信號(hào)中分別添加信噪比為10、5、2 db的高斯白噪聲，分別利用該方法和方法二、三求解調(diào)幅信號(hào)待定系數(shù)20次，取20次計(jì)算結(jié)果的平均誤差，見(jiàn)表6。

由表6可知，隨著信號(hào)信噪比降低，該方法和方法二求解誤差都變大，方法三求解誤差變化不明顯，但該方法求解精度明顯好于方法二、三。加2 db白噪聲時(shí)該方法的幅值求解誤差仍可以控制在5%范圍內(nèi)，出現(xiàn)的最大相位求解誤差約為15.2%。而方法二在10 db小噪聲時(shí)的幅值和相位求解精度已經(jīng)很差，2 db噪聲時(shí)相位求解誤差更是達(dá)到了130%，已經(jīng)不適合用于求解過(guò)調(diào)制信號(hào)。方法三求解精度差的原因在于希爾伯特變換解調(diào)過(guò)調(diào)制信號(hào)時(shí)，包絡(luò)頻譜會(huì)出現(xiàn)高于實(shí)際調(diào)制階次的頻率成分，使頻譜能量分散，故在實(shí)際調(diào)制階次處的幅值誤差較大。綜上所述，該方法在解調(diào)過(guò)調(diào)制信號(hào)時(shí)有明顯的優(yōu)越性和良好的抗噪性。

表6 不同信噪比過(guò)調(diào)制信號(hào)待定系數(shù)平均誤差

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)對(duì)象為單級(jí)定軸齒輪箱，輸入軸、輸出軸齒輪齒數(shù)分別為24、56，傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)設(shè)備布置如圖11所示。由于彈性聯(lián)軸器的存在，傳動(dòng)系統(tǒng)不可避免地存在軸不對(duì)中，采用瑞典的激光對(duì)中儀TKSA51測(cè)量齒輪軸的不對(duì)中量。實(shí)驗(yàn)中將4個(gè)傳感器分別布置于輸入軸和輸出軸的軸承座上，采用姆勒貝姆(Müller-BBM)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集振動(dòng)加速度信號(hào)，設(shè)置采樣頻率為51 200 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)2 s。實(shí)驗(yàn)一、二為輸出軸不對(duì)中的平穩(wěn)型故障實(shí)驗(yàn)，齒輪箱輸入轉(zhuǎn)速1 000 r/min，負(fù)載200 N·m。2次實(shí)驗(yàn)前分別測(cè)得輸出軸不對(duì)中量為0.18 mm和1.35 mm。實(shí)驗(yàn)三為輸出軸齒輪斷齒、輸入軸不對(duì)中實(shí)驗(yàn)，分別給定輸入轉(zhuǎn)速800 r/min、負(fù)載0 N·m和輸入轉(zhuǎn)速1 200 r/min、負(fù)載50 N·m。實(shí)驗(yàn)前測(cè)得輸入軸、輸出軸不對(duì)中量分別為0.38、0.05 mm。

圖11 傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)設(shè)備布置

3.1 實(shí)驗(yàn)一：輕微平穩(wěn)型故障實(shí)驗(yàn)

采集輸出軸軸承座(測(cè)點(diǎn)1)處的振動(dòng)加速度信號(hào)，選取邊頻帶分布清晰的第三階嚙合頻率(記為fm)為濾波器中心頻率，用上下截止頻率分別為1 250、1 150 Hz的帶通濾波器處理實(shí)驗(yàn)信號(hào)。濾波后信號(hào)的頻譜如圖12所示，可以發(fā)現(xiàn)嚙合頻率兩側(cè)主要出現(xiàn)了輸出軸轉(zhuǎn)頻fn2及其高階倍頻調(diào)制的多階邊帶，此外也有一階輸入軸轉(zhuǎn)頻fn1調(diào)制的小幅值邊帶。說(shuō)明輸出軸存在更加明顯的不對(duì)中現(xiàn)象，考慮輸入軸屬于正常的對(duì)中誤差，這與故障設(shè)置相一致。

圖12 濾波后信號(hào)頻譜

y(t)=20.41[1+0.14cos(2πfn1ct)+

0.41cos(2πfn2ct+4.20)+

0.13cos(4πfn2ct+4.07)+

0.06cos(6πfn2ct+1.27)+

0.05cos(8πfn2ct+2.09)]

(19)

利用比值校正法得到校正后的第三階嚙合頻率fmc、輸入軸轉(zhuǎn)頻fn1c、輸出軸轉(zhuǎn)頻fn2c分別為1 199.036 4、16.709 0、7.112 4 Hz。從圖13平方解調(diào)譜判斷fn1、fn2調(diào)制階次分別為2/2=1階、8/2=4階，應(yīng)用所提方法得到解調(diào)重構(gòu)調(diào)幅信號(hào)，見(jiàn)式(19)。

圖13 平方解調(diào)譜

解調(diào)重構(gòu)結(jié)果如圖14所示，可以發(fā)現(xiàn)：① 圖14(a)中解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)全部在零線(xiàn)以上，說(shuō)明此狀態(tài)下實(shí)驗(yàn)信號(hào)為欠調(diào)制。解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)與實(shí)驗(yàn)信號(hào)的包絡(luò)時(shí)域波形吻合度很高，區(qū)別在于實(shí)驗(yàn)信號(hào)的包絡(luò)中存在更高頻的波動(dòng)，考慮其原因?yàn)椋浩椒浇庹{(diào)譜中調(diào)制頻率的高倍階次處的幅值相比于基頻很小，更容易被噪聲淹沒(méi)，可能導(dǎo)致人為判定的調(diào)幅信號(hào)階次稍微偏低。② 由圖14(b)可見(jiàn)，雖然實(shí)驗(yàn)信號(hào)的包絡(luò)存在更高階調(diào)制倍頻，但其幅值相比于零頻和調(diào)制基頻基本可以忽略，可認(rèn)為實(shí)驗(yàn)信號(hào)的包絡(luò)能量主要集中于零頻和低階調(diào)制頻率(fn1、fn2、2fn2、3fn2、4fn2)處，且在這些頻率處解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)幅值誤差很小。該方法的解調(diào)效果良好。

圖14 信號(hào)解調(diào)重構(gòu)結(jié)果

3.2 實(shí)驗(yàn)二：嚴(yán)重平穩(wěn)型故障實(shí)驗(yàn)

同樣采集測(cè)點(diǎn)1處的振動(dòng)信號(hào)并用與實(shí)驗(yàn)一相同的濾波器進(jìn)行帶通濾波，用所提方法處理濾波后的信號(hào)得到解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)，見(jiàn)式(20)。

y(t)=13.20[1+0.18cos(2πfn1ct+2.21)+

1.37×cos(2πfn2ct+1.21)+

0.61cos(4πfn2ct)+0.21×

cos(6πfn2ct+0.87)+

0.19cos(8πfn2ct+0.28)]

(20)

實(shí)驗(yàn)二信號(hào)解調(diào)重構(gòu)的結(jié)果如圖15所示，可以發(fā)現(xiàn)：① 圖15(a)中，解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)有明顯的過(guò)零部分，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)信號(hào)存在過(guò)調(diào)制。而實(shí)驗(yàn)信號(hào)的包絡(luò)沒(méi)有出現(xiàn)嚴(yán)格過(guò)零點(diǎn)，考慮其原因?yàn)椋航庹{(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)不包含噪聲，而實(shí)驗(yàn)信號(hào)受到噪聲影響，振動(dòng)信號(hào)和噪聲的矢量疊加使振動(dòng)信號(hào)原過(guò)零點(diǎn)處的幅值不再為零。② 圖15(b)中，解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅和實(shí)驗(yàn)信號(hào)包絡(luò)的頻譜出現(xiàn)了明顯差異，前者表示實(shí)驗(yàn)信號(hào)的真實(shí)調(diào)幅，僅在零頻和解調(diào)重構(gòu)的調(diào)制頻率(fn1、fn2、2fn2、3fn2、4fn2)處有幅值；而后者由于過(guò)調(diào)制，頻譜中出現(xiàn)了更高階調(diào)制倍頻，且明顯存在2個(gè)調(diào)制頻率的差。

圖15 信號(hào)解調(diào)重構(gòu)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)一、二的解調(diào)結(jié)果對(duì)比可知：① 齒輪箱存在輕微不對(duì)中時(shí)振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)為欠調(diào)制，大的不對(duì)中量則會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)信號(hào)過(guò)調(diào)制。② 雖然實(shí)驗(yàn)一解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)的調(diào)制階次與實(shí)驗(yàn)二相同，均為輸入軸1階、輸出軸4階，但兩者在調(diào)制強(qiáng)度上存在很大差異，若按傳統(tǒng)的解調(diào)方法得到齒輪故障調(diào)制頻率，只能定位故障位置，無(wú)法準(zhǔn)確判斷故障程度。該方法可以通過(guò)精確幅值解調(diào)來(lái)量化調(diào)制系數(shù)，說(shuō)明了該方法在精確故障診斷方面的優(yōu)越性。

3.3 實(shí)驗(yàn)三：輸出軸齒輪斷齒、輸入軸不對(duì)中實(shí)驗(yàn)

輸入轉(zhuǎn)速800 r/min和1 200 r/min 2種工況下的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)頻譜分別如圖16、圖17所示。800 r/min時(shí)，齒輪第一階嚙合頻率(320 Hz)附近無(wú)明顯共振峰；1 200 r/min時(shí)，齒輪第二階嚙合頻率(960 Hz)與1 200 Hz附近的共振峰存在耦合。分別在上述兩階嚙合頻率附近進(jìn)行帶通濾波，利用所提方法求出調(diào)幅參數(shù),見(jiàn)表7、表8。

圖16 800 r/min振動(dòng)響應(yīng)頻譜

圖17 1 200 r/min振動(dòng)響應(yīng)頻譜

表7 800 r/min調(diào)幅參數(shù)

表8 1 200 r/min調(diào)幅參數(shù)

解調(diào)結(jié)果顯示，800 r/min時(shí)第一階嚙合頻率附近有2階輸入軸轉(zhuǎn)頻調(diào)制、6階輸出軸轉(zhuǎn)頻調(diào)制，且輸出軸轉(zhuǎn)頻諧波的幅值較??；1 200 r/min時(shí)第二階嚙合頻率附近只有3階輸出軸轉(zhuǎn)頻調(diào)制，階次少但調(diào)制強(qiáng)度大。

實(shí)驗(yàn)三主要是輸入軸不對(duì)中，但2種工況下的解調(diào)信號(hào)都是輸出軸轉(zhuǎn)頻階次明顯高于輸入軸，原因在于：周期性斷齒沖擊激勵(lì)容易激起系統(tǒng)共振峰且全頻帶內(nèi)都會(huì)產(chǎn)生以斷齒齒輪轉(zhuǎn)頻為間隔的離散諧波成分，由于嚙合頻率是齒輪轉(zhuǎn)頻的整數(shù)倍，這些以斷齒齒輪轉(zhuǎn)頻為間隔的離散邊帶會(huì)延伸到嚙合頻率兩側(cè)并產(chǎn)生調(diào)制現(xiàn)象。另外，嚙合頻率靠近共振峰會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)信號(hào)的調(diào)制強(qiáng)度變大。

用解調(diào)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)乘以嚙合頻率的載波，再對(duì)其進(jìn)行希爾伯特解調(diào)，得到解調(diào)重構(gòu)的包絡(luò)信號(hào)。圖18顯示，800 r/min時(shí)在求出的2階輸入軸轉(zhuǎn)頻和6階輸出軸轉(zhuǎn)頻處，兩包絡(luò)信號(hào)重合度較高。由表8可知，1 200 r/min時(shí)重構(gòu)的調(diào)幅信號(hào)會(huì)有過(guò)零點(diǎn)，其經(jīng)過(guò)調(diào)制解調(diào)后得到的重構(gòu)包絡(luò)信號(hào)頻譜將有輸出軸轉(zhuǎn)頻fn2的多階倍頻。圖19顯示在前4階輸出軸轉(zhuǎn)頻處，解調(diào)重構(gòu)的包絡(luò)與實(shí)驗(yàn)信號(hào)包絡(luò)的幅值基本吻合。

圖18 800 r/min包絡(luò)信號(hào)對(duì)比

圖19 1 200 r/min包絡(luò)信號(hào)對(duì)比

綜上，嚙合頻率或其倍頻附近的振動(dòng)信號(hào)分別在非共振區(qū)、共振區(qū)取得了良好的解調(diào)效果，驗(yàn)證了該方法用于處理斷齒沖擊型故障的有效性。

4 結(jié)論

提出了一種齒輪故障調(diào)制信號(hào)的精確幅值解調(diào)方法。利用希爾伯特變換構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并加入基于平方解調(diào)構(gòu)造的約束方程，最后用信賴(lài)域反射最小二乘優(yōu)化算法求解調(diào)幅參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了過(guò)調(diào)制情況下真實(shí)調(diào)幅信號(hào)的解調(diào)重構(gòu)，同時(shí)對(duì)欠調(diào)制信號(hào)也具有適用性。實(shí)驗(yàn)表明，齒輪出現(xiàn)輕微平穩(wěn)型故障時(shí)振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)為欠調(diào)制，嚴(yán)重故障則會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)信號(hào)出現(xiàn)過(guò)調(diào)制。斷齒故障導(dǎo)致全頻帶內(nèi)產(chǎn)生的離散諧波成分會(huì)影響嚙合頻率附近振動(dòng)信號(hào)的調(diào)制強(qiáng)度。該方法處理平穩(wěn)型和斷齒沖擊型實(shí)驗(yàn)信號(hào)均取得了良好的解調(diào)效果，且根據(jù)平穩(wěn)型故障時(shí)解調(diào)結(jié)果的差異可以判斷齒輪箱的故障程度。該方法的具體優(yōu)點(diǎn)如下：

1) 拓展了基于希爾伯特變換解調(diào)幅的適用范圍，既可用于處理欠調(diào)制信號(hào)，也可用于處理過(guò)調(diào)制信號(hào)，具有通用性。

2) 解調(diào)精度高。仿真表明在無(wú)噪聲條件下，求解一階欠調(diào)制信號(hào)的幅值參數(shù)最大誤差為0.5%，相位參數(shù)誤差為0.04%；求解一階過(guò)調(diào)制信號(hào)時(shí)幅值和相位參數(shù)無(wú)誤差，求解多階過(guò)調(diào)制信號(hào)時(shí)最大幅值和相位誤差不超過(guò)1%。

3) 抗噪性好。與現(xiàn)有的基于平方解調(diào)和最小二乘優(yōu)化算法的幅值解調(diào)方法(方法二)和希爾伯特變換解調(diào)法(方法三)作對(duì)比。仿真表明，加入信噪比2 db的白噪聲后，過(guò)調(diào)制時(shí)該方法幅值參數(shù)和相位參數(shù)的最大求解誤差分別為4.12%、15.2%；方法二幅值參數(shù)最大求解誤差為55.1%，相位求解誤差更是達(dá)到了130%；方法三幅值和相位的最大求解誤差分別為62.4%和43.1%。