張 桓，張 悅

(東北大學(xué) 理學(xué)院， 沈陽 110819)

隨著人類對海洋漁業(yè)的生物資源需求的增加，合理的捕撈及有效利用市場資源越發(fā)重要。海洋管理需要實現(xiàn)可持續(xù)開發(fā)一直是生物學(xué)家與經(jīng)濟學(xué)家關(guān)注的熱點問題[1-2]?？紤]一個標準的漁業(yè)開放模型[3]，研究文獻經(jīng)常將價格考慮為不變量。1954年Gordon[4]把價格成本引進生物經(jīng)濟模型，假設(shè)單位價格和捕獲成本為常數(shù)，而漁業(yè)的價格和市場結(jié)構(gòu)變化迅速，市場價格受漁業(yè)供給關(guān)系影響。針對管理市場價格相互作用的需要，建立了漁業(yè)經(jīng)濟模型[5]，因此，在模型的基礎(chǔ)上添加了市場上資源價格的動態(tài)變化。根據(jù)文獻[6]，價格的變化取決于需求函數(shù)(魚類的銷售量)和供給函數(shù)(漁獲量)之間的關(guān)系。文中假設(shè)價格變化快于魚類庫存量的變化，因此通過一個小的正參數(shù)s來調(diào)整價格動態(tài)，稱為價格動態(tài)變化速度[7]。該參數(shù)反映了市場價格的彈性變化。

不僅如此，在漁業(yè)模型中，時滯現(xiàn)象的考慮也成為新的突破點。描述不同生態(tài)相互作用的時滯總是不同的，因此分別討論每種時滯對魚類種群和市場價格的動力學(xué)的影響有助于確立合適的管理措施。Celik[8]研究了一類種群具有時滯的模型，以時滯τ為參數(shù)，分析了模型唯一正平衡點的局部漸近穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性。魚類種群與市場價格的動態(tài)發(fā)展趨勢不僅依賴于當前的狀態(tài)，還依賴于過去或未來某一時間段的狀態(tài)影響。引入時滯會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性并產(chǎn)生分支，而系統(tǒng)中分支的出現(xiàn)將使?jié)O業(yè)的變化規(guī)律更加的復(fù)雜。葉志勇等[9-10]探討了經(jīng)典生物模型的穩(wěn)定性與Hopf分支。劉聰穎等[11-12]根據(jù)對兩類具有時滯的種群動力學(xué)模型的定性分析，結(jié)合穩(wěn)定性理論討論了正平衡點的全局漸近穩(wěn)定的充分條件。秦麗等[13-14]討論了雙時滯在階段結(jié)構(gòu)的模型中平衡點的局部漸近穩(wěn)定性及Hopf分支。因此，本文選用具有時滯的微分方程分析動態(tài)模型。俞美華[15]研究了價格變化的生物種群經(jīng)濟捕獲模型，并在此基礎(chǔ)上建立具有時滯的經(jīng)濟捕獲模型，采用時滯方程的穩(wěn)定性理論對正平衡點穩(wěn)定性進行分析，從而得出時滯會改變平衡點穩(wěn)定性的結(jié)論。

本文從新型動態(tài)價格下種群的Logistic生長模型出發(fā)，根據(jù)具有雙時滯和價格的復(fù)雜性的生物經(jīng)濟模型，通過改變時滯和復(fù)雜性參數(shù)來檢驗局部穩(wěn)定性和存在性。研究了Hopf分支方向和分支的穩(wěn)定性，分析了生物捕撈業(yè)復(fù)雜性和多時間延遲對生物經(jīng)濟捕食者-種群模型動力學(xué)的影響。

1 模型的建立

考慮一個有關(guān)漁業(yè)在動態(tài)價格下[16]具有雙時滯的Logistic模型，系統(tǒng)描述如下：

(1)

式中：x(t)是在t時刻的魚群儲存量(t)，x(0)=x0>0；p(t)是儲存量在t時刻的單價(萬元/t)，p(0)=p0>0；a-p(t)為正線性需求函數(shù)[17]；Y是常數(shù)捕獲率(t/天)；r為魚群每日的內(nèi)稟增長率；τ1、τ2分別表示魚群和市場價格的時間延遲；k為環(huán)境承載能力(t)；s為價格動態(tài)變化速度；a為正常數(shù)參數(shù)，表示市場容量。

2 局部穩(wěn)定性與Hopf分支

以下討論正平衡點E的局部漸近穩(wěn)定性與在平衡點E處Hopf分支的存在性。

(2)

其雅克比矩陣為：

系統(tǒng)(2)對應(yīng)的特征方程：

(3)

現(xiàn)在討論以下5種情況下，2個時滯對正平衡點E穩(wěn)定性的影響。

1) 只有魚類種群受時滯影響，即τ1>0，τ2=0。

在此情況下，特征方程(3)可簡化為：

λ2+(Ae-λτ1+s)λ+sAe-λτ1=0

(4)

假設(shè)λ=iω1為方程的一個根，將iω1(ω>0)代入方程(4)中，則有

(5)

分離上述方程的虛部與實部，得：

(6)

把上述方程的兩端平方相加，得到關(guān)于ω1的方程：

(7)

(k=0，1，2，…)，對應(yīng)的τ1k>0使得方程(4)有一對純虛根±iω10。

運用Butler引理[18]，可以得出在s2+A2<6s2A2條件下，當τ1<τ10時，模型(2)的內(nèi)部平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。

接下來，對方程(4)求關(guān)于τ1的導(dǎo)數(shù)：

當|τ1-τ10|<<1時，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個周期解分支，該分支來自正平衡點E在τ1=τ10附近的分支。

當τ1>τ10時，模型(2)的正平衡點E是不穩(wěn)定的。

2) 只有市場價格受時滯影響，即τ1=0，τ2>0。

類似于1)的分析過程，有下述結(jié)果：

當s2+A2>6s2A2時，特征方程存在唯一正實根ω20。 其對應(yīng)的時滯為：

(k=0，1，2，…)

當τ2>τ20時，模型(2)的正平衡點E是不穩(wěn)定的。

3) 當魚類種群與市場價格均受時滯影響，τ1為參數(shù)，即τ1>0，τ2∈[0，τ20)，并且τ1≠τ2。

在此情況下，特征方程為:

λ2+(Ae-λτ1+se-λτ2)λ+

sAe-λ(τ1+τ2)=0

(8)

設(shè)λ=iω11(ω11>0)為方程的一個根，將iω11代入方程(5)中，則：

sAe-iω11(τ1+τ2)=0

(9)

分離上述方程的虛部與實部，并將所得方程兩邊平方相加，得到關(guān)于ω11的方程：

2sA2ω11sinω11τ2+s2A2=0

(10)

當滿足s2+A2>6s2A2時，關(guān)于上述方程存在唯一正實根ω11。

(m=0，1，2，…)

對應(yīng)的τ1m>0使得方程(8)有一對純虛根±iω11。

運用Butler引理[18]可以得出：在s2+A2<6s2A2條件下，當τ1>0，τ2∈[0，τ20)時，模型(2)的內(nèi)部平衡點是漸近穩(wěn)定的。

對方程(8)求關(guān)于τ1的導(dǎo)數(shù)，并計算：

當τ1∈[0，τ10)，τ2∈[0，τ20)時，

模型(2)的正平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的；

當τ1=τ10時，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個周期解分支，該分支來自于正平衡點E在τ1=τ10附近的分支。

當τ2∈[0，τ20)，τ1>τ10時，模型(2)的正平衡點E是不穩(wěn)定的。

4) 當魚類種群與市場價格均受時滯影響，τ2為參數(shù)，即τ1∈[0，τ10)，τ2>0，并且τ1≠τ2。

類似于2.3的分析過程，有下述結(jié)果：

當滿足s2+A2>6s2A2時，關(guān)于方程：

2s2Aω22sinω22τ1-s2A2=0

(11)

存在正實根ω22，其對應(yīng)的時滯為：

(n=0，1，2，…)

當τ1∈[0，τ10)，τ2∈[0，τ20)時，

模型(2)的正平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的；

當τ2=τ20時，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個周期解分支，該分支來自于正平衡點E在τ2=τ20附近的分支。

當τ1∈[0，τ10)，τ2>τ20時，模型(2)的正平衡點E是不穩(wěn)定的。

5) 當魚類種群與市場價格均受相同時滯影響，即τ1=τ2=τ(τ>0)

此時，特征方程變成：

λ2+(A+s)λe-λτ+sAe-2λτ=0

(12)

在方程(12)兩邊同時乘以eλτ，可得:

λ2eλτ+(A+s)λ+sAe-λτ=0

(13)

假定λ=iω(ω>0)是(13)的根，則有：

-ω2eiωτ+(A+s)iω+sAeiωτ=0

(14)

分離上述方程的虛部與實部：

(15)

將上述方程兩邊平方相加，得到關(guān)于ω的方程：

ω4+s2A2-2ω2sA(cos2ωτ-sin2ωτ)-

(A+s)2ω2=0

(16)

當滿足s2+A2-4s2A2+2As>0時，關(guān)于上述方程存在唯一正實根ω0。

(j=0，1，2，…)

對應(yīng)的τj>0使得方程(12)有一對純虛根±iω0。

在s2+A2-4s2A2+2As<0條件下，當τ<τ0=min{τj}時，模型(2)的內(nèi)部平衡點是漸近穩(wěn)定的。

假設(shè)λ(τ)=x(τ)+iω(τ)是方程(12)在τ=τ0處的根。則方程(12)關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)為：

從而得到橫截性條件：

定理5對于模型(2)，若s2+A2-4s2A2+2As<0成立，則：當τ<τ0，

模型(2)的正平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的；

當τ=τ0時，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個周期解分支，該分支來自正平衡點E在τ=τ0附近的分支。

當τ>τ0時，模型(2)的正平衡點E是不穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬算例

令模型(2)中，r=0.015，k=1 802.6，Y=7，a=800，s=0.005，則模型(2)存在平衡點E1，這些系數(shù)滿足上述條件，當不考慮時滯時，正平衡點E1漸近穩(wěn)定，如圖1所示。

圖1 當τ1=τ2=0時，平衡點E1漸近穩(wěn)定曲線

令模型(2)中，r=0.015，k=1 703.2，Y=7，a=800，s=0.071，則模型(2)存在平衡點E1。當只有市場價格受時滯影響時，τ1=0，基于第2部分的分析，當這些系數(shù)滿足上述條件，根據(jù)計算可得ω20，τ20。圖2表明：當τ1=0，τ2=10.35時，平衡點E1漸近穩(wěn)定；當τ1=0，τ2穿過τ20時一個穩(wěn)定的周期解從平衡點E1分支出來。

圖2 當τ1=0，τ2=10.35時，系統(tǒng)出現(xiàn)漸近穩(wěn)定曲線；當τ1=0，τ2=22.12時，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解曲線

令模型(2)中，r=0.015，k=1 802.6，Y=7，a=800，s=0.989，則模型(2)存在平衡點E1。當只有魚類種群受時滯影響時，τ2=0，基于第2部分的分析，當系數(shù)滿足上述條件，根據(jù)計算可得ω10，τ10。圖3表明：當τ1=39，τ2=0時，平衡點E1漸近穩(wěn)定；當τ2=0，τ1穿過τ10時一個穩(wěn)定的周期解從平衡點E1分支出來。

圖3 當τ1=39，τ2=0時，系統(tǒng)出現(xiàn)漸近穩(wěn)定曲線；當τ1=45.3，τ2=0時，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解曲線

令模型(2)中，r=0.015，k=1 602.6，Y=7，a=800，s=0.076，則模型(2)存在平衡點E1，對固定的時間延遲τ1=2，當系數(shù)滿足上述條件，可計算得出ω22，τ20。圖4表明：當τ1=2，τ2=16時，平衡點E1漸近穩(wěn)定；當τ1=2，τ2穿過τ20時一個穩(wěn)定的周期解從平衡點E1分支出來。

圖4 當τ1=2，τ2=16時，系統(tǒng)出現(xiàn)漸近穩(wěn)定曲線；當τ1=2，τ2=20.7時，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解曲線

4 結(jié)論

1) 研究分析，當模型(2)存在正平衡點時，在不考慮時滯即τ1=τ2=0的情況下，此時正平衡點漸近穩(wěn)定。雙時滯在5種不同情況下會影響模型正平衡點的穩(wěn)定性。

2) 當只有市場價格(或只有魚類種群受時滯影響)時，若上述條件成立，則當時滯滿足τ1=0，τ2∈[0，τ20)(或τ1∈[0，τ10)，τ2=0)時，漁業(yè)模型(2)的正平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的，當τ2=τ20(或τ1=τ10)時，發(fā)生Hopf分叉，此時穩(wěn)定的周期解出現(xiàn)。

3) 當魚類種群與市場價格均受時滯影響，τ1為參數(shù)，若上述條件成立，則當時滯τ1>0，τ2∈[0，τ20)時，漁業(yè)模型(2)的正平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的，意味著此時漁業(yè)種群與市場價格都趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當τ1=τ10時，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個周期解分支，該分支來自于正平衡點E在τ1=τ10附近的分支。

4) 而當漁業(yè)種群與市場價格均受相同時滯影響，即τ1=τ2=τ，當滿足相應(yīng)條件時，模型(2)的內(nèi)部平衡點是漸近穩(wěn)定的。說明當時滯達到某個臨界值時，會影響種群與市場價格平衡的穩(wěn)定性并導(dǎo)致Hopf分支的出現(xiàn)。

5) 通過時滯的影響，漁業(yè)活動的穩(wěn)定性和市場價格進一步得到了保證，在適當?shù)臅r候?qū)τ谧顑?yōu)捕魚期和生物休漁期的制定管理措施有一定的幫助。本模型的一個重要局限性是沒有考慮環(huán)境影響的隨機性，接下來將在模型的基礎(chǔ)上引入隨機變量研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。