史亞丹

湖南信息學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410100

1 引言

矩陣的對(duì)角化是線性代數(shù)的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容,其中實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形更是將線性代數(shù)和解析幾何緊密結(jié)合在一起。任意實(shí)對(duì)稱矩陣都可以通過(guò)正交變換相似對(duì)角化,當(dāng)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是重根時(shí),常見(jiàn)的方法是用Schmidt正交法將重根對(duì)應(yīng)的特征向量正交化,再進(jìn)行單位化[1]。但是Schmidt正交化的公式較為繁多且計(jì)算復(fù)雜,導(dǎo)致許多學(xué)生在解題過(guò)程中容易忘記公式或計(jì)算錯(cuò)誤。很多數(shù)學(xué)研究工作者對(duì)此做了大量研究,提出了不同的求解方法[2-8]。這些方法中包含了線性方程組法、矩陣變換法、向量空間法等,理解略有些復(fù)雜。

本文通過(guò)正交向量組中向量的兩兩正交性,以及自由未知量的不同選擇,研究了n階實(shí)對(duì)稱矩陣A=（aij）n×n（aij=aji）有n-1重根特征值時(shí)的正交對(duì)角化問(wèn)題,給出了快速求解正交矩陣的簡(jiǎn)便方法,然后用例題進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

2 直接正交對(duì)角化的簡(jiǎn)便方法

設(shè)λi為n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的n-1重根特征值,對(duì)應(yīng)可以得到一組n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,進(jìn)而正交對(duì)角化。

現(xiàn)將（λiE-A）x=0的系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)型為

（其中a12,a13,…,a1n不全為零）。則（λiE-A）x=0的一個(gè)同解方程組為

以此類推,可獲得屬于特征值λi的一組正交的特征向量。與常規(guī)方法比較,上述方法更直觀簡(jiǎn)便,且避開(kāi)了Schmidt正交化法,減少了計(jì)算量。

3 直接正交對(duì)角化方法的舉例

3.1 三階實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化

若三階實(shí)對(duì)稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為二重根。

ξ1,ξ2,ξ3兩兩正交,單位化得

3.2 四階實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化

若四階實(shí)對(duì)稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為三重根。

當(dāng)λ=6時(shí),由（6E-A）x=0得到特征向量ξ4=（-1 1-1 1）T.

ξ1,ξ2,ξ3,ξ4兩兩正交,單位化后得到正交矩陣

3.3 五階實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化

若五階實(shí)對(duì)稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為四重根。

λ1=λ2=λ3=λ4=1,λ5=-4

當(dāng)λ=1時(shí),

對(duì)應(yīng)的同解方程組為x1+x2+x3+x4+x5=0.取后4個(gè)未知數(shù)為自由未知量,得到屬于λ=1的第一個(gè)特征向量為ξ1=（-1 1 0 0 0）T;令前4個(gè)未知數(shù)為自由未知量,得到屬于λ=1且與ξ1正交的第二個(gè)特征向量為ξ2=（0 0 0 1-1）T;觀察可知與ξ1和ξ2都正交的特征向量可設(shè)定為 （a a b c c）T,代入同解方程組中可得b=-2a-2c,可取第三個(gè)正交特征向量為ξ3=（1 1-4 1 1）T;第四個(gè)正交特征向量依然可設(shè)為 （a a b c c）T,且與ξ3也正交,又可得2b=a+c,綜合可得到ξ4=（1 1 0-1-1）T.

當(dāng)λ=-4時(shí),由 （-4E-A）x=0得到特征向量ξ5=（1 1 1 1 1）T.ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5兩兩正交,單位化得到

得到正交矩陣P=（p1,p2,p3,p4,p5）,使得PTAP=diag（1,1,1,1,-4）.

4 結(jié)語(yǔ)

Schmidt正交化法的公式和計(jì)算都較為繁雜,較難被學(xué)生掌握。而現(xiàn)有的文獻(xiàn)中給出的方法中,或涉及解方程組,計(jì)算量較大;或需要學(xué)生去掌握向量空間的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),理解困難。本文中提供的方法較為直觀簡(jiǎn)便,將線性方程組的求解與特征向量的正交化合二為一,既簡(jiǎn)化了計(jì)算又容易理解,因此更容易被學(xué)生掌握。