楊啟正， 涂宇， 雷先華， 胡自化， 秦長(zhǎng)江

(1.湖南交通工程學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421007；2.湘潭大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

0 引言

隨著工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，在大規(guī)模重復(fù)性勞作中，工業(yè)機(jī)器人逐漸發(fā)揮了越來(lái)越大的作用，但作為一種強(qiáng)大而又靈活的加工設(shè)備，工業(yè)機(jī)器人不應(yīng)該僅僅局限于簡(jiǎn)單的搬運(yùn)、碼垛等勞作.由于工業(yè)機(jī)器人的多自由度，在空間復(fù)雜曲面加工中比數(shù)控機(jī)床有較大的優(yōu)勢(shì)，所以對(duì)于空間復(fù)雜曲面，利用機(jī)器人加工是必然趨勢(shì).但目前的研究大都集中在利用G代碼的機(jī)器人空間路徑規(guī)劃，該方法對(duì)于平面加工有一定的優(yōu)勢(shì)，但是對(duì)于復(fù)雜空間曲面的加工較為困難，且機(jī)器人空間姿態(tài)難以較好地控制，很多情況下需要人工干涉來(lái)調(diào)整姿態(tài)[1].這就對(duì)利用機(jī)器人進(jìn)行空間曲面的加工有了更高的要求.

根據(jù)UG可變輪廓銑中生成的刀位文件的特點(diǎn)，利用該刀位文件實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端位姿的計(jì)算.由于加工的是較小的空間曲面零件，在機(jī)器人工作空間內(nèi)將該零件擺到合適的位置，實(shí)現(xiàn)工件坐標(biāo)系和機(jī)器人坐標(biāo)系的標(biāo)定，進(jìn)而利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)計(jì)算機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)角的值，在不考慮避障的情況下，根據(jù)“最短行程”來(lái)選擇合適的逆解，將各個(gè)加工點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的機(jī)器人關(guān)節(jié)角求解出來(lái)，以求解出的各個(gè)關(guān)節(jié)角值來(lái)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間曲面的柔性精準(zhǔn)加工.

1 機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

本文以瑞士ABB公司生產(chǎn)的IRB140六自由度工業(yè)機(jī)器人為仿真加工機(jī)器人，該工業(yè)機(jī)器人是串聯(lián)型，依據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的D-H法建立坐標(biāo)系，如圖1所示[2]，該坐標(biāo)系用四個(gè)參數(shù)來(lái)描述兩關(guān)節(jié)軸線沿共垂線的距離ai，稱為連桿長(zhǎng)度，垂直于ai在平面內(nèi)兩軸線的夾角αi，稱為連桿扭角；沿關(guān)節(jié)軸線i的兩個(gè)公垂線的距離di，稱為連桿距離，垂直于關(guān)節(jié)i軸線的平面內(nèi)兩公垂線的夾角θi，稱為連桿夾角.確定各連桿D-H參數(shù)，即可以得到如表1所示的連桿參數(shù)表.然后根據(jù)相鄰兩桿之間的變換公式就可以求得機(jī)器人末端執(zhí)行器關(guān)于機(jī)器人基坐標(biāo)的變換關(guān)系[3].

圖1 IRB140機(jī)器人D-H坐標(biāo)系Fig.1 D-H coordinate system of IRB140 robot

表1 IRB140機(jī)器人連桿參數(shù)表

相鄰的兩連桿變換齊次坐標(biāo)矩陣表示為：

.

(1)

其中：cθi=cos(θi)；sθi=sin(θi)；i=1,2,…，6.

該齊次坐標(biāo)變換矩陣能夠描述連桿坐標(biāo)系之間相對(duì)平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換，Ai分別描述第i個(gè)連桿相對(duì)基座的位置和姿態(tài)，在六自由度工業(yè)機(jī)器人中，如果知道末端執(zhí)行器在最后一個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，那么通過(guò)齊次變換矩陣相乘可以得到該坐標(biāo)相對(duì)在基坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)，相乘關(guān)系式如下所示：

0T6=A1A2A3A4A5A6

.

(2)

1.1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

采用分離變量法來(lái)求解機(jī)器人逆解，常規(guī)求法是用一系列變換的逆矩陣Ai-1左乘，然后找出左乘后右端的常數(shù)項(xiàng)，同時(shí)讓左端相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)與之相等，進(jìn)而利用三角函數(shù)來(lái)求得相應(yīng)的關(guān)節(jié)角，此方法要求六次才能求得全部的解.利用A1-1A2-1TA6-1=A3A4A5可一次性求得機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)角，這樣就省去了連續(xù)左乘逆矩陣的煩瑣性.對(duì)于一般的六自由度機(jī)器人不存在封閉解，但是當(dāng)該機(jī)器人后三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸線交于一點(diǎn)或是平行時(shí)[4]，就符合解耦機(jī)器人特點(diǎn)，具有封閉解，本文分析的IRB140工業(yè)機(jī)器人的最后三個(gè)關(guān)節(jié)軸線相交于一點(diǎn)，符合解耦機(jī)器人的特點(diǎn)，所以該機(jī)器人最多有八組逆解.三角函數(shù)求解關(guān)節(jié)角時(shí)由于arctan(x,y)的解范圍是[-90°,90°],解的范圍不夠精確，無(wú)法求得關(guān)節(jié)范圍內(nèi)全部解，而雙變量反正切函數(shù)arctan 2(x,y)的取值范圍是[-180°,180°],可以獲得所有可能的解，解所在象限由x，y的正負(fù)來(lái)判斷.各個(gè)關(guān)節(jié)角求解結(jié)果如下:

θ1=arctan 2((px-d6ax),(py-d6ay))+π/2,θ1,=arctan 2((px-d6ax),(py-d6ay))-π/2

,

(3)

θ2=arctan 2((k4/r),±sqrt (1-(k4/r)2))-arctan 2(k31,k32).

(4)

其中，

(5)

其中，

θ5=arctan 2(±sqrt (1-(k6)2),-k6),

(6)

其中，

k6=sin (θ2+θ3)k1+cos (θ2+θ3)az,

θ4=arctan 2(k7,k8),

(7)

其中，

k7=(cos (θ1)ay-sin (θ1)ax)/sin (θ5)p,

k8=(sin (θ2)az-cos (θ2)k1-sin (θ3)cos (θ5))/(cos (θ3)sin (θ5)),

θ6=arctan 2((k10+k11k12),(k12k10-k11))+π,

(8)

其中，

從以上各個(gè)關(guān)節(jié)角求解結(jié)果可知，關(guān)節(jié)角1、2、5各有兩個(gè)值，所以該機(jī)器人共有八組解，但是求解出來(lái)的解不一定都符合要求，如果求出的關(guān)節(jié)角超出關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)范圍，則要對(duì)該關(guān)節(jié)角轉(zhuǎn)換上下限，也就是在求解得到的關(guān)節(jié)角的基礎(chǔ)上加減360°，使關(guān)節(jié)角在合理的范圍內(nèi)[5].在無(wú)避障的要求下以各個(gè)關(guān)節(jié)角的絕對(duì)值之和最小值為逆解優(yōu)化目標(biāo)，選取之和最小的那一組為最優(yōu)解，選取關(guān)節(jié)角時(shí)，在同一條加工軌跡上，機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)角不能有大的突變現(xiàn)象，在保證關(guān)節(jié)角的平穩(wěn)變化的同時(shí)也保證了機(jī)器人的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng).

2 機(jī)器人工作空間范圍求解

基于蒙特卡洛法求解機(jī)器人工作空間.蒙特卡洛法是借助于隨機(jī)抽樣的方式來(lái)解決問(wèn)題，通過(guò)正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，將表示末端空間位置的關(guān)系式求解出來(lái)，然后利用Matlab的rand函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，在關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)關(guān)節(jié)角的隨機(jī)值，最后利用Matlab軟件編程求解在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)空間范圍，也就是機(jī)器人的工作空間范圍[6].

根據(jù)正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解結(jié)果，利用Matlab編程，輸入隨機(jī)數(shù)n的值，可求解出其工作范圍，Matlab編程和求解結(jié)果如圖2所示.

圖2 機(jī)器人工作空間三維圖Fig.2 Three dimensional diagram of robot workspace

從分析結(jié)果可知機(jī)器人工作空間范圍是X∈[-0.873 6，0.873 9]，Y∈[-0.872 6,0.872 9]，Z∈[-0.805 0，0.805 0].該結(jié)果對(duì)下一步工件移動(dòng)范圍有參考作用.

機(jī)器人工作空間求解精度取決于n值的大小，當(dāng)n分別取500、4 000、10 000時(shí)工作空間精度如圖3所示.

圖3 n=500、4 000、10 000時(shí)工作空間精度Fig.3 The spatial working accuracy of n=500、4 000、10 000

3 加工軌跡的生成

UG加工數(shù)控模塊為所有加工提供一個(gè)相同、界面友好的圖形化窗口環(huán)境，用戶可以在圖形方式下觀測(cè)刀具沿軌跡運(yùn)動(dòng)的情況，并可對(duì)其進(jìn)行圖形化修改，如刀具軌跡進(jìn)行延伸、縮短或修改.該模塊同時(shí)也提供通用的點(diǎn)位加工編程功能，可用于鉆孔、攻絲和鏜孔等加工編程，該模塊交互界面可按用戶需求進(jìn)行靈活的用戶化修改和剪裁，并可定義標(biāo)準(zhǔn)化刀具、加工工藝參數(shù)樣板庫(kù)，使初加工、半精加工、精加工等操作的常用參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化[7].

利用UG系統(tǒng)為曲面輪廓銑提供的對(duì)刀軸控制、走刀方式選擇和刀具路徑生成功能，可以在UG中加工任何幾何體.在UG/CAM模塊中對(duì)葉輪曲面進(jìn)行可變輪廓銑仿真加工，設(shè)計(jì)合適的加工刀具，選擇合理的加工參數(shù)，分別對(duì)葉輪的流道面和葉片面進(jìn)行粗精加工.刀具軌跡規(guī)劃如圖4所示,并獲得刀具軌跡數(shù)據(jù)[8]，最后以txt文件格式導(dǎo)出葉輪加工的刀位文件.本文以一個(gè)流道面的清根加工為例，實(shí)現(xiàn)本文所述方法的仿真加工，流道面加工軌跡虛擬模型如圖5所示.

圖4 葉輪流道面的加工 圖5 流道面加工軌跡虛擬模型Fig 4 Machining of impeller runner surface Fig 5 Virtual model of machining path of runner surface

3.1 加工信息處理

刀位文件格式是GOTO/X，Y，Z，I，J，K，其中X，Y，Z代表的是刀尖在加工坐標(biāo)系下的空間位置，I，J，K代表刀軸矢量.對(duì)于空間姿態(tài)來(lái)說(shuō)，上述六個(gè)信息為有用信息，其他加工參數(shù)信息暫時(shí)不做考慮，將有用的加工信息提取出來(lái)，以txt格式保存.對(duì)刀位文件處理過(guò)程中我們求得的是在工件坐標(biāo)系下的位姿.由于對(duì)整個(gè)葉輪的加工點(diǎn)提取工作量較為巨大，因此選取流道面加工的一條空間加工軌跡來(lái)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)仿真.提取的信息以文件名2date保存在Matlab文件夾中，以便后續(xù)仿真時(shí)信息的調(diào)用.

3.2 末端位姿獲取方法

刀位點(diǎn)的刀軸矢量N可以直接通過(guò)刀位文件的I，J，K直接得到，刀位點(diǎn)的切向矢量T則通過(guò)下一個(gè)加工點(diǎn)的坐標(biāo)獲得.因?yàn)楸硎究臻g姿態(tài)的三個(gè)矢量是單位矢量且相互垂直，加工過(guò)程由第一點(diǎn)向第二點(diǎn)方向，以此加工下去.空間姿態(tài)坐標(biāo)系如圖6所示，假設(shè)第一點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(X1，Y1，Z1)，第二點(diǎn)的坐標(biāo)為P2(X2，Y2，Z2)，將I，J，K平移到以P1為起點(diǎn)的位置，相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值分別增加P1的坐標(biāo)值，通過(guò)點(diǎn)P1作與向量P1N相互垂直的平面S，由P2作平行于Z軸的直線L，直線L與平面S的交點(diǎn)為P3，P3的X，Y軸方向的坐標(biāo)值與P2相同，Z軸方向坐標(biāo)值是未知的.向量P1N與向量P1P3相互垂直，相乘為0，故可以求出Z3值，然后將向量P1P3簡(jiǎn)化為單位向量，切向矢量由此求得.副法向矢量B則通過(guò)刀軸矢量N和切向矢量T叉乘得到[9]，由此就得到了在工件坐標(biāo)系下的刀位點(diǎn)的空間姿態(tài).

圖6 空間位姿坐標(biāo)系Fig 6 Spatial pose coordinate system

4 仿真對(duì)比

對(duì)于小型空間曲面零件加工來(lái)說(shuō)，可以采用多軸機(jī)床加工的標(biāo)定方法，在機(jī)器人坐標(biāo)系中將工件擺到模型所在位置，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系的標(biāo)定.如果是大型工件，則需要工件坐標(biāo)系的標(biāo)定.因?yàn)楸疚氖轻槍?duì)小型空間曲面的加工，在上文求得的機(jī)器人工作空間范圍內(nèi)移動(dòng)工件，使其處在合適的加工位置，避免求得關(guān)節(jié)角超程或是奇異點(diǎn)的出現(xiàn)，即將刀位文件的X，Y，Z在機(jī)器人空間范圍內(nèi)加減相應(yīng)的值來(lái)獲得合理的位姿. 利用Matlab進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)刀位文件到機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度的轉(zhuǎn)換，選取最優(yōu)解，以最優(yōu)解來(lái)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)虛擬機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，最后將機(jī)器人軌跡與實(shí)際UG加工軌跡進(jìn)行對(duì)比，其具體仿真流程圖如圖7所示.

圖7 刀位文件轉(zhuǎn)換流程圖Fig 7 Flow chart of tool position file conversion

用Matlab進(jìn)行編程，將刀位文件轉(zhuǎn)換為機(jī)器人加工的位姿，處理結(jié)果如圖8和圖9所示，用link函數(shù)建立機(jī)器人虛擬模型，編寫相應(yīng)的程序，用得到的關(guān)節(jié)角驅(qū)動(dòng)機(jī)器人仿真運(yùn)動(dòng)機(jī)，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)瞬間如圖10所示，末端軌跡曲線如圖11所示，最后將機(jī)器人末端軌跡與UG加工軌跡進(jìn)行對(duì)比如表2所示.

表2 UG位置坐標(biāo)與機(jī)器人末端位置坐標(biāo)比較

圖8 刀位文件提取信息 圖9 對(duì)應(yīng)各個(gè)關(guān)節(jié)角值Fig 8 Extraction information of tool position file Fig 9 Corresponding joint angle values

圖10 機(jī)器人模擬運(yùn)動(dòng)瞬間 圖11 機(jī)器人末端軌跡曲線Fig 10 Robot simulation movement moment Fig 11 Robot end trajectory curve

5 結(jié)論

運(yùn)用機(jī)器人自由度高的特點(diǎn)，結(jié)合現(xiàn)有的CAM軟件的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)空間復(fù)雜曲面的高效加工，避免人工示教的煩瑣和利用G代碼無(wú)法獲取空間姿態(tài)的缺點(diǎn).最后經(jīng)過(guò)仿真模擬，驗(yàn)證了利用此方法把刀位文件轉(zhuǎn)換為機(jī)器人末端位姿的正確性和可行性，為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人高效率高精度加工空間復(fù)雜曲面奠定一定的基礎(chǔ).

在UG軌跡線上和機(jī)器人末端軌跡線上分別對(duì)應(yīng)選取10個(gè)點(diǎn)，從表2對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，X軸方向的最大誤差為0.000 3 mm，Y方向最大誤差為0.000 6 mm，Z方向最大誤差為0.000 9 mm，這在加工中是完全可以忽略不計(jì)的.所以兩條加工軌跡基本相同，重合度較高，驗(yàn)證了利用此方法可以實(shí)現(xiàn)從刀位文件到機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換.