李玉勝 ，董保香 ，趙國(guó)慶 ，王圣偉

(1.山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 山東 淄博 255049；2.淄博職業(yè)學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院, 山東 淄博 255314；3. 山東飛馬索道纜車設(shè)備有限公司, 山東 淄博255000)

諸如凸輪機(jī)構(gòu)等運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，不僅僅需要實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)軌跡，而且還需要考慮其速度、加速度等運(yùn)動(dòng)規(guī)律特性。用解析法設(shè)計(jì)軌跡曲線時(shí)，因?yàn)橛袛?shù)學(xué)公式，求導(dǎo)容易，可方便地給出速度、加速度曲線；但用圖解法設(shè)計(jì)軌跡曲線時(shí)，則無(wú)法給出求導(dǎo)后的曲線。因此，對(duì)于圖解法，迫切需要一種利用已知軌跡曲線，求導(dǎo)得出速度、加速度曲線的方法[1-4]。本文給出一種連續(xù)曲線的求導(dǎo)方法。

1 導(dǎo)數(shù)的形成

2 利用UG/Motion求導(dǎo)的步驟

利用UG/Motion的求導(dǎo)步驟如下：

1)根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)要求，繪制位移軌跡曲線；根據(jù)需要繪制描述點(diǎn)t0(X0,Y0)、點(diǎn)t(X,Y)，描述求導(dǎo)得出所需的Y方向運(yùn)動(dòng)曲線。

2)建立表達(dá)式變量Δx等。

3)創(chuàng)建運(yùn)動(dòng)仿真模型，定義連桿與運(yùn)動(dòng)副，并賦予傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)副以驅(qū)動(dòng)，特別要注意處理好描述求導(dǎo)得出的自定義函數(shù)。

4)定義點(diǎn)在線上幅、線在線上幅等約束條件。

5)創(chuàng)建標(biāo)記點(diǎn)，用于追蹤求導(dǎo)后的結(jié)果。

6)設(shè)置追蹤，追蹤上述標(biāo)記點(diǎn)。

7)設(shè)置求解時(shí)間與步數(shù)等求解參數(shù)并求解。

8)運(yùn)行動(dòng)畫(huà)，激活追蹤，運(yùn)行后獲得追蹤點(diǎn)，該點(diǎn)云就是描述求導(dǎo)后的軌跡點(diǎn)。

9)用樣條曲線擬合點(diǎn)云，獲得求導(dǎo)后的曲線。

3 sin(x)曲線的求導(dǎo)方法

以曲線sin(x),x∈[0,2π]為例，利用UG/Motion運(yùn)動(dòng)仿真模塊，按照上述步驟，實(shí)現(xiàn)正弦曲線的求導(dǎo)。

1)在UG環(huán)境中，新建文件QiuDao.prt，為方便參數(shù)化驅(qū)動(dòng)以及分析求導(dǎo)后的點(diǎn)云和曲線與正弦曲線之間的偏差，在QiuDao.prt文件中不繪制任何圖形元素，把所有參數(shù)以及幾何元素繪制在創(chuàng)建的motion.sim文件中。

2)進(jìn)入運(yùn)動(dòng)仿真模塊，新建運(yùn)動(dòng)仿真，選擇動(dòng)力學(xué)分析類型，仿真名為motion。

3)進(jìn)入建模模塊，利用表達(dá)式功能，建立如圖1所示表達(dá)式：t=1，t是UG系統(tǒng)變量，是從0到1的動(dòng)態(tài)變量；xt=2*pi()*t，pi()是UG系統(tǒng)內(nèi)函數(shù)，xt的變化范圍是[0,2π]；yt_sin=sin(xt*180/pi())，UG中正弦函數(shù)自變量只能是度數(shù)，所以需要把弧度值轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的角度值；yt_dos=cos(xt*180/pi())，正弦求導(dǎo)后對(duì)應(yīng)的余弦曲線，用來(lái)檢測(cè)求導(dǎo)結(jié)果的正確性與準(zhǔn)確程度；zt=0，z軸值為0，正弦余弦曲線繪制在XOY平面內(nèi)；Delta_X=2*pi()/360，用Delta_X表示增量Δx。

圖1 表達(dá)式Fig.1 Expression

4)利用規(guī)律曲線，結(jié)合上述表達(dá)式，建立正弦曲線、余弦曲線，其中距離公差設(shè)置為0.000 1。

5)基于XOY平面創(chuàng)建草圖，繪制如圖2所示4條線段，線段端點(diǎn)與正弦曲線存在點(diǎn)在線上幾何約束，用這4條線段與正弦的交點(diǎn)表示點(diǎn)t0(X0,Y0)與t(X,Y)，兩點(diǎn)之間水平距離設(shè)置為Delta_X。用這4條線段分別描述t0與t點(diǎn)沿著X、Y方向移動(dòng)的連桿。在表達(dá)式對(duì)話框中，可隨時(shí)修改Delta_X值，參數(shù)化驅(qū)動(dòng)功能會(huì)立即更新兩點(diǎn)之間的水平距離。

圖2 連桿與運(yùn)動(dòng)副Fig.2 Links and joints

6)進(jìn)入運(yùn)動(dòng)仿真模塊，激活Motion仿真，創(chuàng)建如圖2所示5個(gè)連桿。L_X用來(lái)表示t點(diǎn)沿X方向運(yùn)動(dòng)的所需連桿；L_Y用來(lái)表示t點(diǎn)沿Y方向運(yùn)動(dòng)的所需連桿；L_X0用來(lái)表示t0點(diǎn)沿X方向運(yùn)動(dòng)的所需連桿；L_Y0用來(lái)表示t0點(diǎn)沿Y方向運(yùn)動(dòng)的所需連桿。L_Dy是獲取導(dǎo)數(shù)值所需連桿。所有連桿質(zhì)量屬性為自定義，質(zhì)心選擇各條線段靠近正弦曲線側(cè)的端點(diǎn)，慣性CSYS采用絕對(duì)坐標(biāo)系，質(zhì)量為10；IXX、IYY、IZZ分別為10；IXY、IXZ、IYZ分別為0。

7)創(chuàng)建如圖2所示平動(dòng)副。J_X是連桿L_X的水平方向平動(dòng)副，無(wú)基本連接桿。J_Y是連桿L_Y的豎直方向平動(dòng)副，基本連接連桿為L(zhǎng)_X。J_X0是連桿L_X0的水平方向平動(dòng)副，無(wú)基本連接桿。J_Y0是連桿L_Y0的豎直方向平動(dòng)副，基本連接連桿為L(zhǎng)_X0。J_Dy是連桿L_Dy的豎直方向平動(dòng)副，基本連桿連接為L(zhǎng)_X0。

8)利用點(diǎn)在線上幅，把t與t0點(diǎn)約束到正弦曲線上。PointOnCurve_XY是把連桿L_Y用于表示點(diǎn)t(X,Y)的下端點(diǎn)約束到正弦曲線上。PointOnCurve_X0Y是把連桿L_Y0用于表示點(diǎn)t0(X0,Y0)的下端點(diǎn)約束到正弦曲線上。為保持精度，選擇基于曲率的曲線參數(shù)化方法。

9)對(duì)J_X，J_X0分別設(shè)置驅(qū)動(dòng)，皆為恒定平移模式，初速度值為2*pi()，單位為mm/s，即用1 s時(shí)間平動(dòng)運(yùn)動(dòng)2*pi() mm的距離。

10)設(shè)置描述導(dǎo)數(shù)值的平動(dòng)副J_Dy，驅(qū)動(dòng)方式選擇函數(shù)，函數(shù)類型為位移，采用函數(shù)管理器，插入函數(shù)math_func，值為點(diǎn)t(X,Y)與點(diǎn)t0(X0,Y0)在Y方向的差值，即只需要導(dǎo)入Y方向的位移，觀察變量為位移，選擇分量為Y，參考框架為絕對(duì)坐標(biāo)系。在本仿真中，值為(DY(45,1,1)-DY(71,1,1))/Delta_X。

11)建立標(biāo)記點(diǎn)Mark_Dy，連桿選擇L_Dy，指定點(diǎn)為L(zhǎng)_DY連桿靠近正弦曲線側(cè)的端點(diǎn)，CSYS采用絕對(duì)坐標(biāo)系。

12)設(shè)置追蹤Tr_Dy，追蹤對(duì)象為Mark_Dy，參考框架為絕對(duì)坐標(biāo)系，目標(biāo)層為10，并激活。

13)新建結(jié)算方案，時(shí)間為1 s，步數(shù)為360步，即用360步仿真完整個(gè)過(guò)程。在求解器參數(shù)中，設(shè)置動(dòng)力學(xué)/運(yùn)動(dòng)學(xué)的誤差為0.000 1，靜力學(xué)誤差為0.000 1。

14)求解。

15)設(shè)置圖層10為工作圖層。打開(kāi)動(dòng)畫(huà)對(duì)話框，啟用追蹤封裝選項(xiàng)，播放后，可看到隨著點(diǎn)t(X,Y)與點(diǎn)t0(X0,Y0)沿著正弦曲線的移動(dòng)，Mark_Dy標(biāo)記點(diǎn)被打出，該點(diǎn)的Y值就是t0(X0,Y0)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

4 驗(yàn)證

1)將Mark_Dy的追蹤點(diǎn)與余弦曲線對(duì)比，肉眼基本看不出區(qū)別。利用菜單“分析->偏差-->度量”偏差度量功能，把所有點(diǎn)與余弦曲線對(duì)比，如圖3所示，可得出最大偏差值為0.006 2 mm，該值是在Delta_X為2pi()/360的前提下得到的，如果進(jìn)一步縮小Delta_X值，則偏差會(huì)更小。圖3顯示了Mark_DY追蹤點(diǎn)與余弦曲線的對(duì)比，為方便觀察，追蹤點(diǎn)只顯示了大約一半。

圖3 點(diǎn)云與余弦曲線Fig.3 Points and cos(x) curve

2)利用樣條曲線的擬合功能，把點(diǎn)云擬合成樣條曲線，分析樣條曲線與余弦曲線的誤差，也為0.006 2 mm。樣條曲線與余弦曲線的曲率梳對(duì)比如圖4所示，左側(cè)是余弦曲線的曲率梳，右側(cè)是求導(dǎo)后曲線的曲率梳，可以看出求導(dǎo)所得曲線的曲率略有不光順，但總體來(lái)說(shuō)，沒(méi)有比較大的突變。

圖4 擬合樣條與余弦曲率梳對(duì)比Fig.4 Curvature comb of cos(x) and spline

3)若著重曲率的光順，可在擬合樣條曲線時(shí)，略微放大公差，圖5是曲線階次為3，公差為0.01時(shí)的擬合樣條曲線，該樣條曲線與理論預(yù)先曲線偏差為0.011 2 mm，左側(cè)是余弦曲線的曲率梳，右側(cè)是擬合樣條曲線的曲率梳，可以看出，兩曲率梳基本沒(méi)什么區(qū)別。

圖5 擬合樣條調(diào)整后的曲率梳Fig.5 Spline curvature after modification

5 結(jié)論

1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，利用UG的運(yùn)動(dòng)仿真功能，實(shí)現(xiàn)對(duì)sin(x)曲線的求導(dǎo)，驗(yàn)證了利用運(yùn)動(dòng)仿真功能對(duì)連續(xù)曲線求導(dǎo)方法的正確性。

2)給出了運(yùn)動(dòng)仿真得到的點(diǎn)云、擬合樣條曲線與理論求導(dǎo)曲線的誤差，若想提高精度，可減小Δx的變量值，直到滿足工程應(yīng)用需求。

3)對(duì)于非連續(xù)曲線，若非連續(xù)點(diǎn)恰好被Δx越過(guò)，也可以求出導(dǎo)數(shù)曲線。