王 蕉 楚錫華

* (西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,成都 611756)

? (武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,武漢 430072)

引言

作為離散顆粒材料的土壤(或巖體),是日常生活中最常見(jiàn)的隨機(jī)多孔介質(zhì),沖擊載荷作用下材料的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)于工程實(shí)踐和地質(zhì)災(zāi)害防控有著重要的指導(dǎo)意義.注意到應(yīng)力波的傳播行為與介質(zhì)性質(zhì)密切相關(guān),基于應(yīng)力波的行為特征分析可提供一種非侵入式研究顆粒材料性質(zhì)的途徑.因此有非常多的學(xué)者致力于研究沖擊載荷作用下顆粒材料的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

在過(guò)去幾十年中,一維顆粒鏈中的波傳播行為一直是一個(gè)備受關(guān)注的話(huà)題[1-3].在研究過(guò)程中,研究人員通常在邊界處設(shè)置傳感器,從多方面研究顆粒材料中的波特性[4],但很少討論邊界區(qū)的情況[5-6].對(duì)于更復(fù)雜的塑性接觸問(wèn)題,研究者們構(gòu)建了具有彈性和塑性特性的理想顆粒材料模型,研究不同的載荷條件下單分散的彈性和彈塑性顆粒鏈的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),給出了波傳播過(guò)程中能量衰減的機(jī)制[7-9].Hayden 等[10]開(kāi)發(fā)了彈塑性球體動(dòng)態(tài)壓縮力?位移模型來(lái)研究由金屬球體組成的系統(tǒng)對(duì)撞擊的響應(yīng),模擬中使用大型周期性顆粒晶體,以確定材料中應(yīng)力波速的控制因素.除了天然材料之外,基于顆粒物質(zhì)的超材料設(shè)計(jì)一直是一個(gè)充滿(mǎn)活力的研究領(lǐng)域,它結(jié)合了材料科學(xué),非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)和凝聚態(tài)物理等學(xué)科的思想[11].迄今為止大多數(shù)研究都集中討論一維晶體中的現(xiàn)象,基本回避了邊界問(wèn)題[12].

對(duì)于二維、三維的情況,研究人員利用不同的方法研究了波在顆粒材料中的傳播行為[13-14],修晨曦和楚錫華[15]基于微形態(tài)模型研究了顆粒材料中波的頻散特性.Mouraille 等[16]利用周期性邊界條件,探討了應(yīng)力波在顆粒材料中的傳播機(jī)制,分析了波速和頻散關(guān)系,并與基于宏細(xì)觀轉(zhuǎn)化的理論結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.Awasthi 等[17]采用數(shù)值方法研究了材料中壓縮波的各向異性和傳播速度的影響.Chotiros和Isakson[18]發(fā)現(xiàn)在顆粒介質(zhì)中的剪切波傳播會(huì)涉及與晶粒旋轉(zhuǎn)相關(guān)的能量.Huang 等[19]基于球形粒子模型,計(jì)算了砂土中剪切波速度的計(jì)算公式,其計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)非常吻合.Yang 和Sutton[20]通過(guò)數(shù)值和實(shí)驗(yàn)方法研究了非線(xiàn)性波在密排顆粒通道中的傳播,證明了顆粒旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)的重要性.Lisyansky 等[21]研究了主脈沖在未壓縮的二維密排顆粒晶體中的傳播,通過(guò)降階模型描述了強(qiáng)定位主脈沖的空間演化.Keki 和Van Gorder[22]對(duì)具有赫茲相互作用勢(shì)的一維顆粒晶體中的孤波進(jìn)行了研究,在界面兩側(cè)設(shè)置不同的相互作用勢(shì),孤立波顯示出不同的反射和透射特性,并根據(jù)準(zhǔn)粒子碰撞解釋了界面處的波傳播效應(yīng).Hua 和Van Gorder[23]研究了在赫茲接觸定律下二維球形晶體中的波傳播,討論了邊界處的波反射,盡管邊界的反復(fù)反射將使系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間陷入混亂狀態(tài),但有許多有趣的波結(jié)構(gòu)和模式會(huì)以瞬態(tài)的形式出現(xiàn).除了對(duì)界面處波反射問(wèn)題的簡(jiǎn)單研究之外,Li 等[24]研究了波之間的相互作用,得到了波前速度和力幅值之間的通用關(guān)系.

顆粒材料中波傳播特性的一個(gè)重要研究目標(biāo)是材料定制(即超材料設(shè)計(jì)),如何設(shè)計(jì)出具有特定導(dǎo)波特性的人工材料一直是研究者們努力的方向.Leonard 等[25]采用微型三軸加速度計(jì)來(lái)確定面內(nèi)外碰撞所產(chǎn)生的應(yīng)力波特性,研究了未壓縮不銹鋼球的二維方形堆積的動(dòng)力響應(yīng).Leonard 等[26]還通過(guò)選取不同的材料組合,對(duì)應(yīng)力波傳播過(guò)程中的波前形狀進(jìn)行了調(diào)節(jié).他們還通過(guò)試驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法,研究了顆粒質(zhì)量和剛度比的系統(tǒng)變化對(duì)應(yīng)力波波前形狀的改變.在這些顆粒系統(tǒng)中控制應(yīng)力波前特性的能力可以用來(lái)研發(fā)新的波定制材料[27].這些結(jié)果為設(shè)計(jì)有效的減震結(jié)構(gòu)開(kāi)辟了道路,并為顆粒物質(zhì)中波傳播的機(jī)理提供了新的見(jiàn)識(shí)[28].Xu 和Zheng[29]基于正方形密堆積和六角密堆積研究了二維布基球(buckyball C60)晶格的應(yīng)力波行為,其計(jì)算結(jié)果與分子動(dòng)力學(xué)模擬的結(jié)果非常吻合.Galich等[30]分析了彈性波在層狀介質(zhì)中的傳播,分析了不同頻率范圍內(nèi)帶隙的具體情況.Zhou 等[31]從基本波動(dòng)方程出發(fā),得出了二維固體聲子晶體帶隙的影響因素,并分析了波速比,聲阻抗比以及泊松比對(duì)帶隙的影響.

以上諸多研究工作主要從兩方面著手研究顆粒材料中的波傳播行為:(1)通過(guò)建立更精準(zhǔn)的接觸本構(gòu)模型(如彈塑性接觸模型),使計(jì)算所得的結(jié)果更符合實(shí)際.(2)通過(guò)人工設(shè)計(jì)顆粒材料內(nèi)部結(jié)構(gòu),主動(dòng)控制波在材料中的傳播行為.事實(shí)上在波傳播過(guò)程中,由于邊界的存在,邊界處應(yīng)力波的反射、吸收等都把問(wèn)題復(fù)雜化,目前的研究工作中只有極少一部分考慮了材料邊界對(duì)波傳播的影響;對(duì)邊界附近區(qū)域的設(shè)計(jì)也是超材料設(shè)計(jì)中極為重要的一部分,它往往比材料內(nèi)部設(shè)計(jì)更有挑戰(zhàn)性.本研究從一維顆粒鏈中的波傳播出發(fā),根據(jù)邊界的影響范圍,給出了臨邊界區(qū)域的定義;然后對(duì)不同顆粒排列方式下,不同形狀的臨邊界區(qū)域中波的傳播行為和顆粒材料的變形特征進(jìn)行了分析.

1 臨邊界區(qū)域的定義

一維顆粒鏈模型由101 個(gè)半徑為0.5 mm 的顆粒組成,最右端設(shè)置剛性墻面,計(jì)算過(guò)程中時(shí)間步長(zhǎng)dt設(shè)為0.01 μs,運(yùn)動(dòng)阻尼設(shè)為0.05.計(jì)算中使用了兩種常用的接觸本構(gòu)模型,即線(xiàn)性接觸模型和赫茲接觸模型,接觸摩擦系數(shù)μ和接觸阻尼系數(shù)βn均為0.5.其他參數(shù)如法/切向接觸剛度,剪切模量以及泊松比等見(jiàn)表1.

表1 計(jì)算參數(shù)Table 1 Parameters used in the simulation

在模型最左端施加沖擊載荷,指定ID 為1 的顆粒有沿x方向的初速v0=1.0 m/s,分別記錄沿著初速度方向的若干觀測(cè)點(diǎn)處,波傳播過(guò)程中顆粒的速度,波速采用平均速度的定義,即波傳播距離l時(shí),耗時(shí)為t,則平均波速v=l/t,如圖1、圖2 所示.在靠近邊界的局部區(qū)域,除正常沿程衰減(摩擦)的部分動(dòng)能之外,顆粒能夠得到的最大動(dòng)能(速度)明顯小于其他區(qū)域,顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與遠(yuǎn)離邊界處有明顯不同,圖2 中也表現(xiàn)出同樣的速度變化規(guī)律.因此將距離邊界10 倍顆粒尺度的區(qū)域定義為臨邊界區(qū)域,以下分析主要限定在該區(qū)域中進(jìn)行.

圖1 顆粒速度隨加載時(shí)間的變化(線(xiàn)性接觸模型)Fig.1 Particle velocity variation with loading time (linear contact model)

圖2 顆粒速度隨加載時(shí)間的變化(赫茲接觸模型)Fig.2 Particle velocity variation with loading time (Hertz contact model)

2 不同形狀邊界處波的反射

為探究邊界處波的反射,按照邊界墻體形狀的不同,分為以下3 類(lèi),如圖3 所示.

對(duì)于A,B 類(lèi)θ范圍從0 每隔15°變化到75°,對(duì)于C 類(lèi)θ范圍從0 每隔5°變化到45°.此外,變換顆粒排列方式,即單粒徑密排,單粒徑(r)隨機(jī)排列,均勻粒徑(rlo?rhi)隨機(jī)排列,如圖3(a)所示.在涉及顆粒材料中波傳播的研究當(dāng)中,相比線(xiàn)性接觸模型,非線(xiàn)性的Hertz 接觸模型能更好地反映波在顆粒材料內(nèi)的傳播特性.因此在下面的研究中,顆粒之間的接觸本構(gòu)均采用Hertz 接觸,分別設(shè)置不同形狀的邊界,邊界與顆粒之間接觸力的計(jì)算也采用Hertz 模型,得到多組樣本,相關(guān)尺寸參數(shù)見(jiàn)表2,具體計(jì)算參數(shù)同表1.

圖3 計(jì)算模型Fig.3 Simulation model

表2 二維樣本尺寸參數(shù)Table 2 Size parameters for 2-D specimen

對(duì)A 類(lèi)密排顆粒樣本,以θ=0 和θ=60°為例,圖4 顯示了不同時(shí)刻應(yīng)力波在樣本中的傳播情況.

由圖4 可以看出,波傳播初期,在主波形之后的次級(jí)波表現(xiàn)出了明顯的方向性圖4(b)～ 圖4(f),不同方向上傳播速度的差異.圖4(c)中明顯可以看到在距離激勵(lì)源相同遠(yuǎn)近的下邊界和右邊界處,波前到達(dá)邊界的時(shí)間有較大差異,沿y方向的速度明顯更快.將圖4(c)單獨(dú)畫(huà)出,見(jiàn)圖5.根據(jù)圖中所示可以估算出橫向速度與縱向速度之間的比約為vx/vy=0.93,從豎向變化到橫向,隨著速度方向與x軸正向夾角變小,波傳播速度變小.

圖4 波前形狀隨時(shí)間演化θ=0Fig.4 Wavefront shape evolves over time (θ=0)

圖5 波前形狀分析示意圖Fig.5 Schematic diagram of wavefront shape analysis

根據(jù)之前的研究工作[32],在單一粒徑密排顆粒樣本中,波前形狀隨時(shí)間演化可以用以下式子來(lái)描述

在之前的研究中沒(méi)有考慮邊界處的反射效應(yīng),此處將邊界的影響納入其中.圖6 顯示了邊界處反射之后波傳播的情況,圖中黑色虛線(xiàn)是無(wú)限大體中的波前形狀按下邊界進(jìn)行鏡面對(duì)稱(chēng)而得,黃色虛線(xiàn)是按左右邊界進(jìn)行鏡面對(duì)稱(chēng)而得;紅色長(zhǎng)點(diǎn)劃線(xiàn)表示經(jīng)下邊界反射后實(shí)際的波前形狀,黑色實(shí)線(xiàn)表示經(jīng)左右邊界反射后實(shí)際的波前形狀.由圖可知下邊界與左右邊界處的反射有明顯的不同.為便于分析,仍然假設(shè)反射之后實(shí)際的波前形狀(紅色長(zhǎng)點(diǎn)劃線(xiàn))近似為圓弧,從圖中可以看出反射后的圓弧半徑明顯小于未經(jīng)邊界反射的圓弧半徑.通過(guò)對(duì)波在時(shí)空中的演化過(guò)程進(jìn)行細(xì)致分析,可以得出結(jié)論:下邊界處的反射會(huì)使波前形狀(圓弧)的半徑逐漸變小,這反映出反射后速度在不同方向上的分布呈現(xiàn)出中間高兩邊低的規(guī)律.左右兩邊反射后的波前形狀基本上為直線(xiàn)(黑色實(shí)線(xiàn)),即半徑為無(wú)窮大.這與下邊界的規(guī)律不一致,導(dǎo)致這種差異的主要原因是邊界處顆粒的排列方式不同.

圖6 邊界處應(yīng)力波的反射Fig.6 Reflection of stress wave at the boundary

假設(shè)顆粒在邊界處的速度反射如圖7 所示,與邊界平行的速度分量不發(fā)生改變,與邊界垂直的速度分量反向.分別觀察下邊界和右邊界的細(xì)部圖可以看到,下邊界處顆粒與墻體接觸“緊密”,局部孔隙率(考慮邊界兩層顆粒)為0.137 6.右邊界處顆粒與墻體接觸“松散”,局部孔隙率為0.319 8.盡管顆粒的排列方式仍然規(guī)則,但經(jīng)邊界反射之后,速度在樣本中的重分配會(huì)在孔隙處出現(xiàn)弱化(相同速度碰撞邊界的條件下,黃色顆粒獲得的動(dòng)能將小于下邊界處綠色顆粒的動(dòng)能),這在宏觀上表現(xiàn)為圖6 中黃色虛線(xiàn)向內(nèi)收縮逐漸轉(zhuǎn)化為黑色直線(xiàn)的現(xiàn)象.

圖7 邊界反射細(xì)部圖Fig.7 Details of boundary reflection

對(duì)于θ=60°的A 類(lèi)樣本,波前隨時(shí)間演化如圖8所示,應(yīng)力波在邊界處的反射效果雖然不明顯,但仍然能看到反射后的波在樣本中的傳播情況,圖中標(biāo)示了波前在樣本中的大致位置.除了能觀測(cè)到主波在邊界處反射之外,在圖8(e)中還能觀察到次級(jí)波在邊界處的反射(綠色波形),這個(gè)反射點(diǎn)與主波最初的反射點(diǎn)8(b)位置一致.

圖8 波前形狀隨時(shí)間演化θ=60°Fig.8 Wavefront shape evolves over time (θ=60°)

由于此時(shí)墻體角度與顆粒排列取向一致,可以得到形如圖9(c) 的規(guī)整邊界,圖中還展示了θ=30°和θ=45°時(shí)邊界細(xì)部情況,可以看到由于在靠近邊界處顆粒排列方式的細(xì)微差異,導(dǎo)致波在邊界處的反射表現(xiàn)出不同的形式.與θ=0 的情況相比,圖8(b)和圖10(a)經(jīng)邊界反射后的波前形狀不明顯;對(duì)于局部孔隙率更大的θ=45°邊界圖9(b),甚至很難直接在臨邊界區(qū)內(nèi)觀察到主波的反射現(xiàn)象.這是由于大孔隙的存在使臨邊界區(qū)內(nèi)的顆粒有更多的“活動(dòng)空間”,使顆粒攜帶的動(dòng)能更容易分散到臨邊界區(qū)域中去,能量更易彌散開(kāi),而不是像圖6 所示的那樣朝著某個(gè)特定的方向傳播.

圖9 邊界細(xì)部圖Fig.9 Details of boundary

圖10 邊界反射圖Fig.10 Reflection at the boundary

為了驗(yàn)證上面所得的結(jié)論,將樣本排列方式替換為單粒徑隨機(jī)排列和均勻分布多粒徑隨機(jī)排列,其他參數(shù)保持不變,這里仍然以θ=0°為例進(jìn)行說(shuō)明.如圖11 所示,當(dāng)樣本受到?jīng)_擊載荷作用,波前形狀在到達(dá)邊界之前,基本保持為圓弧形,這反映出隨機(jī)排列樣本的各向同性性質(zhì).當(dāng)主波到達(dá)邊界后,由于臨邊界區(qū)域內(nèi)孔隙率較大,主波動(dòng)能在臨邊界區(qū)發(fā)生了彌散,從而導(dǎo)致反射后的波前形狀很難直接觀察到.

圖11 隨機(jī)排列樣本中波前演化圖.上:單粒徑,下:均勻分布多粒徑Fig.11 Wavefront evolution in randomly arranged specimens.Top:single-size particles,bottom:uniform distribution of multi-size particles

對(duì)于圖3 中B 類(lèi)對(duì)稱(chēng)邊界,由于密排顆粒取向的特殊性,在邊界與x軸夾角為0° (圖6),30°,60°時(shí)波前形狀隨時(shí)間的演化如圖12 所示.對(duì)于其他夾角的情況則幾乎很難直接觀察到波前在邊界處的反射,這是由于在臨邊界區(qū)域內(nèi)部,孔隙率較大,顆粒動(dòng)能發(fā)生彌散,這一現(xiàn)象還可以通過(guò)圖12 上左2 以及下左2 觀察到,當(dāng)主波動(dòng)能擴(kuò)散到邊界時(shí)并沒(méi)有立刻發(fā)生反射,視覺(jué)上好像能量被臨邊界區(qū)域吸收了一樣,這部分能量將和后續(xù)次級(jí)波所攜帶的能量一起發(fā)生反射.隨著次級(jí)波的不斷傳播,原先主波攜帶的能量已經(jīng)遠(yuǎn)離邊界,次級(jí)波在邊界處發(fā)生反射,如圖12 下右2 所示.

圖12 波前形狀隨時(shí)間演化.上:θ=30°,下:θ=60°Fig.12 Wavefront shape evolves over time.Top:θ=30°,bottom:θ=60°

對(duì)于反射波形的分析可以分為兩部分,在臨邊界區(qū)域內(nèi),反射波形主要受顆粒間的相互作用(方向)影響,表現(xiàn)為與顆粒排布方向一致的現(xiàn)象,如圖13所示:在臨邊界區(qū)反射波的波前形狀基本呈直線(xiàn),并且與水平方向夾角約為順時(shí)針60°;在臨邊界區(qū)外(即材料中心區(qū)域),反射波形主要受應(yīng)力波傳播速度的影響,波形會(huì)隨著時(shí)間不斷發(fā)生變化,在圖13 所示的時(shí)刻,可以看到中心區(qū)域的波形近似為兩段直線(xiàn),第一段與水平方向夾角約為逆時(shí)針60°,第二段與邊界平行.對(duì)于折線(xiàn)邊界的情況,研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)θ>30° (如θ=60°,圖12 下左2)時(shí),應(yīng)力波從邊界一點(diǎn)處開(kāi)始反射,反射波離開(kāi)臨邊界區(qū)域時(shí)逐漸不與邊界平行,隨著角度增大,這種現(xiàn)象表現(xiàn)更加明顯.

圖13 B 類(lèi)邊界θ=30°波前形狀分析示意圖Fig.13 Schematic diagram of wavefront shape analysis of type B boundary θ=30°

對(duì)于圖3 中C 類(lèi)對(duì)稱(chēng)邊界,密排顆粒樣本很難保證臨邊界區(qū)域中較高的孔隙率,因此能直接觀察到的波反射現(xiàn)象并不明顯.與光或者聲音的反射進(jìn)行類(lèi)比,圓弧邊界應(yīng)當(dāng)具有匯聚效應(yīng),匯聚效應(yīng)的強(qiáng)弱由圓弧邊界的半徑大小決定.臨邊界區(qū)域顆粒排列相對(duì)松散,這將使應(yīng)力波反射的匯聚效應(yīng)弱化.這兩個(gè)因素(邊界形狀和臨邊界區(qū)顆粒排列方式)共同影響應(yīng)力波經(jīng)材料邊界反射后的波前形狀.兩個(gè)因素是競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系,當(dāng)圓弧半徑較大時(shí),臨邊界區(qū)顆粒排列方式占據(jù)主導(dǎo)地位,臨邊界區(qū)域反射現(xiàn)象不明顯;隨著圓弧半徑減小,邊界形狀的影響逐漸增強(qiáng),經(jīng)材料邊界反射后的波向圓心附近匯聚,如圖14 下右1所示.

圖14 C 類(lèi)邊界樣本中應(yīng)力波的反射Fig.14 Reflection of stress wave at type C boundary

分別將樣本排列方式替換為單粒徑隨機(jī)排列和均勻分布多粒徑隨機(jī)排列,其他參數(shù)保持不變,經(jīng)邊界反射之后波在樣本中的傳播如圖15 和圖16 所示,觀察到的現(xiàn)象與前面所得的結(jié)論一致.

圖15 單粒徑隨機(jī)排列樣本波前形狀圖Fig.15 Wavefront shape in randomly arranged samples of single-size particles

圖16 均勻分布多粒徑隨機(jī)排列樣本波前形狀圖Fig.16 Wavefront shape in randomly arranged samples of uniformly distributed multi-size particles

3 材料臨邊界區(qū)域的變形特征

下面從材料臨邊界區(qū)域內(nèi)顆粒之間的接觸關(guān)系和相對(duì)運(yùn)動(dòng)出發(fā),分析應(yīng)力波反射過(guò)程中材料的變形特征.這里主要分析密排顆粒樣本,A 類(lèi)邊界θ=0°時(shí),下邊界附近區(qū)域中顆粒之間的力鏈如圖17 所示.

圖17 臨邊界區(qū)域力鏈隨時(shí)間的演化Fig.17 Evolution of force chain in the pro-border zone over time

注意:由于材料中顆粒按密排方式排列,每個(gè)顆粒都與周?chē)? 個(gè)顆粒發(fā)生接觸,初始接觸力為0.隨著材料受到點(diǎn)沖擊作用,產(chǎn)生的應(yīng)力波隨著時(shí)間由激勵(lì)點(diǎn)向四周傳播,顆粒之間發(fā)生相對(duì)位移,于是接觸力鏈的結(jié)構(gòu)發(fā)生改變.這才是真實(shí)的波最前端,第二部分顯示的波形狀是由速度分布來(lái)表示的.根據(jù)顆粒振動(dòng)規(guī)律,真實(shí)波前應(yīng)當(dāng)比圖中所顯示的略大,在之前的工作[33]中已經(jīng)比較過(guò)應(yīng)力波傳播范圍和顆粒運(yùn)動(dòng)(等效應(yīng)變)之間的關(guān)系,并定義了“激活區(qū)”.事實(shí)上最準(zhǔn)確的波前形狀應(yīng)當(dāng)由顆粒之間接觸力網(wǎng)絡(luò)的變化來(lái)確定,但是由于接觸力鏈的拓?fù)潢P(guān)系(連接或斷開(kāi))的改變,無(wú)法有效區(qū)分初始波和反射波,所以力鏈圖適合用來(lái)研究未經(jīng)擾動(dòng)的無(wú)限大體中波的傳播問(wèn)題.

力鏈圖的優(yōu)點(diǎn)是提供了接觸力的方向,如圖18所示,當(dāng)應(yīng)力波剛剛進(jìn)入臨邊界區(qū)時(shí),激活區(qū)中間部分顆粒之間的力鏈網(wǎng)絡(luò)胞元為菱形,主要接觸力的貢獻(xiàn)在豎直方向;激活區(qū)其余部分顆粒之間的力鏈網(wǎng)絡(luò)胞元為正六邊形(或正三角形),根據(jù)后續(xù)傳播路徑(圖17)判斷,(以右半為例)主要接觸力的貢獻(xiàn)在正六邊形的右和右下分枝.于是力鏈網(wǎng)絡(luò)整體表現(xiàn)為中間向下,兩邊向下向外擴(kuò)展的形式,這與第2 節(jié)中波傳播速度以及動(dòng)能分布是一致的.

圖18 應(yīng)力波進(jìn)入臨邊界區(qū)時(shí)力鏈網(wǎng)絡(luò)Fig.18 Force chain network when stress wave enters the pro-border zone

圖19 顯示了應(yīng)力波經(jīng)過(guò)邊界反射之后,臨邊界區(qū)域的力鏈分布圖.也分為兩個(gè)不同的區(qū)域:中間區(qū)域,力鏈胞元為菱形;兩翼區(qū)域,力鏈胞元為正六邊形.似乎與反射前的力鏈分布(圖18)沒(méi)有區(qū)別,但仔細(xì)觀察臨邊界區(qū)域力鏈隨時(shí)間的演化圖17,發(fā)現(xiàn)中間區(qū)域和兩翼區(qū)域的分界線(xiàn)的凸向發(fā)生了改變:當(dāng)應(yīng)力波剛剛進(jìn)入臨邊界區(qū)域時(shí),分界線(xiàn)上凸;當(dāng)應(yīng)力波經(jīng)邊界反射之后,分界線(xiàn)下凸.

圖19 應(yīng)力波反射后臨邊界區(qū)力鏈網(wǎng)絡(luò)Fig.19 Force chain network in the pro-border zone after stress wave reflection

下面結(jié)合動(dòng)能分布圖來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明,如圖20 所示,分別顯示了應(yīng)力波反射前后臨邊界區(qū)域顆粒動(dòng)能的分布.由圖可知,兩翼部分具有最大動(dòng)能,動(dòng)能等值線(xiàn)的最大梯度方向與波前形狀的分布是一致的.此外,從動(dòng)能分布上能直觀反映出“反射滯后”現(xiàn)象,臨邊界區(qū)域內(nèi)顆粒與邊界接觸并反彈的過(guò)程對(duì)應(yīng)著能量(動(dòng)能)的存儲(chǔ)和釋放.

圖20 應(yīng)力波反射前后臨邊界區(qū)顆粒動(dòng)能分布Fig.20 Distribution of particle kinetic energy in the pro-border zone before and after stress wave reflection

4 結(jié)論

本文首先從一維顆粒鏈中應(yīng)力波的傳播出發(fā),考慮離散元計(jì)算中常用的兩種接觸本構(gòu)關(guān)系,定義了臨邊界區(qū)域的范圍.然后討論了不同邊界形狀條件下,二維顆粒樣本受沖擊載荷作用時(shí)的動(dòng)力響應(yīng),對(duì)波在臨邊界區(qū)域中的傳播進(jìn)行了細(xì)致的分析,得出如下結(jié)論:

(1) 顆粒排列方式和邊界形狀是影響邊界反射的兩個(gè)重要因素.二維密排顆粒樣本在水平邊界處的反射表現(xiàn)為逐漸收縮的圓弧;在豎直邊界處的反射表現(xiàn)為直線(xiàn)波前形狀.

(2) 臨邊界區(qū)顆粒排列方式的影響可以概括為兩方面:顆粒的相對(duì)位置和局部孔隙率.臨邊界區(qū)內(nèi)應(yīng)力波的反射可以進(jìn)行簡(jiǎn)化,反射后的應(yīng)力波直接以邊界形狀在臨邊界區(qū)內(nèi)傳播.該結(jié)論在邊界情況越復(fù)雜(高局部孔隙率,顆粒無(wú)序隨機(jī)排列)時(shí),越準(zhǔn)確.中心區(qū)域(臨邊界區(qū)域外)的波前形狀主要由波速?zèng)Q定.

(3) 應(yīng)力波在臨邊界區(qū)域中傳播時(shí)會(huì)出現(xiàn)“反射滯后”現(xiàn)象,顆粒與邊界接觸并反彈的過(guò)程對(duì)應(yīng)著能量(動(dòng)能)的存儲(chǔ)和釋放.經(jīng)過(guò)臨邊界區(qū)域的彌散作用,主波動(dòng)能通常會(huì)和緊隨其后的次級(jí)波動(dòng)能一起發(fā)生反射.

(4) 圓邊界的匯聚作用和臨邊界區(qū)域內(nèi)顆粒的排列方式是兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)因素,共同決定臨邊界區(qū)域內(nèi)波的反射過(guò)程.