楊紅娟

摘 要：《用乘法估算解決問題》是本次優(yōu)質課比賽課例，在研究中發(fā)現(xiàn)估算的取值和估算的區(qū)間范圍的確定是教學的難點，圍繞這兩個方面，利用數(shù)軸剖析難點，分成以下四個步驟：“數(shù)軸直觀顯示，區(qū)別乘法估算與加法估算”“數(shù)軸自主驗證，理清估算策略推理本質”“數(shù)軸動態(tài)重合，直面估算區(qū)間的形成”“數(shù)軸判斷相同，結合數(shù)量關系判斷結論”。通過數(shù)軸的步步為營，解決了估算的策略選擇在于問題要求和比較數(shù)據(jù)，取值區(qū)間在于把估算數(shù)估成相鄰的整十數(shù)，突破區(qū)間尋找方法的缺失問題。

關鍵詞：乘法估算;數(shù)軸;估算策略;取值區(qū)間

在學習乘法估算解決問題之前，學生對估算具備一定學習基礎：了解近似數(shù)，會用“估算比答”進行加減法的估算。因此本課的重點和難點在于，根據(jù)問題情境對估算數(shù)據(jù)進行合理取值和確定估算的區(qū)間范圍。但是學生往往無法說清估算的策略選擇，且對估算取值的區(qū)間認知模糊，缺失尋找區(qū)間的方法。根據(jù)學生已具備的用線段圖分析問題、解決問題的能力，筆者利用數(shù)軸（類同線段圖）的直觀性，幫助學生凸顯估算的推理過程，進而判斷取值策略的正確性，確定估算準確值的區(qū)間范圍。

一、數(shù)軸直觀顯示，區(qū)別乘法估算與加法估算

由于學生此前對估算的學習是在加減法的基礎上進行的，因此學生會把這個方法遷移到本課的估算中，往往會把所有數(shù)據(jù)全部估大或者全部估小，導致估算結果過大而無法做出正確的判斷。筆者分別在爾儀小學302班和303班（共計：81人）試教過程中，以人教版數(shù)學三年級上冊第六單元的例7為例：三（1）班29個學生去參觀航天航空展覽，門票8元/人，帶250元買門票夠嗎？學生估算的具體數(shù)據(jù)情況如表1：

從統(tǒng)計表中可知，有[13]的學生出現(xiàn)了加減法估算方法的負遷移，做判斷時出現(xiàn)兩種情況：一是根據(jù)估算數(shù)據(jù)結果，得出250元不夠的結論;二是根據(jù)數(shù)感，忽略估算結果，認為250元足夠了。前后試教過程，筆者在反饋學生作品做出不同的安排：第一次沒有加入數(shù)軸，第二次加入了數(shù)軸。這凸顯了乘法估算和加法估算的區(qū)別。

【前期試教片段一】

1. 呈現(xiàn)例題

2. 學生獨立估算。師：請你估一估、算一算，寫在學習單上。

3. 學生反饋作品

作品一：

估：29≈30

算：30×8=240（元）

比：29×8<240<250

答：250元買門票夠了。

（1）學生匯報，規(guī)范估算表達的語言。

（2）認識“≈”，區(qū)分“≈”和“=”的不同點。

小結：所以可以知道29×8肯定小于240元，也就小于了250元。

作品二：

估：29<30，8<10

算：30×10=300（元）

比：29×8<300（元）

答：250元不夠。

請仔細閱讀作品二，你認為正確么？理由是什么？

小結：把29×8，如果估算29成30，8估算成10，確定小于300元，但29×8在250元的左邊還是右邊呢？無法判斷29×8和250元的關系，也就無法解決問題。

4. 對比：對比兩幅學生作品，你發(fā)現(xiàn)了什么？

小結：選擇數(shù)據(jù)估算的時候，要根據(jù)問題的要求，有時候可以兩個數(shù)據(jù)都估算，有時候只能估算一個數(shù)據(jù)。

在本次試教過程中，發(fā)現(xiàn)學生雖然知道不能將估算得到的300元和問題的250元進行比較，但是對其中的推理過程依然不明就里，因此筆者在第二次試教過程中，在兩次作品反饋之后，結合數(shù)軸進行了推理驗證。

【定稿教學片段一】

前面教學內容與試教內容一致，在后面加入數(shù)軸驗證環(huán)節(jié)。

1. 作品一的數(shù)軸驗證

小結：從這幅數(shù)軸圖中可以看出29×8肯定小于240元，也就小于了250元。

2. 作品二的數(shù)軸驗證

小結：從數(shù)軸圖來看，把29×8，如果估算29成30，8估算成10，確定小于300元，但29×8和250都在300的左邊，因此無法判斷29×8和250元的關系，也就無法解決問題。

追問：什么樣的問題，兩種做法都可以解決呢？（帶300元買門票夠嗎？）

通過線段圖對比，讓學生感悟選擇數(shù)據(jù)估算，有時候要選擇一個，有時候要選擇兩個，這是由問題決定的。

二、數(shù)軸自主驗證，理清估算策略推理本質

由于第一個環(huán)節(jié)學生已經通過估大的策略確定了帶250元購買門票夠了，接下來以“那150元錢夠買門票嗎？”的問題，引導學生利用估小策略解決問題。

【前期試教片段二】

反饋學生的作品

作品一：

估：29≈20

算：20×8=160（元）

比：29×8>160>150<250（元）

答：150元買門票不夠。

作品二：

估：29≈30

算：30×8=240（元）

比：29×8<240（元）

答：150元買門票不夠。

小結：乘法估算的時候要把數(shù)據(jù)估算的結果盡量靠近比較的數(shù)值，以比較的數(shù)值為目標問題的要求合理選擇估算的策略。

在教學過程中，先通過學生獨立估算。但由于第一環(huán)節(jié)的影響，部分學生依然會用估大的策略來解決，然后對估大策略和估小策略辨析判斷，反饋中，學生感受到了語言表達估算推理的困難。因此，筆者結合學生作品，引入數(shù)軸，讓學生自己在數(shù)軸上擺一擺每個數(shù)或者算式的位置，理清估算策略中蘊含的推理本質。

【定稿教學片段二】

前面教學內容于試教內容一致，在后面加入數(shù)軸驗證環(huán)節(jié)。

生1：第一幅線段圖的29×8大于160元，在160元的右邊，也就在150元的右邊，所以帶150元肯定不夠。

生2：第二幅線段圖的29×8小于240元，在240元的左邊，但是無法判斷29×8和150元的關系，所以不知道帶150元到底夠不夠。

小結：乘法估算的時候要把數(shù)據(jù)估算的結果盡量靠近比較的數(shù)值，以比較的數(shù)值為目標問題的要求合理選擇估算的策略。

因為學生感受到用語言表達推理過程的困難，因此順理成章的用數(shù)軸的直觀性來幫助辨析和判斷，進而理清估算策略推理本質。最后通過數(shù)軸的對比分析得出估算的小竅門：把數(shù)據(jù)估算的結果盡量靠近比較的數(shù)值。同時估算策略選擇的方法：以比較的數(shù)值為目標和問題的要求合理選擇估算的策略。

之后在練習中再次呈現(xiàn)不同情境下的類似估算策略選擇問題，并用數(shù)軸再次驗證估算推理的本質。

【定稿教學片段三】

過渡：已經確定了宇航員模型的價格在300和360元之間，那么帶360元肯定是夠的，但是估算的過程應該是怎樣呢？

1. 請仔細閱讀，思考選擇A還是B，并想一想、說一說你的理由。

例1：火箭模型的價錢是54元，宇航員模型的價錢是火箭模型的6倍，小明帶了360元錢，買一個宇航員模型，夠嗎？（A）

A：

估：54≈60

算：60×6=360（元）

比：54×6<360

答：360元夠了。

B：

估：54≈50

算：50×6=300（元）

比：54×6>300

答：360元夠了。

2. 用線段圖來驗證。

生1：第一幅線段圖的54×6小于360元，所以帶360元肯定夠了。

生2：第二幅線段圖的54×6大于300元，在300元的右邊，但是無法判斷54×6和360元的關系，所以就不知道到底帶360元夠不夠。

3. 小結：比較的數(shù)值為目標進行估算，但是也要考慮問題的要求，合理選擇估算的策略。

這一點是本課的重點之一，在練習題中讓學生以選擇題的形式選擇合適的估算策略，然后用數(shù)軸解釋所選擇估算策略的推理過程，證明估算策略選擇的正確性。

三、數(shù)軸動態(tài)重合，直面估算區(qū)間的形成

學生分別經歷了估大和估小策略，在此基礎上進行對比，對比的作用有兩個：一是學生感悟的問題情境不一樣，要解決的問題不一樣，選擇估算的策略也不一樣，有時候估大、有時候估小。二是把線段圖通過課件動態(tài)演示重合在一起，讓學生直面估算的取值區(qū)間，即在150到250之間，也在通過估算得到的160到240之間。

【定稿教學片段四】

1. 對比，感悟合理選擇估大或者估小的策略。

三（1）班有29名同學去參觀航天航空展覽，門票8元/人。

帶了250元買門票夠嗎？

估：29≈30

算：30×8=240（元）

比：29×8<240<250

答：帶250元買門票夠了。

帶了150元買門票夠嗎？

估：29≈20

算：20×8=160（元）

比：29×8>160>150

答：帶150元買門票不夠。

師：這兩道題目和解題方法有什么不一樣的地方？（一個估大，一個估?。?/p>

小結：所以我們在用估算解決問題的時候，要認真分析具體問題和數(shù)據(jù)，合理選擇估大或者估小的策略。

2. 重合線段，感悟估算的取值區(qū)間。

師：請仔細看，兩幅線段圖合成了一幅線段圖，看合成的線段圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：29×8在150元和250元之間，就是灰色部分。

生2：29×8在160元和240元之間，就是白色部分。

小結：是的，通過估算把29估大成30得到了240元，29估小成20得到了160元，就確定29×8的取值區(qū)間，即在150到250之間，更在160到240之間。

線段圖的動態(tài)重合，直觀呈現(xiàn)了區(qū)間的產生過程，把原本模糊的取值區(qū)間明朗化，一下子呈現(xiàn)在學生的面前，通過觀察直接得出了29×8的取值區(qū)間是怎么來的，是把29估大成30得到240元，29估小成20得到160元，得到區(qū)間在160到240之間，完全不需要教師的介入講解尋找估算取值區(qū)間的方法。

在此基礎上，直接進行模擬練習。

【定稿教學片段五】

過渡：參觀途中，小明看到有關航天航空的模型售賣處，里面有什么呢？我們一起來看看。

選一選：火箭模型的價錢是54元，宇航員模型的價錢是火箭模型的6倍，下面哪個數(shù)軸能表示宇航員模型價格范圍（B）

（1）請你仔細閱讀，并想一想你選擇的理由。

（2）小結：把54估小成50得到300元，估大成60得到360元，所以可以確定它的積肯定在300到360之間。

取值區(qū)間的練習直接放在線段上選擇，這樣的形式鞏固了估算取值區(qū)間的尋找方法，同時對估算區(qū)間有了更加清晰的認識

四、數(shù)軸判斷相同，結合數(shù)量關系判斷結論

數(shù)軸的應用在很大的程度上幫助學生解決很多同類型的估算問題，但是最后教材中安排的“做一做”卻與例題的估算結論的判斷方法完全不同。在利用數(shù)軸幫助判斷不適用時，可以結合根據(jù)數(shù)量關系式來判斷得出結論。

【定稿教學片段六】

過渡：參觀結束了，大家準備乘坐汽車返校了，在停車場，碰到了四年級的同學也要坐車回去。

例2：360名四年級學生準備返校，一輛車最多能坐54人，6輛車坐得下四年級的學生嗎？

（1）學生獨立計算

估：54≈60

算：60×6=360（人）

比：54×6<360

答：坐不下360人。

（2）線段圖驗證

（3）小結：根據(jù)線段圖來看，54×6小于360人，在360人的右邊，人數(shù)大于汽車的座位數(shù)，所以360人肯定不坐不下。

對比：感悟結論的不一致

問題：請仔細對比例1和例2，有什么相同的地方和不同的地方？

相同點：同樣的數(shù)據(jù)：54、6、360，同樣的估算策略：都是估大。

不同點：問題情境不一樣，結論也不一樣。

小結：雖然數(shù)據(jù)一樣，估算策略一樣，但由于具體情境不一樣，得到的結論也不一樣，所以對于結論的判斷，要根據(jù)實際情況進行判斷。

在對比中，相同的數(shù)據(jù)、相同的數(shù)軸，但得到的結論判斷完全不一樣，讓學生感受到有時候數(shù)軸不是萬能的，存在一定局限性。面對估算“每份數(shù)”和“份數(shù)”引起的估算結論判斷的不同，直面估算的難點。在例題的學習中，以估算“份數(shù)”為主，讓學生產生了“估小了不夠肯定不夠，估大了夠肯定就夠”的錯覺，而教材中安排的“做一做：估算‘每份數(shù)”就打破了這個錯覺。因此，筆者直擊這個矛盾點，用相同的數(shù)據(jù)，不同的問題情境，引導學生感受估算“份數(shù)”和“每份數(shù)”，得出的結論完全相反。進而引導學生要根據(jù)問題的情境做出合理的判斷，實際情況實際分析。

五、結語

通過數(shù)軸的步步為營，從根本上讓學生感悟到估算的策略選擇要根據(jù)問題要求和比較數(shù)據(jù)來確定，取值區(qū)間的確定在于把估算數(shù)估成相鄰的整十數(shù)，并且利用數(shù)軸突破區(qū)間尋找方法的缺失問題。最后在面對估算“每份數(shù)”和“份數(shù)”引起的估算結論判斷的不同，直面估算的矛盾點，引發(fā)學生的思考，得出要根據(jù)問題的情境做出合理判斷的結論，給這節(jié)課畫下圓滿的句號。