趙健，柳江，李明星，袁策

(青島理工大學 機械與汽車工程學院，山東 青島 266520)

汽車被動懸架存在構型相同則性能特征必然相同的桎梏，不能適應多變的路況，因而主動懸架成為研究的重點.控制策略是主動懸架研究的核心，不同的控制算法應用在懸架上取得的效果有所不同[1-4].線性二次高斯(linear-quadratic-Gaussian，LQG)算法作為一種較完善的控制算法，在懸架減振方面應用廣泛，主動懸架控制器常采用該算法提升車輛性能.LQG控制器設計的關鍵在于各性能指標加權系數(shù)的選取，文獻[5-7]采用試湊法確定加權系數(shù)，原理簡單，但調(diào)試加權系數(shù)耗費時間較長且適應性較差.文獻[8-9]利用層次分析法(analytic hierarchy process，AHP)求出2自由度和4自由度主動懸架各性能指標的加權系數(shù).文獻[10-11]利用遺傳算法(genetic algorithm，GA)求出2自由度和7自由度主動懸架性能指標的加權系數(shù).李鑫軍等[12]將AHP和GA相結合，求得加權系數(shù).但上述文獻中，AHP存在主觀片面性較多、穩(wěn)定性較差的缺點；而GA的問題則是初始搜索范圍較差，未能考慮各性能指標數(shù)量級的差異.因此，本文提出一種新的權值優(yōu)化方案，將K均值聚類算法(K-means clustering algorithm，KCA)引入到加權系數(shù)的優(yōu)化中，得出更合適的加權系數(shù)，從而提升車輛懸架的性能.

1 2自由度車輛模型

1.1 路面模型的建立

濾波白噪聲生成隨機路面輸入模型為

(1)

式(1)中：zq為路面位移，m；f0為下截止的頻率，Hz；G0為路面的不平度系數(shù)，m3·r-1；u0為車輛的前進速度，m·s-1；w為數(shù)學期望為0的高斯白噪聲.

1.2 2自由度1/4車輛懸架模型的建立

建立2自由度1/4車輛模型，如圖1所示.圖1中:mb為車身質量；mw為車輪質量；ks為懸架剛度；kt為輪胎剛度；f為懸架主動控制力；cs為懸架阻尼系數(shù)；zb為車身位移；zw為車輪位移；zq為路面位移.

圖1 2自由度1/4車輛模型

車輛模型的動力學方程為

(2)

(3)

1.3 系統(tǒng)狀態(tài)方程

1/4車輛模型的車身加速度、輪胎動位移和懸架動行程是主要的懸架性能指標，因此系統(tǒng)的狀態(tài)變量X和輸出變量Y選取為

(4)

則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(5)

2 主動懸架LQG控制器的設計

在汽車行駛過程中，既要考慮車輛平順性，又要保證行車安全性，同時還要避免懸架動撓度過大.因此，性能指標函數(shù)J表達式為

(6)

式(6)中：q1，q2和q3分別是各性能指標的加權系數(shù).

根據(jù)最優(yōu)控制理論，式(6)為

(7)

式(7)中：Q，R分別是狀態(tài)變量及控制變量的加權矩陣；N是交叉項的權重.

由MATLAB軟件中的lqr函數(shù)求出最優(yōu)增益反饋矩陣K，即

[K，S′，E]=lqr(A，B，Q，R，N).

(8)

式(8)中：S′為Riccati方程解；E為系統(tǒng)特征值.

根據(jù)狀態(tài)變量X在時刻t的瞬時值X(t)，可求出作動器在時刻t的控制力U(t)為

U(t)=-KX(t).

(9)

3 基于AHP的控制器的仿真分析

3.1 基于AHP的確定加權系數(shù)

(10)

3.1.2 主觀加權比例系數(shù) 1)構造性能指標間的判斷矩陣H，設hi，j為指標i對指標j的重要性比值，hi，j性能指標間重要性比值如下：同等重要為1；略重要為3；比較重要為5；重要為7；很重要為9.若指標間重要性比值介于2個比值之間，則可依次取2，4，6，8.

2)求解各性能指標的權重排序向量W，根據(jù)判斷矩陣H，可知H中各行元素的乘向量M為

(11)

(12)

(13)

3)H的最大特征值λmax及一致性檢驗CR分別為

(14)

式(14)中：RI是H的隨機一致性指標.

當n=3時，RI=0.52，將此值代入式(14)，求解CR.若CR<0.1，則通過一致性檢驗，否則，需要對矩陣H進行一致性校正[13].

4)求解主觀加權比例系數(shù)，以車身加速度為主要優(yōu)化目標，令其主觀加權系數(shù)γ1為1，則其他性能指標的主觀加權系數(shù)為

W1/γ1=Wi/γi，i=1，2，…，n.

(15)

3.1.3 最終加權系數(shù) 由式(10)得出的同尺度量化比例系數(shù)βi及由式(15)得到的主觀加權比例系數(shù)γi求得懸架各性能指標的最終加權系數(shù)qi，即

qi=βi×γi，i=1，2，…，n.

(16)

3.2 車輛模型的仿真輸入?yún)?shù)

以某轎車為研究對象，車輛模型有關參數(shù)[14]如表1所示.

表1 車輛模型仿真輸入?yún)?shù)

3.3 基于AHP的LQG控制器的仿真與分析

基于AHP優(yōu)化的懸架性能仿真圖，如圖2所示.由判斷矩陣H，再根據(jù)式(10)～(15)可得到3個性能指標的加權系數(shù)分別為q1=1，q2=1 130，q3=73 445.根據(jù)表1車輛模型輸入仿真參數(shù)和3個加權系數(shù)，運行MATLAB/Simulink軟件中的仿真模型.被動懸架的車身加速度、懸架動行程、輪胎動位移均方根值分別為1.266 9，0.012 4，0.004 5；采用AHP優(yōu)化后的主動懸架的車身加速度、懸架動行程、輪胎動位移均方根值分別為1.096 4，0.010 2，0.004 7.

(a)車身加速度

由圖2可知：相較于被動懸架，采用AHP主動懸架車身加速度的均方根值有明顯的降低，減小了13.46%，有效地改善了汽車平順性；懸架動行程減小17.74%，且完美符合設計的要求范圍(±100 mm)，降低了撞擊懸架限位的概率；但是主、被動懸架的輪胎動位移的均方根值相差不大，說明主動懸架對輪胎動位移沒有明顯的控制效果.因此，LQG控制器的設計符合要求.

4 基于KCA的控制器的仿真分析

4.1 KCA樣本的確定

為保證車身加速度的優(yōu)化效果，令車身加速度的加權系數(shù)為q1=1，q2，q3為自變量.在MATLAB中，根據(jù)AHP提供的加權系數(shù)，采用Random隨機函數(shù)進行仿真實驗.設q2范圍為[1 000，2 000]，q3范圍為[50 000，100 000]，在此范圍內(nèi)各隨機取15個數(shù)值.

加權系數(shù)q2，q3的隨機取值在MATLAB軟件表示為

(17)

運行函數(shù)后，得到

(18)

將q2，i，q3，i正交組合，q1=1，得到225組加權系數(shù)，代入到LQG控制器中進行仿真實驗，得到主動懸架3個性能指標的均方根值RMS(a)，RMS(S)，RMS(s).記錄仿真結果并按序編號，將其作為KCA聚類分析的樣本，得到樣本數(shù)據(jù).

4.2 基于KCA的樣本數(shù)據(jù)仿真與分析

4.2.1 KCA的設計與編程 KCA的輸入包含N個數(shù)據(jù)集x和類簇的數(shù)目k；輸出為k個類簇及每個類簇包含的樣本個數(shù)及編號[15].

算法流程，如圖3所示，具體有如下5個步驟.

圖3 KCA聚類流程 圖4 聚類結果圖

1)初始化.X為給定包含N個數(shù)據(jù)的集合；K為聚類的類數(shù)；初始聚類中心為在X中隨機選取k個對象.

2)設定迭代終止條件.通常設置最大循環(huán)次數(shù)作為終止條件.

3)更新樣本對象所屬類.根據(jù)距離準則將數(shù)據(jù)對象分配到距離最接近的類.

4)更新類的中心位置.將每一類的平均向量作為下次迭代的聚類中心.

5)重復步驟3)～4)，當滿足步驟2)中的迭代終止條件時，完成聚類.

4.2.2 KCA的聚類結果分析 在MATLAB軟件中編寫并運行KCA程序，根據(jù)懸架性能指標相似度的不同，樣本劃分為9類，得到聚類結果如圖4所示.

由于主動懸架3個性能指標數(shù)量級和單位的差異性，無法直接疊加，為了獲得LQG的綜合控制效果，將懸架的3項指標歸一化處理，得到綜合控制指標L，即

(19)

式(19)中：Δi是主動懸架的性能指標；下標p是指被動懸架.

KCA聚類結果均值，如表2所示.表2中：M(i)(i=1，2，3，…，9)為i類均值；n為樣本數(shù).

由表2可知如下5點.1)對象最多的一類有32個樣本，最少的一類包含12個樣本.2)第2，9類的L最小，數(shù)值分別為2.616 5，2.632 0，綜合控制效果最好.這兩類的特征是RMS(a)較低，車輛乘坐舒適性相較于被動懸架改善較為明顯.這兩類權值系數(shù)取值分別為q2，2=1 435，q3，2=58 353；q2，9=1 373，q3，9=59 605，所選轎車模型懸架動行程的加權系數(shù)取值范圍為1 350～1 450，輪胎動位移的加權系數(shù)取值范圍為58 300～59 700時，車輛懸架獲得最優(yōu)性能.3)第3，4，6類的L居中，懸架性能表現(xiàn)較好；第1，5，7，8類的L值最大，數(shù)值均超過2.700 0，第5類L值接近2.800 0，懸架控制效果最差.此時，權值系數(shù)q2為1 550～1 750，q3為79 000～93 000，表明懸架動行程、輪胎動位移在加權系數(shù)都取較大值時，改善較大，但綜合控制效果反而有所降低.4)a和L的改善效果具有一致性，兩者成正相關.

表2 KCA聚類結果均值

車身加速度直觀地體現(xiàn)汽車平順性，根據(jù)RMS(a)的均值，再結合L，對9類數(shù)據(jù)進行分級處理，作出AHP-KCA分級表，如表3所示.

表3 AHP-KCA主動懸架分級表

表3是以機器學習替代專家主觀選擇的結果，對于不同車型都可以用AHP-KCA算法分析處理，為LQG控制器設計時權值的選擇提供數(shù)據(jù)框架.從A級加權系數(shù)中選出控制效果最好的一組數(shù)據(jù)，q2=1 415，q3=59 300.由表3可知：9類樣本數(shù)據(jù)分為3級，其中，第2，9類為A級，控制效果最佳；第3，4，6類為B級，控制效果較好；第1，5，7，8類為C級，控制效果差，但相較于被動懸架，這3級懸架性能都有所提升.

5 基于AHP-KCA主動懸架控制器的仿真分析

節(jié)3通過AHP求出了一組加權系數(shù)，在此基礎上，節(jié)4利用KCA確定了另一組最優(yōu)加權系數(shù).結合這2組加權系數(shù)，運行Matlab/Simulink軟件中的仿真模型，便可得到被動懸架與基于2種算法的主動懸架各性能仿真圖，如圖5所示.

(a)車身加速度

由圖5(a)可知：相較于被動懸架，主動懸架顯著降低了a的幅值，改善汽車的乘坐舒適性.由圖5(b)可知：S明顯的減小有效降低懸架擊穿概率，使懸架工作空間得到更充分的利用.由圖5(c)可知：采用AHP的主動懸架對s的控制效果不佳，但采用AHP-KCA的主動懸架降低s，改善行車安全性.

為了定量化分析，各性能指標均方根值，如表4所示.表4中：η1為AHP主動懸架性能指標變化率；η2為AHP-KCA主動懸架性能指標變化率.

表4 各性能指標均方根值

由表4可知：相較于被動懸架，2種算法設計的主動懸架均有效降低a，S的均方根值，且減小幅度都超過10.00%，驗證了AHP比較矩陣中比值選擇的合理性；AHP-KCA主動懸架比單一AHP主動懸架改善幅度更大，幅值減少超過20.00%，雖然AHP主動懸架對s沒有起到積極效果，但AHP-KCA主動懸架降低s，減少幅度為8.90%，證明AHP-KCA結合算法的優(yōu)越性.

為了驗證AHP-KCA算法的可靠性，將AHP-KCA的仿真結果與已有文獻作對比，對比結果如表5所示.表5中:η3為a的相對誤差率；η4為S的相對誤差率；η5為s的相對誤差率.

表5 仿真結果對比

由表5可知：文中實驗數(shù)據(jù)與已有文獻實驗數(shù)據(jù)的相對誤差均較小，其中，a與文獻[16]的實驗數(shù)據(jù)誤差為16.27%，S與文獻[18]的實驗數(shù)據(jù)相對誤差為2.20%；與其他文獻的仿真結果相比，文中相對誤差也較小，3個性能指標的相對誤差均在8%以下.因此，采用AHP-KCA算法的主動懸架起到不錯的控制效果.

6 結論

1)在傳統(tǒng)LQG算法基礎上，增加AHP算法改善懸架的控制效果，并進一步引入KCA聚類，仿真結果證明：機器學習替代專家系統(tǒng)的方法是可行的，同時，其對于其他的基于經(jīng)驗的懸架控制算法也有一定的參考價值.

2)與被動懸架相比，采用AHP-KCA算法設計的LQG控制器，能顯著提升汽車懸架性能(3個指標分別降低了20.03%，25.00%，8.90%).同時，將文中的仿真結果與其他文獻的仿真或實驗結果進行對比，相對誤差均較小，證明了仿真結果的準確度，證明了AHP-KCA算法的可行性.

3)AHP-KCA算法給出了包含225組加權系數(shù)及懸架響應特性的數(shù)據(jù)集，并利用KCA分類分級，為LQG控制器設計中加權系數(shù)的確定提供了選擇框架和理論指導.