陳燦輝，黃春慶

(廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，福建 廈門 361005)

1 引言

輸出方差是過(guò)程控制系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)之一[1，2]。由于PID控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，至今仍然為大多數(shù)工業(yè)控制回路所采用[4]。受PID控制器結(jié)構(gòu)限制，PID控制器無(wú)法完全實(shí)現(xiàn)最小方差(Minimum Variance， MV)控制的性能[2，3]。因此，近似實(shí)現(xiàn)最小方差控制的PID控制器(MV-PID)參數(shù)整定問(wèn)題是值得研究的問(wèn)題。

傳統(tǒng)的PID參數(shù)整定法如Z-N法、繼電反饋法、階躍響應(yīng)法和極點(diǎn)配置法等[5]，是基于時(shí)域的性能指標(biāo)如超調(diào)量、響應(yīng)時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間等作為性能指標(biāo)進(jìn)行整定參數(shù)的，通常把參數(shù)整定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基于性能指標(biāo)的一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題、并通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題獲得參數(shù)整定。基于最小方差PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題也可以采用類似的方法進(jìn)行求解。Ko和Edgar[6]提出了一種基于過(guò)程輸出數(shù)據(jù)和過(guò)程模型的梯度基方法來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)PID控制器參數(shù)整定； Kariwala[7]提出一種解析下界法，通過(guò)選擇擾動(dòng)到輸出之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)的兩倍時(shí)延項(xiàng)脈沖響應(yīng)系數(shù)，來(lái)獲得PID參數(shù)和相應(yīng)的PID可實(shí)現(xiàn)的最小方差；Shahni和Malwatkar[2]提出了一種利用MathWorks優(yōu)化工具函數(shù)fminco實(shí)現(xiàn)PID優(yōu)化設(shè)置的簡(jiǎn)單方法；Huang和Huang[8]提出利用牛頓迭代方法求出PID控制系統(tǒng)的最小輸出方差以及相應(yīng)的最優(yōu)PID參數(shù)。Dickinson和Shenton[9]提出了一種參數(shù)空間技術(shù)，將現(xiàn)有魯棒控制技術(shù)中的參數(shù)空間邊界進(jìn)行疊加，從而實(shí)現(xiàn)非保守魯棒最小方差PID設(shè)計(jì)。由于最小方差PID控制器參數(shù)整定的優(yōu)化問(wèn)題是非凸的，因此上述的優(yōu)化算法對(duì)初值選取均有比較高的要求。如果初值選擇不當(dāng)，只能得到局部最優(yōu)解[3，10]。顯然，選擇適當(dāng)?shù)某踔挡⒎且资耓3]。

針對(duì)隨機(jī)干擾下的MV-PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題，考慮其優(yōu)化問(wèn)題的非凸性，采用粒子群算法以獲取全局最優(yōu)解。目前，基于粒子群算法的PID參數(shù)(PID-PSO)整定方法，基本上是利用PSO的全局尋優(yōu)特點(diǎn)找到使系統(tǒng)超調(diào)量最小、穩(wěn)定時(shí)間最短、上升時(shí)間最小等幾個(gè)描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)最優(yōu)化及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差最優(yōu)的PID控制器參數(shù)[11-14]，實(shí)際上，對(duì)于過(guò)程控制系統(tǒng)而言，更關(guān)心的是抗干擾的性能。因此本文在利用粒子群算法求解上述提到的非凸優(yōu)化問(wèn)題目的在于保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，得到系統(tǒng)的最小輸出方差，并用仿真算例驗(yàn)證了本文方法的有效性。

2 MV-PID控制器參數(shù)整定

考慮離散反饋控制系統(tǒng)如圖1所示，閉環(huán)輸出可以表示為[3，8]

y(t)=G(q-1)u(t)+N(q-1)a(t)

(1)

一般地，PID控制器 采用標(biāo)準(zhǔn)離散結(jié)構(gòu)

(2)

其中k1，k2，k3為待整定的控制器參數(shù)。

圖1 典型單回路反饋系統(tǒng)

當(dāng)參考信號(hào)ysp(t)=0時(shí)，擾動(dòng)源a(t)到輸出y(t)傳遞函數(shù)表示為[3，8]

(3)

由于a(t)方差為1，可知系統(tǒng)輸出方差為[3]

(4)

考慮如圖-1隨機(jī)擾動(dòng)下的過(guò)程控制系統(tǒng)，控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使得閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾性能最優(yōu)。于是，基于最優(yōu)輸出方差性能的PID控制器參數(shù)I={k1，k2，k3}整定可表示為如下優(yōu)化問(wèn)題

(5)

(6)

(7)

其中si是閉環(huán)傳遞函數(shù)S(q-1)的脈沖響應(yīng)系數(shù)。當(dāng)S(q-1)的所有極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)時(shí)，對(duì)于足夠大的i，si將近似于0。事實(shí)上，根據(jù)文獻(xiàn)[2]，當(dāng)i足夠大即i>4d(其中d為受控對(duì)象時(shí)延)時(shí)，式(6)可近似為

(8)

其中

(9)

相應(yīng)地，優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

(10)

為了計(jì)算方便起見(jiàn)，將控制器中的積分環(huán)節(jié)與對(duì)象模型G合并為

(11)

于是得到如下關(guān)系式

(12)

(13)

從而

(14)

其中Nt為擾動(dòng)傳遞函數(shù)的脈沖響應(yīng)系數(shù)向量，即

Nt=[n0n1n2…nm]T

(15)

W為m×m維矩陣，其中wi為矩陣的第i階元素

(16)

因此通過(guò)求解由式(14)所表征的優(yōu)化問(wèn)題(10)，可獲得最小方差的PID 控制器最優(yōu)參數(shù)。

3 參數(shù)整定優(yōu)化問(wèn)題粒子群算法

由于式(10)優(yōu)化問(wèn)題的非凸性，傳統(tǒng)的凸方法求解往往不能獲得全局最優(yōu)解。考慮到粒子群算法(Particle Swarm Optimization， PSO)具有的優(yōu)點(diǎn)：搜索速度快，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)；不依賴優(yōu)化問(wèn)題本身的嚴(yán)格數(shù)學(xué)性質(zhì)，且能夠求得問(wèn)題的全局最優(yōu)解，因此在求解MV-PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題上比其它迭代優(yōu)化算法更有優(yōu)勢(shì)[15，16]。

給出MV-PID的完整帶約束優(yōu)化問(wèn)題如下

s.tPL≤k1≤PU；IL≤k2≤IU；DL≤k3≤DU；

(17)

其中PL和PU、IL和IU、DL和DU分別表示PID控制器控制的對(duì)應(yīng)三個(gè)參數(shù)的約束范圍，與此同時(shí)，所給的PID參數(shù)需要保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

常規(guī)的粒子群算法流程主要由以下幾個(gè)步驟[14，15]：初始化、個(gè)體極值與全局最優(yōu)解、更新速度和位置公式以及終止條件判斷。給出各步驟具體內(nèi)容：

1)初始化：

①確定迭代次數(shù)g和種群大小n；

②目標(biāo)函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)d；

2)個(gè)體極值與全局最優(yōu)解：

①定義適應(yīng)度函數(shù)f；

②個(gè)體極值為單個(gè)粒子找到的最優(yōu)解，即最小方差；

③從所有種群中找到最優(yōu)解然后進(jìn)行迭代更新；

3)更新位置和速度：

速度公式

Vid=ωVid+C1random(0，1)(Pid-Xid)

位置公式：Xid=Xid+Vid

其中ω為慣性因子，其值非負(fù)，較大時(shí)全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，較小時(shí)局部尋優(yōu)能力強(qiáng)；C1為個(gè)體學(xué)習(xí)因子；C2為社會(huì)學(xué)習(xí)因子；Pid表示第i個(gè)變量的個(gè)體極值第d維；Pgd表示全局最優(yōu)解的第d維；Vid表示第i個(gè)標(biāo)量的個(gè)體極值第d維的速度；Xid表示第i個(gè)變量的個(gè)體極值第d維的位置。

4)終止條件：達(dá)到迭代次數(shù)即終止，否則返回第2)步。

4 仿真算例

本文的仿真，參照文獻(xiàn)[3]中提供了十個(gè)仿真算例，如表1所示。通過(guò)本文所提出的算法求解，獲得的最優(yōu)PID參數(shù)整定如表3所示；并將本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3]的結(jié)果作對(duì)比，相應(yīng)的最小方差值，均列于表3。具體算法過(guò)程說(shuō)明如下：

表1 仿真算例

通過(guò)Matlab仿真軟件實(shí)現(xiàn)粒子群算法并求解式(10)中的優(yōu)化問(wèn)題，其中在搜索空間內(nèi)隨機(jī)生成種群時(shí)，結(jié)合具體系統(tǒng)特征，應(yīng)保證離散反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)的特征方程的根均在單位圓內(nèi)。在表1算例3，4，5，6中，(在不考慮計(jì)算時(shí)間開(kāi)銷及計(jì)算復(fù)雜度的情況下，為了保證整定參數(shù)準(zhǔn)確性，需要擴(kuò)大種群的大小)，若是考慮算法的快速性以及結(jié)果的準(zhǔn)確性，可以將搜索空間M改成：[0， 1]、[-2， 0]和[0， 1]，種群的大小則不需要改變。仿真結(jié)果如下：

表2 參數(shù)設(shè)置

表3 仿真結(jié)果比較

表3中，MV表示線性最小方差的理論值；PID-Benchmark表示文獻(xiàn)[3]所設(shè)計(jì)最小方差PID的輸出方差值，常常被引為比較基準(zhǔn)；本文利用粒子群算法得到結(jié)果列于表格右側(cè)，其中列Max_root表示相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的最大幅值。

由表3中的仿真結(jié)果可見(jiàn)，本文所提出方法獲得的閉環(huán)系統(tǒng)最終輸出方差，與文獻(xiàn)[3]的PID-Benchmark，差別幾乎可以忽略不計(jì)，表明了通過(guò)粒子群算法來(lái)計(jì)算MV-PID參數(shù)整定是可行且有效。相較其它的迭代優(yōu)化算法來(lái)說(shuō)，粒子群算法能夠在全局范圍內(nèi)搜索優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解，避開(kāi)局部最優(yōu)解，使所求解的PID參數(shù)在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，最小化系統(tǒng)的輸出方差。

5 結(jié)論

當(dāng)噪聲源至閉環(huán)輸出的傳遞函數(shù)滿足穩(wěn)定條件時(shí)，PID參數(shù)整定問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題。由于該問(wèn)題的非凸性，常規(guī)優(yōu)化方法往往無(wú)法得到全局最優(yōu)解。本文采用粒子群算法，獲得該非凸優(yōu)化問(wèn)題的全局解，從而解決了MV-PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題。通過(guò)多個(gè)仿真算例，應(yīng)用本文算法進(jìn)行參數(shù)整定，其控制效果幾乎與理想最小方差控制一致，從而驗(yàn)證了本文算法的有效性，為MV-PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題提供了另外一種值得推薦的選擇。