霍銀磊， 姬喜龍

(1.河南科技大學(xué) 包裝工程系，河南 洛陽(yáng) 471000； 2.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471000)

產(chǎn)品在運(yùn)輸和裝卸過(guò)程中會(huì)受到各種各樣的外部沖擊，例如意外的碰撞或跌落等。電商的快速發(fā)展也為產(chǎn)品系統(tǒng)的抗沖擊性能提出了更高的要求，大多數(shù)產(chǎn)品都是包含不同材料、不同結(jié)構(gòu)件的復(fù)雜組合體， 很多情況下必須按多自由度分析處理，才能得到較為合理的設(shè)計(jì)結(jié)果[1-4]。為此，Schell[5]、王志偉等[6-7]、高德等[8]、王軍等[9-11]、段寧寧等[12-13]眾多學(xué)者考慮了二自由度及多自由度包裝問題，研究了質(zhì)量比和剛度比對(duì)產(chǎn)品響應(yīng)的影響。

近年來(lái)，不少學(xué)者將產(chǎn)品中的彈性部件考慮為連續(xù)體，研究了包裝系統(tǒng)的跌落沖擊問題。奚德昌等[14-15]討論了雙層商品包裝和具有彈性元件的產(chǎn)品的防震緩沖問題，Suhir等[16-18]針對(duì)帶彈性板易損件的產(chǎn)品包裝系統(tǒng)，建立動(dòng)力學(xué)模型，分析了彈性板的跌落沖擊特性。高德等[19-21]分別考慮含有不同類型易損件的產(chǎn)品系統(tǒng)，研究了跌落沖擊過(guò)程中易損件位移響應(yīng)、加速度響應(yīng)和應(yīng)力分布的特點(diǎn)，指出決定動(dòng)力學(xué)可靠性的是易損件的最大應(yīng)力，而不是最大加速度。郝蒙等[22]以含懸臂梁式易損件的三次非線性包裝系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于L-K法與有限元法探討了易損件位移、加速度響應(yīng)以及內(nèi)應(yīng)力變化規(guī)律。

本文以含有彈性約束的懸臂梁式易損件的包裝系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于Euler梁理論及Hamilton變分原理，建立系統(tǒng)跌落沖擊下的剛?cè)狁詈戏蔷€性動(dòng)力學(xué)方程，基于模態(tài)分析法討論梁端集中質(zhì)量及彈性約束對(duì)懸臂梁系統(tǒng)的振動(dòng)頻率的影響；探討沖擊過(guò)程中不同的支撐類型及支撐剛度對(duì)彈性懸臂梁式易損件的最大位移、最大內(nèi)應(yīng)力的影響。研究結(jié)論可為此類產(chǎn)品緩沖包裝設(shè)計(jì)提供參考。

1 系統(tǒng)模型及運(yùn)動(dòng)方程

圖1 含梁式易損件的包裝系統(tǒng)跌落動(dòng)力學(xué)模型

以產(chǎn)品-梁式易損件系統(tǒng)為參考對(duì)象，則跌落沖擊過(guò)程中產(chǎn)品主體位移以y1表示，梁上各點(diǎn)在浮動(dòng)系中的撓度以w表示。系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為

(1)

系統(tǒng)勢(shì)能表示為

(2)

分別對(duì)應(yīng)集中支撐于x=l處和均布支撐情況。

沖擊過(guò)程中的外力功可寫為

(3)

根據(jù)Hamilton變分原理

(4)

得系統(tǒng)耦合運(yùn)動(dòng)方程：

集中支撐于x=l處

(5)

均布支撐，線剛度K2/L：

(6)

以及邊界條件：

集中支撐于x=L處

w(0)=w(0)′=w(L)″=0;

(7)

集中支撐于x=l(l≠L)處，均布支撐：

w(0)=w(0)′=w(L)″=w(L)?=0

(8)

2 運(yùn)動(dòng)方程的離散

基于假設(shè)模態(tài)法和Galerkin截?cái)喾x散運(yùn)動(dòng)方程，令彈性附件有如下形式的解

(9)

其中特征函數(shù)[23]

考慮端部集中質(zhì)量，其對(duì)應(yīng)的特征值λi滿足關(guān)系

1+cosλicoshλi=

(10)

引入?yún)?shù)：

(11)

得離散的運(yùn)動(dòng)方程：

(12)

均布支撐

(13)

初始條件：

(14)

以此可方便地計(jì)算出易損件的位移、速度、加速度響應(yīng)，進(jìn)而求出易損件的內(nèi)應(yīng)力，其中：

(15)

3 討論與分析

3.1 模型檢驗(yàn)及頻率分析

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性，不考慮支撐的影響，即令k2=0，利用文獻(xiàn)[22] 系統(tǒng)參數(shù)，得到跌落沖擊過(guò)程中梁式易損件的最大位移、最大加速度及最大應(yīng)力隨時(shí)間的變化情況如圖2所示，數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)吻合度很好。

根據(jù)彈性易損件的可靠性定義及相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)論：只要易損梁的最大內(nèi)應(yīng)力小于其許用應(yīng)力，易損梁結(jié)構(gòu)就不會(huì)失效破壞。在沒有支撐彈簧的情況下，梁式易損件的最大位移及最大內(nèi)應(yīng)力沿梁長(zhǎng)方向單調(diào)變化，最大位移發(fā)生在端部而最大應(yīng)力位于梁的根部，因此圖2中的根部最大應(yīng)力既能反映易損梁的強(qiáng)度可靠性。圖3 給出了有支撐情況下易損梁在沖擊過(guò)程中的位移分布和應(yīng)力分布?？梢钥闯?，當(dāng)于k2≠0時(shí)，梁式易損件上支撐點(diǎn)的位移受到約束，懸臂梁式易損懸件的最大位移不一定出現(xiàn)在端部，最大應(yīng)力也不一定出現(xiàn)在根部。因此，后續(xù)文中重點(diǎn)關(guān)注沖擊過(guò)程中梁式易損件的最大位形(發(fā)生最大形變時(shí)刻梁上點(diǎn)的位置狀態(tài))以及此狀態(tài)下易損件的應(yīng)力分布(圖3中的脊線，粗實(shí)線標(biāo)出)而非梁式附件的端部響應(yīng)。

圖2 易損件的端部位移、加速度和最大內(nèi)應(yīng)力響應(yīng)Fig.2 The Tip-displacement, acceleration and the maximum internal stress response of the vulnerable component

圖3 易損件沖擊過(guò)程中的位移和應(yīng)力分布(k2=150)Fig.3 The displacement and stress distribution of thevulnerable component during impact (k2=150)

本文以某小型醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)產(chǎn)品為研究對(duì)象，其剛性主體質(zhì)量m=3 kg；易損檢測(cè)探針可視為一圓形截面懸臂梁，截面直徑R=0.002 m，長(zhǎng)L=0.1 m，材料密度ρ=7 850 kg/m3,楊氏模量E=200 GPa, 許用內(nèi)應(yīng)力[σ]=150 MPa；端部集中質(zhì)量md=0.01 kg；緩沖泡沫材料等效初始彈性常數(shù)k0=600 N/cm，非線性常數(shù)e=72 N/cm3；系統(tǒng)跌落高度H=0.6 m?？芍滟|(zhì)量比分別為：μ=0.003 3，η=1.014考慮沖擊時(shí)間很短，阻尼來(lái)不及做功，忽略材料阻尼的影響，即令ζ=0。

圖4給出了k2=0時(shí)由特征方程(10)確定的特征值λi隨η的變化關(guān)系，特征值λ反映了系統(tǒng)頻率。可以看出隨著質(zhì)量比η的增大，懸臂梁的各階特征值均逐漸減??；而η對(duì)一階特征值的影響較為明顯，表明端部集中質(zhì)量對(duì)易損件的一階振動(dòng)影響最大。

圖4 易損件的前四階特征值隨質(zhì)量比η的變化Fig.4 The first four eigenvalues of the vulnerable component

圖5 易損件的各階頻率隨支撐剛度的變化Fig.5 The frequency of the vulnerable component

3.2 不同支撐下的沖擊響應(yīng)

圖6 產(chǎn)品的跌落沖擊位移響應(yīng)Fig.6 The dropping shock responses of the packaging system

圖7給出了帶有端部集中質(zhì)量及彈簧支撐的懸臂附件在沖擊過(guò)程中的最大位形圖及最大應(yīng)力分布，可以看出：一般情況下，梁的最大撓度發(fā)生在梁的端部，最大應(yīng)力發(fā)生在梁的根部，只有在當(dāng)支撐剛度很大時(shí)，此時(shí)相當(dāng)于端部簡(jiǎn)支，梁端部位移被抑制，最大位移出現(xiàn)在梁的中部，然而此種狀態(tài)下梁的最大應(yīng)力仍出現(xiàn)在根部，這是由于端部的約束僅僅限制了梁的位移而沒限制其截面轉(zhuǎn)動(dòng)；在支撐剛度很小時(shí)(k2=0.01)，梁的最大位移及內(nèi)應(yīng)力較大，分別達(dá)到1.27 mm和165 MPa，對(duì)于文中給定的系統(tǒng)，最大內(nèi)應(yīng)力已大于其許用應(yīng)力。隨著支撐彈簧剛度的增加，梁的最大撓度減小和最大應(yīng)力均逐漸減小，在支撐剛度k2=10 100時(shí)，梁的最大內(nèi)應(yīng)力分別僅有48.7 MPa和17.8 MPa，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于梁的許用應(yīng)力，表明增加端部支撐可大大提高沖擊過(guò)程中梁的可靠性。圖7(c)給出了沖擊過(guò)程中梁的最大應(yīng)力隨時(shí)間的變化曲線，可以看出支撐彈簧剛度的變化對(duì)梁的振動(dòng)頻率沒有明顯的影響，而對(duì)沖擊過(guò)程中梁的最大內(nèi)應(yīng)力影響明顯。

圖7 端部集中支撐懸臂梁式易損件的沖擊響應(yīng)Fig.7 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with tip concentrated support

圖8 中點(diǎn)集中支撐懸臂梁式易損件的沖擊響應(yīng)Fig.8 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with midpoint concentrated support

圖9給出了帶有均布彈簧支撐約束的懸臂附件在沖擊過(guò)程中的最大位形圖及最大應(yīng)力分布，類似的：隨著支撐彈簧剛度的增加，梁的最大撓度減小，最大應(yīng)力也減小；一般情況下，梁的最大撓度發(fā)生在梁的端部，最大應(yīng)力發(fā)生在梁的根部，只有在當(dāng)支撐剛度很大時(shí)(k2=100 100)，梁的最大應(yīng)力可能不在出現(xiàn)在根部，并且隨著剛度增大，最大應(yīng)力位置向端部移動(dòng)。當(dāng)k2=100時(shí)，梁的最大內(nèi)應(yīng)力為15.6 MPa，基本與端部支撐情況相當(dāng)，僅為中點(diǎn)支撐時(shí)的22.3%。表明增加均布支撐同樣可大大降低梁的內(nèi)應(yīng)力，提高沖擊過(guò)程中梁的可靠性。

圖9 均布支撐懸臂梁式易損件的沖擊響應(yīng)(η=1.014)Fig.9 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with uniform support (η=1.014)

圖10給出三種不同類型支撐下懸臂梁式易損附件的最大位移及最大應(yīng)力隨支撐剛度的變化關(guān)系，可以看出：當(dāng)支撐彈簧剛度較小時(shí)，支撐方式對(duì)梁應(yīng)力變化影響不太明顯；隨著支撐剛度增加，當(dāng)0.130后，支撐剛度影響不明顯。僅當(dāng)支撐剛度遠(yuǎn)大于梁的彎曲剛度時(shí)，均布支撐效果最好。

(a) 梁的最大位移

4 結(jié) 論

文中考慮含有懸臂梁式易損件的三次非線性包裝系統(tǒng)為研究對(duì)象，其中在彈性易損件與剛性產(chǎn)品主體間施加有彈性約束。探討了沖擊過(guò)程中不同的支撐類型及支撐剛度對(duì)彈性懸臂梁式易損件的頻率、最大位移及最大內(nèi)應(yīng)力的影響，主要結(jié)論如下：

(1) 彈性易損件的各階自振頻率隨著端部質(zhì)量的增加而減小，而隨著端部支撐剛度的增加而增大，特別是其一階響應(yīng)頻率的影響較為明顯；

(2) 對(duì)于文中所考慮的系統(tǒng)，彈性支撐對(duì)懸臂梁式易損件的沖擊響應(yīng)具有明顯的抑制作用。當(dāng)作用于梁的支撐為端部集中支撐時(shí)，沖擊過(guò)程中梁的最大撓度一般出現(xiàn)在梁的端部，最大內(nèi)應(yīng)力出現(xiàn)在梁的根部；只有當(dāng)支撐剛度足夠大時(shí)，最大撓度可能出現(xiàn)在梁的中間部位，最大內(nèi)應(yīng)力仍出現(xiàn)在梁的根部；而當(dāng)集中支撐作用于梁的中點(diǎn)時(shí)，沖擊過(guò)程中梁的最大撓度仍出現(xiàn)在梁的端部，而最大內(nèi)應(yīng)力不一定出現(xiàn)在梁的根部，隨著支撐剛度的增大，最大內(nèi)應(yīng)力點(diǎn)由根部向支撐點(diǎn)移動(dòng)；當(dāng)作用于梁的支撐為均布支撐時(shí)，沖擊過(guò)程中梁的最大撓度仍出現(xiàn)在梁的端部，而最大內(nèi)應(yīng)力不一定出現(xiàn)在梁的根部，隨著支撐剛度的增大，最大內(nèi)應(yīng)力點(diǎn)由根部向端部移動(dòng)；

(3) 隨著支撐剛度的增大，對(duì)于三種支撐情況，梁的最大位移響應(yīng)及內(nèi)應(yīng)力均明顯減小，其中以端部集中支撐效果最好；對(duì)于文中所考慮的系統(tǒng)，支撐剛度取0～30時(shí)抑制效果最為明顯。