王聯(lián)國 劉小娟

甘肅農(nóng)業(yè)大學信息科學技術學院，蘭州，730070

0 引言

正弦余弦算法(sine cosine algorithm，SCA)[1]是一種基于正弦余弦函數(shù)模型的群體智能算法。該算法主要利用三角函數(shù)模型的周期振蕩性使其趨于問題的最優(yōu)解，同時嵌入隨機參數(shù)和自適應參數(shù)，平衡算法的全局探索階段與局部開發(fā)階段。盡管SCA控制參數(shù)較少、模型簡單、易于實現(xiàn)、全局尋優(yōu)能力強，但與其他智能優(yōu)化算法一樣，在迭代后期仍易出現(xiàn)局部開發(fā)能力差、收斂速度慢和求解精度低等問題，致使算法陷入局部最優(yōu)。

為了提高SCA的優(yōu)化性能，國內(nèi)外學者相繼以不同策略對SCA進行了改進。劉勇等[2]通過分析轉(zhuǎn)換參數(shù)，設計出了轉(zhuǎn)換參數(shù)拋物線函數(shù)遞減和指數(shù)函數(shù)遞減兩種正弦余弦算法，并以協(xié)同過濾推薦算法中相似度函數(shù)的計算為應用對象，驗證了改進指數(shù)函數(shù)遞減正弦余弦算法的可行性和有效性；徐明等[3]提出了一種基于非線性轉(zhuǎn)換參數(shù)和隨機差分變異策略的改進正弦余弦算法，并利用該算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)解決了兩類經(jīng)典的分類問題；曲良東等[4]通過對正弦余弦算法進行簡化，提出了一種簡化的正弦余弦算法，仿真實驗結(jié)果表明新算法的搜索效率明顯高于基本正弦余弦算法；方旭陽等[5]通過引入精英反向?qū)W習策略及利用個體的反思學習能力，對正弦余弦算法進行改進，提高了算法的尋優(yōu)精度，也避免了其未成熟收斂；郭文艷等[6]提出了一種基于精英混沌搜索策略的交替正弦余弦算法，增強了算法的探索能力，降低了算法時間復雜度，提高了算法收斂速度；李銀通等[7]提出了一種自學習策略和Lévy飛行的正弦余弦算法，提高了算法的優(yōu)化性能；何慶等[8]提出了一種基于改進正弦余弦算法的節(jié)點部署優(yōu)化方法，通過引入雙曲正弦調(diào)節(jié)因子、動態(tài)余弦波權重系數(shù)、拉普拉斯和高斯分布的變異策略，有效提高了無線傳感器網(wǎng)絡的性能；SHUBHAM等[9]提出了一種改進的全局優(yōu)化正弦余弦算法，該算法主要將交叉的開發(fā)方案與個體解的最佳狀態(tài)相結(jié)合，同時將自學習與全局搜索機制相結(jié)合，增強了算法的開發(fā)能力，并減少了經(jīng)典正弦余弦算法搜索方程中存在的多樣性溢出問題，最后通過圖像分割中的多閾值分割的仿真實驗，驗證了新算法解決實際優(yōu)化問題的有效性；CHEN等[10]提出了一種用于求解全局優(yōu)化和約束實際工程問題的多策略正弦余弦算法，將Cauchy突變算子、混沌局部搜索機制、基于反向?qū)W習策略等多種機制與基于差分進化的兩種算子相結(jié)合，有效避免了算法陷入局部最優(yōu)；LALIT等[11]提出了一種混合二進制粒子群優(yōu)化-正弦余弦算法(BPSO-SCA)特征選擇方法，仿真實驗表明該方法具有良好的性能。

上述改進算法通過調(diào)整參數(shù)、引入不同局部搜索策略或與其他智能算法相融合等策略，提高算法的優(yōu)化性能，并且部分改進算法在求解實際復雜問題方面取得了較好的優(yōu)化效果。然而，分析上述文獻發(fā)現(xiàn)，SCA與其他智能優(yōu)化算法的混合模式研究成果相對較少，并且已有的研究成果在實際問題中的應用仍存在一定的局限性。

本文在已有SCA研究的基礎上，對縮短算法運行時間、參數(shù)位置調(diào)整、參數(shù)r1的自適應調(diào)整及r3的動態(tài)調(diào)整、與人工蜂群算法的采蜜機制融合、提高收斂速度、平衡全局探索與局部開發(fā)能力、防止算法陷入局部最優(yōu)等方面進行了進一步的探索研究，提出了一種基于采蜜機制的正弦余弦算法(sine cosine algorithm based on the honey gathering mechanism，SCAHGM)。對23個標準測試函數(shù)和2個機械優(yōu)化設計實例進行仿真實驗，驗證了SCAHGM的可行性、魯棒性和適用性。

1 標準正弦余弦算法

SCA求解優(yōu)化問題始于一組隨機解，并通過全局探索和局部開發(fā)兩個階段逐步趨向全局最優(yōu)解。假設優(yōu)化問題的候選解對應搜索空間中個體的空間位置，則第i個個體的空間位置可表示為Xi=(Xi1，Xi2，…，XiD)T，i∈{1，2，…，N}，N為種群規(guī)模，D為搜索空間的維度，f(Xi)為第i個個體的目標函數(shù)值，P=(P1，P2，…，PD)T為種群中最優(yōu)個體的空間位置。首先，在解搜索空間中按下式隨機初始化N個個體的空間位置：

(1)

然后，在每一次迭代中，種群中第i個個體以均等概率選取正弦函數(shù)或余弦函數(shù)更新空間位置，其空間位置更新方程為：

(2)

由式(2)可見，r1、r2、r3和r4是SCA中起重要作用的4個參數(shù)。其中，參數(shù)r1決定下一次迭代時第i個個體的空間位置區(qū)域，它可在當前解與目標最優(yōu)解間的區(qū)域或兩者所構成區(qū)域以外自由變化；參數(shù)r2定義了當前解朝目標最優(yōu)解向內(nèi)或向外移動的方向和步長；參數(shù)r3的作用是為目標最優(yōu)解賦予一個隨機權重，以反映其所定義的搜索步長對目標最優(yōu)解增強(r3>1)、減弱(r3<1)或保持(r3=1)的作用；參數(shù)r4的作用是以均等概率決定式(2)中正弦和余弦函數(shù)部分的迭代更新。隨機參數(shù)和線性遞減參數(shù)的設置使得算法能夠很好地平衡全局探索與局部開發(fā)能力[12]。

SCA能使全局探索和局部開發(fā)階段起到較好的平衡作用，以發(fā)現(xiàn)搜索空間中有希望的區(qū)域，并最終收斂到全局最優(yōu)。在整個迭代過程起主要貢獻作用的是參數(shù)r1，并且r1是一個線性遞減函數(shù)，其值隨迭代次數(shù)的增加而線性減小，使用下式自適應地調(diào)整與變換式(2)中正弦與余弦的范圍：

(3)

式中，t為當前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)；a為一個值為2的常數(shù)。

默認情況下，當?shù)^程中滿足條件t>T時，算法終止優(yōu)化過程。

圖1為正弦余弦算法的原理示意圖。在算法的整個迭代過程中，全局探索能力和局部開發(fā)能力的有機協(xié)調(diào)，體現(xiàn)出了種群個體在不同搜索空間的搜索行為。當正弦和余弦函數(shù)的范圍位于區(qū)間(1，2]和[-2，-1)之間時，SCA全局探索搜索空間；在區(qū)間[-1，1]之間時，局部開發(fā)搜索空間。

圖1 正弦余弦算法原理示意圖Fig.1 Principle diagram of SCA

2 基于采蜜機制的正弦余弦算法

2.1 改進算法的思路策略

2.1.1每個個體采用相同的參數(shù)r1、r2、r3和r4

由于SCA在一次迭代中，r1本身是采用統(tǒng)一的計算公式，即所有個體都采用相同的r1，因此，將SCA中參數(shù)r2、r3和r4的位置從每個個體的維度循環(huán)內(nèi)改為維度循環(huán)外，使每個個體采用相同的參數(shù)r1、r2、r3和r4，并使每個個體的所有維度以相同方式與比例進行搜索，提高算法的搜索效率。

2.1.2按冪遞減函數(shù)自適應調(diào)整參數(shù)r1

文獻[2]將參數(shù)r1改為指數(shù)遞減函數(shù)，分析了參數(shù)r1對算法性能的影響。本文調(diào)整參數(shù)r1為冪遞減函數(shù)，表達式如下：

(4)

式中，s為調(diào)整參數(shù)，主要作用是調(diào)整非線性冪遞減函數(shù)的下降速率。

圖2反映了算法在最大迭代次數(shù)為1000時參數(shù)r1按線性遞減函數(shù)[1]、指數(shù)遞減函數(shù)[2]和冪遞減函數(shù)變化的趨勢。從圖2可以看出，在算法的整個迭代過程中，線性遞減函數(shù)曲線是勻速下降的。相比線性遞減函數(shù)曲線，指數(shù)遞減函數(shù)曲線隨著迭代次數(shù)的增加，r1逐漸變小，與線性遞減函數(shù)曲線下降規(guī)律相似，體現(xiàn)出算法全局探索能力和局部開發(fā)能力的有機協(xié)調(diào)。冪遞減函數(shù)曲線與線性遞減函數(shù)曲線下降規(guī)律不同，在前期迭代次數(shù)小，r1較大，當?shù)螖?shù)大于500時，曲線出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，之后執(zhí)行算法的局部開發(fā)階段，中后期隨著迭代次數(shù)的持續(xù)增加，r1非線性遞減，逐漸為0，體現(xiàn)出算法在前期全局探索能力最強，到中后期局部開發(fā)能力增強。

圖2 參數(shù)r1遞減曲線對比圖Fig.2 Comparison chart of decline curve of parameter r1

由于標準SCA中正余弦算子具有優(yōu)異的全局探索能力，但局部開發(fā)能力較弱，因此本文調(diào)整參數(shù)r1為冪遞減函數(shù)以更好地平衡算法的全局探索能力和局部開發(fā)能力。

2.1.3動態(tài)調(diào)整參數(shù)r3

參數(shù)r3反映其所定義的搜索步長對目標最優(yōu)解增強(r3>1)、減弱(r3<1)或保持(r3=1)的作用。算法前期，r3在[0，2]之間隨機取值，有利于算法的全局搜索，但到中后期既要注重算法的全局探索能力，更要加強算法的局部開發(fā)能力，同時要發(fā)揮目標最優(yōu)解對優(yōu)化過程的實際引導作用，提高算法的優(yōu)化精度，因此，在算法中后期，r3以一定概率取常數(shù)1，減少隨機性，加快算法的搜索速度。參數(shù)r3的調(diào)整策略如下：

(5)

式中，ξ、Ψ分別為[0，1]之間的常數(shù)；R2、R3分別為(0，1)和[0，2]之間的隨機數(shù)。

2.1.4貪婪選擇策略

貪婪選擇通用于所有的智能優(yōu)化算法，該策略通過保留種群中的精英個體，使算法進化方向恒定，促使算法盡快找到全局最優(yōu)解。根據(jù)個體i的空間位置Xi和按更新策略產(chǎn)生的新個體空間位置Vi的函數(shù)值f(·)，選擇較優(yōu)個體進入下一代。對于最小化問題，其選擇策略按下式進行：

(6)

同時按照下式更新連續(xù)停留次數(shù)n：

(7)

2.1.5蜂群采蜜機制

人工蜂群(artificial bee colony，ABC)算法是土耳其學者DERVIS等[13]于2005年受蜜蜂行為啟發(fā)提出的一種覓食尋優(yōu)算法。ABC算法利用不同類型蜜蜂(采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂)的分工協(xié)作機制求解問題的最優(yōu)解，主要包括種群初始化、采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂四個階段。本文利用ABC算法中的采蜜蜂算子增強SCA的局部開發(fā)能力，提高算法的優(yōu)化精度。在迭代過程中，以一定概率交替執(zhí)行正余弦算子或采蜜蜂算子，同時利用偵察蜂算子防止算法陷入局部極值，提高全局探索能力，較好地平衡SCA的全局探索和局部開發(fā)階段。

(1)采蜜蜂算子。采蜜蜂算子具有較強的局部開發(fā)能力，采蜜蜂根據(jù)下式進行鄰域搜索并產(chǎn)生新蜜源，同時計算新蜜源的適應度函數(shù)值，再采用貪婪選擇策略或輪盤賭法更新蜜源：

Vij=Xij+R4(Xij-Xkj)

(8)

式中，Vij為新產(chǎn)生的蜜源位置；R4為[-1，1]之間的隨機數(shù)；j和k隨機選取，j∈{1，2，…，D}，k∈{1，2，…，N}，且k≠i，N為蜜蜂總數(shù)。

(2)偵察蜂算子。偵察蜂算子主要搜尋在蜂巢周圍潛在的蜜源。當連續(xù)停留次數(shù)n達到一定的閾值L仍未找到更優(yōu)空間位置時，即表明陷入了局部最優(yōu)，此時蜜蜂的角色由采蜜蜂或觀察蜂轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹旆洌凑帐?1)重新搜索隨機產(chǎn)生新蜜源。

2.1.6更改空間位置更新方程

因正弦函數(shù)sinr2取正值和負值的概率相等，文獻[4]去掉式(2)中的絕對值符號，故本文引入該方法并將空間位置更新方程改寫為

(9)

2.2 改進算法的具體步驟

SCAHGM的具體步驟如下：

(1)初始化參數(shù)，如種群規(guī)模N、空間維度D、閾值L、當前迭代次數(shù)t、最大迭代次數(shù)T、目標精度O及常數(shù)a等，隨機產(chǎn)生初始種群；

(2)計算種群中每個個體的函數(shù)值，并記錄全局最優(yōu)解；

(3)按照概率P執(zhí)行正余弦算子階段，按照概率1-P執(zhí)行采蜜蜂算子階段，若執(zhí)行正余弦算子階段，轉(zhuǎn)向步驟(4)，否則，執(zhí)行采蜜蜂算子階段，并轉(zhuǎn)向步驟(5)；

(4)在正余弦算子階段，隨機產(chǎn)生參數(shù)r2和r4，并根據(jù)式(4)、式(5)計算參數(shù)r1和r3的值，隨后再以式(9)更新每個個體的空間位置，轉(zhuǎn)向步驟(6)；

(5)在采蜜蜂算子階段，根據(jù)式(8)產(chǎn)生新蜜源；

(6)計算每個個體的函數(shù)值；

(7)執(zhí)行貪婪選擇策略，按照式(6)更新每個個體，按照式(7)更新連續(xù)停留次數(shù)n；

(8)更新全局最優(yōu)解；

(9)執(zhí)行偵察蜂算子，若連續(xù)停留次數(shù)n達到閾值L，則采蜜蜂變?yōu)閭刹旆?，按照?1)隨機產(chǎn)生新蜜源；

(10)判斷是否達到算法設定的收斂條件(如最大迭代次數(shù)T或目標精度O)，若是，停止迭代并輸出最優(yōu)值，否則轉(zhuǎn)向步驟(3)。

2.3 改進算法的時間復雜度分析

SCAHGM的時間復雜度主要由標準SCA、采蜜蜂算子和偵察蜂算子三部分組成，并按照概率P執(zhí)行正余弦算子階段，按照概率1-P執(zhí)行采蜜蜂算子階段。假設種群規(guī)模為N，問題維度為D，最大迭代次數(shù)為T，則正余弦算子的時間復雜度為O1(NPDT)，采蜜蜂算子的時間復雜度為O2(N(1-P)T)，偵察蜂算子的最大時間復雜度為O3(NDT/L)，則SCAHGM的時間復雜度為

O(SCAHGM)=O1(NPDT)+O2(N(1-P)T)+

O3(NDT/L)

(10)

標準SCA的時間復雜度為

O4(SCA)=O5(NDT)

(11)

3 仿真實驗與分析

3.1 測試函數(shù)及參數(shù)設置

以求23個標準測試函數(shù)的最小值為例進行仿真實驗，客觀評價SCAHGM的優(yōu)化性能，函數(shù)表達式詳見文獻[1，14]，其他參數(shù)及目標精度如表1所示。其中，f1～f7為單峰函數(shù)，在定義域內(nèi)只有一個極值，用于測試算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，并考察算法的優(yōu)化性能；f8～f13為多峰函數(shù)，f14～f23為固定維度多峰函數(shù)，由于這些函數(shù)較復雜，存在多個極值點，因而算法尋找全局最優(yōu)值的難度較大，常用于測試算法全局探索與避免早熟的能力。

表1 23個標準測試函數(shù)參數(shù)表Tab.1 Parameters of 23 standard benchmark functions

3.2 SCAHGM與標準SCA的性能比較

為了測試SCAHGM的性能，本文將其與標準SCA在種群規(guī)模一定，維度和最大迭代次數(shù)變化的條件下進行比較。實驗中兩種算法參數(shù)設置為：在單峰函數(shù)f1～f7和多峰函數(shù)f8～f13中，種群規(guī)模N=30，維度D為30、50、100，對應的最大迭代次數(shù)T為1000、2000、3000；在固定維度多峰函數(shù)f14～f23中，種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)T=1000。即，為了公平起見，兩種算法采用相同的函數(shù)最大評價次數(shù)M(M=NT)。此外，經(jīng)實驗驗證，當閾值L=140、式(4)中的s=5、式(5)中的ξ=0.5和Ψ=0.6以及根據(jù)式(2)中參數(shù)r4的范圍所確定步驟(3)中概率P=0.5時，SCAHGM優(yōu)化效果較好。兩種算法獨立運行30次的實驗結(jié)果見表2，其中，加粗數(shù)據(jù)代表對比結(jié)果的最優(yōu)值，下同。圖3～圖8列出了N=30，T=1000的部分測試函數(shù)收斂曲線。其中，平均最優(yōu)值反映算法的收斂速度和求解精度，標準差反映算法的穩(wěn)定性和魯棒性，最大值和最小值反映可行解的質(zhì)量，成功率反映算法達到目標精度的執(zhí)行效率，平均運行時間反映算法運行的時間成本，收斂曲線圖反映算法的收斂趨勢變化。

表2 SCAHGM與標準SCA的實驗結(jié)果Tab.2 Experiment results of SCAHGM and standard SCA

續(xù)表

續(xù)表

圖3 f5平均最優(yōu)值的收斂曲線Fig.3 Convergence curve of the average optimal value of f5

圖4 f6平均最優(yōu)值的收斂曲線Fig.4 Convergence curve of the average optimal value of f6

圖5 f8平均最優(yōu)值的收斂曲線Fig.5 Convergence curve of the average optimal value of f8

圖6 f11平均最優(yōu)值的收斂曲線Fig.6 Convergence curve of the average optimal value of f11

圖7 f15平均最優(yōu)值的收斂曲線Fig.7 Convergence curve of the average optimal value of f15

圖8 f23平均最優(yōu)值的收斂曲線Fig.8 Convergence curve of the average optimal value of f23

從不同峰型的測試函數(shù)在平均最優(yōu)值、標準差、成功率和平均運行時間四方面的優(yōu)化效果來看：在f1～f7單峰函數(shù)中，SCAHGM在四方面均達到了顯著的優(yōu)化效果。其中，f5(Rosenbrock)被稱為“病態(tài)函數(shù)”，是一個對大部分優(yōu)化函數(shù)都難以收斂到全局最優(yōu)的極復雜單峰函數(shù)，而SCAHGM卻能得到較好解，這說明SCAHGM較好地克服了SCA的缺陷；在f8～f13的多峰函數(shù)中，對尋優(yōu)難度較大的f8，SCAHGM在維度D為30，50，100下的穩(wěn)定性不如SCA。然而，對具有許多局部極小值的函數(shù)f10和多模態(tài)函數(shù)f12、f13，SCAHGM均達到了一定數(shù)量級的明顯優(yōu)化效果，并且在具有強烈振蕩的復雜多模態(tài)函數(shù)f9和f11中，也已取得了理論最優(yōu)值；在f14～f23的固定維度多峰函數(shù)中，SCAHGM均表現(xiàn)出較好的優(yōu)化能力。在所有測試函數(shù)的對比結(jié)果中，SCAHGM平均運行時間變短，這是由于在局部開發(fā)能力較強的采蜜蜂算子中，每個個體只更新一個維度的數(shù)據(jù)，再結(jié)合全局探索能力強的正余弦算子，運算速度加快，時間變短。

收斂曲線圖中，除了圖5和圖8外，其余曲線圖的縱坐標為函數(shù)平均最優(yōu)值的對數(shù)值，橫坐標為迭代次數(shù)。另外，圖4和圖6均以10-10作為截止值，避免函數(shù)值變?yōu)?致使曲線中斷。

分析收斂曲線圖發(fā)現(xiàn)，對f8和f23而言，SCAHGM分別約在500和150次時開始收斂，并隨著迭代次數(shù)增加持續(xù)收斂；對f5、f6和f11而言，SCAHGM一開始就表現(xiàn)出顯著的收斂速度，迭代次數(shù)不到100次時已收斂；對于SCAHGM，f15在前期收斂速度和精度稍遜于SCA，但當?shù)螖?shù)在400次以后，其收斂速度加快并取得更高的收斂精度?？傮w上看，SCAHGM的收斂速度和精度都有顯著的改進效果。

為驗證以上實驗結(jié)果的真實性并更好地評估算法性能，采用顯著性水平為5%的Wilcoxon signed ranks檢驗進行測試。表3給出了SCAHGM與標準SCA的Wilcoxon signed ranks統(tǒng)計決策結(jié)果。其中，“+”表示SCAHGM優(yōu)于SCA，“-”表示SCAHGM遜于SCA，“=”表示兩者作用相當。

表3 顯著性水平為0.05的Wilcoxon signed ranks統(tǒng)計決策Tab.3 Statistical decision based on Wilcoxon signed ranks

表3中決策結(jié)果顯示，23個測試函數(shù)的所有顯著性pvalue均小于0.05，并且決策結(jié)果均顯示為“+”，這說明了SCAHGM的有效性，也表明SCAHGM較標準SCA具有顯著的優(yōu)化效果。

以上分析表明，改進SCAHGM具有更好的收斂效果、更高的優(yōu)化精度、較強的魯棒性和較小的時間代價，從而驗證了算法的優(yōu)越性。

3.3 SCAHGM與SCA改進算法及其他元啟發(fā)式算法的性能比較

為進一步測試SCAHGM的性能，將其與SCA的改進算法及近年來提出的其他元啟發(fā)式算法進行比較。

(1)將SCAHGM與SCA改進算法OBSCA[15]、COSCA[6]、m-SCA[16]、ESCA[2]、MSCA[17]進行比較。為體現(xiàn)公平性，SCAHGM和其他SCA改進算法采用相同的參數(shù)設置，并使算法的函數(shù)最大評價次數(shù)保持一致。除了ESCA 和SCAHGM外，其他算法的實驗數(shù)據(jù)取自各文獻。表4列出了SCAHGM與幾種SCA改進算法的性能比較結(jié)果，其中，Ave表示平均值，Std表示標準差。由表4可以看出，在SCAHGM與OBSCA、COSCA、m-SCA三者的比較實驗中(函數(shù)最大評價次數(shù)M=15 000)，SCAHGM相對于OBSCA，除了測試函數(shù)f7的優(yōu)化效果稍遜于OBCSA外，其余測試函數(shù)的優(yōu)化效果均優(yōu)于OBSCA；SCAHGM相對于COSCA，除了測試函數(shù)f2、f21、f22和f23的優(yōu)化效果稍遜于COSCA外，SCAHGM對其他19個測試函數(shù)的優(yōu)化效果優(yōu)于COSCA；SCAHGM相對于m-SCA，除了測試函數(shù)f13和f16的優(yōu)化效果稍遜于m-SCA外，SCAHGM對其他21個測試函數(shù)的優(yōu)化效果相對較好；在SCAHGM與ESCA比較實驗中(M=300 000)，SCAHGM相對于ESCA，除了測試函數(shù)f7的優(yōu)化效果遜于ECSA外，在其他22個測試函數(shù)上的優(yōu)化效果仍然相對較好；在SCAHGM與MSCA比較實驗中(M=500 000)，SCAHGM相對于MSCA，除了測試函數(shù)f1～f4、f6、f9、f11、f14和f16的優(yōu)化效果與MSCA相當，f5、f8、f12、f13和f15的優(yōu)化效果遜于MSCA外，在其他6個測試函數(shù)上的優(yōu)化效果仍然相對較好(測試函數(shù)f21～f23在文獻[17]中無實驗數(shù)據(jù))。

(2)將SCAHGM與其他元啟發(fā)式算法[18]及HPSO[19]進行比較。將SCAHGM、HPSO及文獻[18]中的7種算法的參數(shù)設置相同，即所有算法的函數(shù)最大評價次數(shù)仍保持一致。除SCAHGM和HPSO進行仿真實驗外，其余對比算法的實驗數(shù)據(jù)來自文獻[18]，表5列出了SCAHGM與其他元啟發(fā)式算法的性能比較結(jié)果(表中僅列出了算法運行30次后取得的平均最優(yōu)值)。

表4 SCAHGM與SCA改進算法的性能比較Tab.4 Performance comparison of SCAHGM with the improved algorithms for SCA

表5結(jié)果顯示，相比其他8種對比算法，除了測試函數(shù)f7、f12、f13、f16和f17外，SCAHGM對其他18個測試函數(shù)都能得到最好的優(yōu)化結(jié)果，表現(xiàn)出了相對顯著的優(yōu)化性能。

綜上所述，基于采蜜機制的正弦余弦算法求解精度高、魯棒性強、收斂性好，取得了相對較好的優(yōu)化效果，提高了算法的優(yōu)化效率。

表5 SCAHGM與其他元啟發(fā)式算法的性能比較Tab.5 Performance comparison of SCAHGM with other meta-heuristic algorithms

4 應用

本文將提出的SCAHGM用于求解機械優(yōu)化設計問題，以說明提出算法的可行性和適用性。

4.1 機械優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型

選取設計變量、列出目標函數(shù)、給定約束條件是構造優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的重要步驟。該問題的數(shù)學模型一般可以描述為如下約束非線性優(yōu)化設計問題[20]：

(12)

4.2 約束優(yōu)化問題的處理方法

群體智能優(yōu)化算法求解約束優(yōu)化問題時需要將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題進行求解。將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題的主要處理方法是罰函數(shù)法[21]。該方法的基本思想是：構造懲罰項并將其加入目標函數(shù)中以構成懲罰函數(shù)，使約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解一系列無約束極值子問題，然后按照無約束優(yōu)化方法來求解。該策略將對求解過程中違反約束條件的迭代點進行“懲罰”，進而迫使無約束子問題的極小值點趨向于滿足約束條件[22]。

基于此，罰函數(shù)的一般形式為

F(X)=f(X)+λ(h2(X)+[min(0，g(X))]2)

(13)

式中，F(xiàn)(X)為懲罰函數(shù)；f(X)為優(yōu)化問題的原始目標函數(shù)；λ為懲罰因子；h2(X)和[min(0，g(X))]2分別為與等式有關的懲罰項和與不等式有關的懲罰項。

4.3 設計實例及仿真實驗

利用SCAHGM優(yōu)化2個機械設計問題，通過計算機仿真來驗證所提出算法的性能。實例1來自文獻[16]，實例2來自文獻[19]。為了體現(xiàn)比較的公平性，SCAHGM與其他算法作對比時，實例1和實例2中SCAHGM參數(shù)設置分別為：N=50，T=2500和N=30，T=2700。另外，因?qū)嵗芗s束限制，SCAHGM采用罰函數(shù)法處理約束越界。算法獨立運行30次并取最優(yōu)值，具體實驗結(jié)果如表6～表8所示。

表6 不同算法對實例1的最優(yōu)解比較Tab.6 Comparisons of the optimal solution for example 1

表7 不同算法對實例2的最優(yōu)解比較Tab.7 Comparisons of the optimal solution for example 2

表8 不同算法求解實例2的統(tǒng)計結(jié)果Tab.8 Statistical results of the optimal solution for example 2 by different algorithms

4.3.1懸臂梁設計問題

根據(jù)懸臂梁平面結(jié)構[16]，該問題受不同單元梁高度(或?qū)挾?約束，設計目標為使懸臂梁矩形截面的質(zhì)量盡可能小。其數(shù)學模型如下：

(14)

式中，f(x)為最小化懸臂梁矩形截面的質(zhì)量；設計變量

xi表示不同單元梁的高度(或?qū)挾?。

文獻[1，16，23-24]給出了該實例的解，表6所示是SCAHGM與其他文獻獲得最優(yōu)解的比較結(jié)果?？梢悦黠@地看出，SCAHGM獲得的最優(yōu)解要優(yōu)于其他文獻中算法的最優(yōu)解。

4.3.2壓力管道設計問題

根據(jù)壓力管道平面結(jié)構[19]，該問題的設計目標為最小化費用總成本，包括材料、成形和焊接的成本。其數(shù)學模型如下：

(15)

式中，f(x)為最小化費用總成本；四個設計變量x1，x2，x3和x4分別表示殼體厚度、頭部厚度、內(nèi)半徑和除頭部外的圓柱形截面長度，x1和x2必須為1.5875 mm(0.0625 in)的整數(shù)倍，x3和x4為連續(xù)變量。

文獻[19，25-30]給出了該實例的解，表7所示是SCAHGM與其他文獻獲得最優(yōu)解的比較結(jié)果，表8給出了不同算法求解實例2獲得最優(yōu)值統(tǒng)計結(jié)果的比較(表中g1(x)～g4(x)部分的數(shù)據(jù)來自文獻[30])。

由表7可見，SCAHGM的最優(yōu)解與HPSO的最優(yōu)解相當，且優(yōu)于其他算法的最優(yōu)解。同時，在表8的統(tǒng)計結(jié)果中，除了文獻[28]外，SCAHGM的平均值和標準差小于對比算法的平均值和標準差，這表明SCAHGM的平均搜索能力優(yōu)于其他算法，具有較好的收斂精度和較強的魯棒性。此外，根據(jù)表8所列的其他算法求解函數(shù)值和SCAHGM處理的約束函數(shù)值，SCAHGM獲得的函數(shù)最優(yōu)解為(x1，x2，x3，x4)=(0.81250，0.437 50，42.098 445 595 854 919，176.636 599 813 031 040)，最優(yōu)值f(x)=6 059.714 427 88，約束函數(shù)g1(x)=0，g2(x)=-0.035 880 829 015 544 069，g3(x)=0，g4(x)=-63.363 400 186 968 960 000，均滿足約束條件。

4.4 求解機械優(yōu)化設計實例小結(jié)

(1)通過懸臂梁設計和壓力管道設計問題的實例驗證，本文算法SCAHGM可以取得優(yōu)于或相近于其他文獻算法的優(yōu)化結(jié)果，說明SCAHGM優(yōu)化機械設計問題是可行有效的。

(2)由于機械優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型具有一定的通用性，故其他工程優(yōu)化設計問題均可表示為式(12)描述的約束非線性優(yōu)化設計問題，通過罰函數(shù)法轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，再用改進算法SCAHGM求解，表明SCAHGM具有一定的實際應用可行性。

5 結(jié)論

(1)更改標準正弦余弦算法(SCA)中參數(shù)的位置，使每個個體采用相同的參數(shù)r1、r2、r3和r4，并按冪遞減函數(shù)非線性調(diào)整參數(shù)r1，動態(tài)調(diào)整參數(shù)r3，減少隨機性，提高了算法的搜索效率。

(2)利用智能算法通用的貪婪選擇策略，加快了算法的收斂速度，并協(xié)同偵察蜂算子，提高了種群多樣性，防止算法陷入局部最優(yōu)。

(3)按一定概率交替執(zhí)行正余弦算子或采蜜蜂算子，更好地平衡算法的全局探索與局部開發(fā)能力，有效彌補了算法局部開發(fā)能力差的不足。

(4)選取23個標準測試函數(shù)進行仿真實驗，將基于采蜜機制的正弦余弦算法(SCAHGM)與標準SCA、改進SCA和其他元啟發(fā)式算法進行比較，結(jié)果表明提出的SCAHGM具有較好的尋優(yōu)性能。

(5)通過優(yōu)化2個機械設計實例，驗證了SCAHGM的可行性和適用性，為解決工程設計優(yōu)化問題提供了一條新途徑。