浙江省蘭溪市第一中學(xué)(321102) 張城兵

1 問題的提出

自從引入向量法,立體幾何解答題似乎談不上難題,這一觀點(diǎn)在早些年有點(diǎn)道理,但現(xiàn)在再以這種眼光看,似乎有失偏頗,因?yàn)閺慕鼛啄暾憬「呖碱}(第2 個(gè)解答題)來看不簡單,很多考生出師不利,從此題產(chǎn)生沮喪的心情直到考試結(jié)束. 有網(wǎng)友說要在模擬卷或高考卷中出些用向量法無從下手的題目. 盡管這種說法與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求相背離,但也不得不警惕、提防用向量法解有點(diǎn)棘手的題目. 事實(shí)上,在高考或平時(shí)練習(xí)中,有很多題目對空間想象力要求很高,在短時(shí)間內(nèi)用傳統(tǒng)方法做好這種題有難度,對空間想象力較弱的學(xué)生更是一種痛苦的折磨,所以在有限的考試時(shí)間內(nèi)勢必快速轉(zhuǎn)向求助于向量法,這就要求向量法掌握得比較嫻熟,才能行走江湖. 如何讓高三學(xué)生掌握向量法,最大可能一招制勝呢? 教學(xué)實(shí)踐表明: 在圖形不是“很正統(tǒng)”的情形下,培養(yǎng)學(xué)生巧建系、妙設(shè)點(diǎn)的能力很重要. 這一能力的培養(yǎng)就相當(dāng)于讓他們掌握核心技術(shù),為破解難題提供方便. 為此筆者收集整理了一些“帶刺”的試題,結(jié)合學(xué)生解題的成敗得失給讀者一點(diǎn)啟示,同時(shí)限于篇幅,其它簡單的方法不再贅述.

2 精選例題,妙法剖析

例1如圖1,棱長為3 的正方體的頂點(diǎn)A在平面α上,三條棱AB,AC,AD都在平面α的同側(cè). 若頂點(diǎn)B,C到平面α的距離分別為1,則頂點(diǎn)D到平面α的距離h=____,頂點(diǎn)E到平面α的距離為____.

圖1

解析建立如圖2 所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)平面α的法向量為n= (x,y,z), 易得B(3,0,0)、D(0,0,3)、C(0,3,0)、E(3,3,3), 則dB== 1,整理得求得y2= 2x2,z2= 6x2. 所以dD=

圖2

評注此題的建系打破以α平面為xoy平面建系的常規(guī)思路,同時(shí)也告訴我們無論“墻角”如何放,都不影響問題的解決,不要受無關(guān)因素的干擾.

例2如圖3,正四面體A-BCD的棱CD在平面α上,E為棱BC的中點(diǎn),當(dāng)正四面體A-BCD繞CD旋轉(zhuǎn)時(shí),直線AE與平面α所成最大角的正弦值為____.

圖3

解析此題是在課外作業(yè)中出現(xiàn), 筆者任教的兩個(gè)班答題正確率只有5%. 因?yàn)橹本€AE繞著異面直線CD動,而要求的是直線AE與平面α線面角的最大值, 若用傳統(tǒng)法做計(jì)算量是簡單的, 但對化歸能力要求高, 不是每個(gè)學(xué)生都能應(yīng)對的. 若利用向量法, 大部分學(xué)生都能接受,并且這種處理問題方式能遷移其它地方應(yīng)用. 為了建系方便, 可找出正四面體的“出生地”——正方體, 如圖4, 易求A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,1),所以= (1,0,1). 令平面α的法向量為n= (x,y,z),又當(dāng)正四面體ABCD繞CD旋轉(zhuǎn)時(shí),利用相對運(yùn)動,可理解為平面α繞CD旋轉(zhuǎn),從而平面α的法向量始終垂直于CD轉(zhuǎn)動. 法向量作用是確定平面位置,與模長無關(guān),為了計(jì)算方便特取模長為1. 所以x2+y2+z2=1,=x+z=0,消去z得,2x2+y2=1,由Cauchy不等式,得(3x+y)2=所以3x+y≤記直線AE與平面α所成角為θ,則故所求最大值

圖4

評注對立幾動態(tài)型問題,學(xué)生最怕的是圖形變化中無法度量的有關(guān)幾何量的處理,也就無法轉(zhuǎn)化為用“數(shù)”來定量計(jì)算了,而建系后用上坐標(biāo)就自然讓“動態(tài)的形”和有關(guān)變量融合在一起,相比較而言,代數(shù)運(yùn)算求最值學(xué)生掌握得好些.

例3(2020年10 月浙南名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)如圖5,四棱錐P-ABCD中,面PBD⊥面ABCD,AB//DC,AB=2CD=4,AD=BC=

圖5

(1)證明PB⊥AC;(2)求直線BD與平面PBC所成角的正弦值.

解析據(jù)統(tǒng)計(jì), 我校高三年級參考人數(shù)703 人, 第1 小題滿分8 分,平均得分6.484,第2 小題滿分7 分,平均得分2.044 分, 該題平均分為8.529 分. 特別實(shí)驗(yàn)班103 人參考,該題平均分為12.176 分, 但第2 小題平均分只有4.294 分.通過分析, 發(fā)現(xiàn)有部分人對AC⊥BD證不起(與初中教材刪去“梯形”有關(guān)), 其次建立如圖6 坐標(biāo)系后,P點(diǎn)坐標(biāo)求不起,或者誤以為P點(diǎn)投影在原點(diǎn)O. 其實(shí)由面PBD⊥面ABCD,可知點(diǎn)P投影在y軸上,但不一定與O重合,故可設(shè)P(0,y,z),用AP=列方程組易求,或利用題設(shè)大量已知的線段,能精準(zhǔn)求得P點(diǎn)坐標(biāo). 平面幾何功底欠缺的同學(xué)在求P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)遇到阻礙就停滯了.

圖6

筆者另辟蹊徑,用如下方法:

由(1) 證明可知,PB⊥AC, 又由已知條件得,AP2+PB2=AB2, 所以PB⊥PA. 所以PB⊥面PAC, 所以PB⊥PC, 求得PC=從而又有AP2+PC2=AC2, 故PC⊥PA, 也即PA,PB,PC兩兩相互垂直,以P為原點(diǎn)建立如圖7 所示空間直角坐標(biāo)系, 則平面PBC的法向量顯然為n= (1,0,0). 按照經(jīng)驗(yàn), 再用方程組求D的坐標(biāo), 但鑒于此題特殊性, 可不求, 能節(jié)省大量時(shí)間,所以,

圖7

評注有“墻角”出現(xiàn)固然好,沒有就找“直角”. 利用幾何關(guān)系分步求點(diǎn)的坐標(biāo)和用方程組求點(diǎn)坐標(biāo)本質(zhì)上是一致的,后者是減少動腦過程的一勞永逸“偷懶法”. 有時(shí)題設(shè)中出現(xiàn)平行線時(shí),可用向量代換來巧妙回避求點(diǎn)的坐標(biāo).

例4如圖8,在矩形ABCD中,AB= 4,AD= 3,點(diǎn)E,F分別是線段DC,BC的中點(diǎn),分別將ΔDAE沿AE折起,ΔCEF沿EF折起,使得D,C重合于點(diǎn)G,連接AF.

圖8

(1)求證: 平面GEF⊥平面GAF;

(2)求直線GF與平面GAE所成角的正弦值.

解析由(1) 證明可知GE⊥平面GAF, 并且發(fā)現(xiàn)∠AGF為鈍角(利用三邊長即可知), 所以以G為原點(diǎn),GF,GE所在直線分別為y軸、z軸,讓x軸在平面AGF且在∠AGF內(nèi),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖9. 這樣好處就是點(diǎn)G恰好為原點(diǎn),減少計(jì)算量,而唯獨(dú)A坐標(biāo)不知道,但它在平面xGy內(nèi),豎坐標(biāo)為0,列方程時(shí)能減少未知量.

圖9

令A(yù)(x,y,0),易求F(0,,0),E(0,0,2), 則由求得= (0,0,2),易求平面GAE法向量n=求得

評注如果以點(diǎn)C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,再設(shè)G(x,y,z)也可做,但數(shù)據(jù)復(fù)雜得令人不勝其煩,這純屬意外,讀者不妨一試. 在實(shí)戰(zhàn)中確實(shí)是很難預(yù)測求某個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)及后期的運(yùn)算復(fù)雜程度,同時(shí)告誡我們建系建在盡量讓待求坐標(biāo)的點(diǎn)在xoy平面、xoz平面或yoz平面上,減少方程組個(gè)數(shù),減輕運(yùn)算量.

3 解法小結(jié)及感悟

(1)圖形中有“墻角”優(yōu)先考慮,無論怎樣放置,不影響數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;退而求其次,考慮圖形中的直角,如例3、例4.

(2)用到的點(diǎn)坐標(biāo)能不求是上上策,因?yàn)榍簏c(diǎn)坐標(biāo)的目的是為了使用向量,若存在向量代換回避求點(diǎn)坐標(biāo)是再好不過了.

(3)當(dāng)所求關(guān)鍵點(diǎn)的投影在何處不知道時(shí),就必須設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z),列方程組求解;若知道關(guān)鍵點(diǎn)的投影在某個(gè)坐標(biāo)平面上,就可優(yōu)化為2 個(gè)未知數(shù),減少運(yùn)算量. 列方程組不一定用線段長,垂直關(guān)系用向量數(shù)量積表示也能出現(xiàn)方程.

(4)在具體問題中建系設(shè)點(diǎn)還應(yīng)統(tǒng)籌考慮,終極目標(biāo)是為了運(yùn)算量小,提高正確率.

4 測試的結(jié)果及分析

通過上述例題講授后,對兩個(gè)教學(xué)班測試了2020年高考浙江卷第19 題和2020 屆金華十校模擬第19 題,因?yàn)檫@兩道題都是讓2020 屆學(xué)生考試心情很不爽的“帶刺”試題,也是很有研究價(jià)值的試題. 分別制成小卡片,在筆者任教的2021 屆兩個(gè)班中測試教學(xué)效果和學(xué)生掌握鞏固程度,為了盡可能體現(xiàn)真實(shí)的水平,相鄰的同學(xué)測試題是不同的,15 至20分鐘后收回又換不同試題, 相當(dāng)于每位同學(xué)都測試了兩題,但相鄰的同學(xué)始終題目不同,所以成績比較真實(shí). 筆者沒有用評分細(xì)則,對不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤蕉疾唤o滿分. 統(tǒng)計(jì)滿分率如下表:

2021 屆高三(12)班(普通班) 2021 屆高三(13)班(普通班)考試人數(shù) 滿分人數(shù) 滿分率 考試人數(shù) 滿分人數(shù) 滿分率2020年浙江高考題36 22 61.1% 36 24 66.7%2020 金華十校測試題36 9 25% 36 8 22.2%

筆者又查看了2020 屆學(xué)生當(dāng)初針對測試題2 的答題情況(測試題1 滿分人數(shù)數(shù)據(jù)無法獲取),3 個(gè)實(shí)驗(yàn)班160 人,滿分人數(shù)是6 人,普通班634 人,沒有人滿分. 一對比,筆者對任教學(xué)生掌握程度很滿意,對學(xué)生精彩解法展示如下:

測試題1(2020年高考浙江卷第19 題)如圖10,三棱臺DEF-ABC中,面ADFC⊥面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.

圖10

(I)證明:EF⊥DB;

(II)求DF與面DBC所成角的正弦值.

學(xué)生建系用得非常溜,網(wǎng)上出現(xiàn)的或期刊發(fā)表的各種解法都有出現(xiàn),筆者對下面出自中等生之手的解法(截止投稿前,筆者沒有看到過有此解法)大為欣賞:

如圖11, 以點(diǎn)C為原點(diǎn),CA所在直線為y軸, 在平面ABC上過C且垂直于CA的直線為x軸, 過C垂直平面xCy直線為z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系, 令BC=則CD=因?yàn)椤螦CB= ∠ACD= 45°,所以D(0,2,2),B(1,1,0), 所以(1,1,0),由已知三棱臺易知= 0,所以CB ⊥DB,即EF⊥DB.

圖11

測試題2(2020年4 月金華十校聯(lián)考第19 題)如圖12,在四棱錐C -ABNM中, 四邊形ABNM的邊長均為2,ΔABC為正三角形,MB=MB⊥NC,E,F分別為MN,AC的中點(diǎn). (1)求證:MB⊥AC;(2)求直線EF與平面MBC所成角的正弦值.

圖12

有很多同學(xué)想到以點(diǎn)F為原點(diǎn)建系,但問題出在設(shè)好點(diǎn)M(x,y,z),找不齊三個(gè)方程就擱淺了,也有同學(xué)直接讓z軸過FM,歪打正著,還有一部分同學(xué)憑著扎實(shí)的平面幾何功底證明點(diǎn)F是“墻角”,也能順利解得. 另外N的坐標(biāo)不知道,也給解題帶來很大困難,但很多同學(xué)巧妙回避了求N的坐標(biāo),掌握了解題要領(lǐng). 相比而言,也有一半少點(diǎn)同學(xué)采用方法二,頗具特色,但數(shù)據(jù)繁雜一些,導(dǎo)致計(jì)算頻頻出錯(cuò),所以建系前要評估一下在平面xoy上盡可能使點(diǎn)的坐標(biāo)為整數(shù),少出現(xiàn)分?jǐn)?shù)和無理數(shù).

方法一以FB、FA分別為x軸和y軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖13,則易求A(0,1,0),C(0,-1,0),設(shè)M(x,y,z),則

圖13

方法二由(1)證明可知MB⊥面ACN,從而面ACN⊥面ABNM, 記MB與AN的交點(diǎn)為H, 又易知四邊形ABNM為菱形, 所以以HA、HB所在直線為x軸,y軸,過H在平面ACN中作垂直AN直線為z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系, 如圖14. 易求

圖14

令C(x,0,z),由

求得x=,z=所以求得進(jìn)而求得平面MBC的法向量為所以sinθ= 所以求得直線EF與平面MBC所成角的正弦值

讀者朋友不妨用坐標(biāo)法試做下面一題:

如圖15,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1⊥B1C1,AC1與A1C交于點(diǎn)O.

圖15

(1)求證:AO⊥A1B;

(2) 已知∠BA1C= 30°,2AC1= 3A1C, 求二面角A-A1B-C的正切值.(答案: 3.)

5 結(jié)束語

綜觀上述4 例及測試題,呈現(xiàn)出向量方法的多姿多彩及其獨(dú)特的魅力, 感悟向量是研究空間幾何問題的有力工具.但在用向量法解題時(shí),必須了解空間向量基本定理,充分掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示,掌握對空間向量加、減、數(shù)量積運(yùn)算及其坐標(biāo)表示,夯實(shí)基礎(chǔ),才能做到“手中有糧,心中不慌”,不然,很容易“盲人騎瞎馬,夜半臨深池”. 還有一點(diǎn),初中平面幾何功底欠缺的同學(xué)對第1 小題都感到力不從心,那么第2 小題用向量法也不會一帆風(fēng)順,畢竟第1 小題是屬于前期勘察地形地貌,為后面建系設(shè)點(diǎn)提供便捷,所以我們在復(fù)習(xí)立體幾何過程中,還要補(bǔ)上初中里削弱的或刪除的平面幾何內(nèi)容,如梯形中的常用輔助線和等腰梯形的性質(zhì)(浙江省初中數(shù)學(xué)教材中沒有“梯形”這一章節(jié)). 針對本班情況,有時(shí)哪種方法學(xué)生難以施展,筆者講評時(shí)側(cè)重用哪種方法,培養(yǎng)學(xué)生解立體幾何大題“文武雙全”的本領(lǐng).