張倩倩

（湖北大學(xué)知行學(xué)院 湖北·武漢 430011）

1 不定積分的重要性

在整個(gè)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中主要可分為一元函數(shù)積分學(xué)及應(yīng)用和多元函數(shù)積分學(xué)及應(yīng)用，其中多元函數(shù)積分可最終轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)多次積分，一元函數(shù)積分又根據(jù)積分區(qū)間分為不定積分、定積分、反常積分，定積分的求解方法中有一種是先當(dāng)成不定積分求出原函數(shù)再利用牛頓-萊布尼茨公式求出最終數(shù)值，反常積分在求解題目過(guò)程中有時(shí)也需要先當(dāng)成不定積分求出原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式和極限最終求出結(jié)果。所以針對(duì)整個(gè)積分學(xué)求解的方法來(lái)說(shuō)，我們可重點(diǎn)探究不定積分的求解方法。

2 不定積分的三種求解方法

相比較而言，這三種方法中，直接積分法是最簡(jiǎn)單的也是最基礎(chǔ)的，無(wú)論是換元法還是分部法在做題過(guò)程中都要用到直接法，它們不是相互獨(dú)立的關(guān)系，而是你中有我，我中有你的關(guān)系。在一道題中，這三種方法可能同時(shí)運(yùn)用才能解出最終的結(jié)果。所以，這三種方法需要同時(shí)掌握，而不是只掌握一種，同時(shí)這也是很多同學(xué)認(rèn)識(shí)不清的地方。在這幾年的教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)大家對(duì)于積分的方法使用不太了解，每次做題都是盲猜。為了學(xué)生更好的掌握積分方法，我根據(jù)自己的做題的思路和學(xué)生的反饋總結(jié)出按照被積函數(shù)的類型可大致判定優(yōu)先使用積分的方法。

3 三種方法的優(yōu)先使用順序

被積函數(shù)中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)。步驟：（1）被積函數(shù)是基本初等函數(shù)（即冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的線性組合，則優(yōu)先使用直接積分法。（2）若被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)相乘的形式，則優(yōu)先使用分部積分法，見(jiàn)例1。（3）若被積函數(shù)中含有復(fù)合函數(shù)，則優(yōu)先使用換元積分法，見(jiàn)例2和例3。

求不出來(lái)結(jié)果。

被積函數(shù)中若只是兩個(gè)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)）相乘時(shí)，如不定積分，要使用兩次分部積分法。切記“從一而終，不可始亂終棄”。從一而終說(shuō)的是遇到需多次使用分部積分方法的題時(shí)，第一次用分部積分法時(shí)無(wú)論選取指數(shù)函數(shù)還是三角函數(shù)，只要第二次使用分部積分法時(shí)在選取和時(shí)與第一次使用分部積分法選取的是同一種類型，則能得到最終結(jié)果，否則，無(wú)法得到正確結(jié)果。不但在做題過(guò)程中要秉承這一原則，在生活中也要有這樣的意識(shí)，這也是數(shù)學(xué)與文學(xué)、哲學(xué)的結(jié)合，在課堂教學(xué)過(guò)程中不但要教授知識(shí)，也要陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)應(yīng)用型人才，把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到其他學(xué)科和人生這個(gè)大學(xué)科中。

換元積分法也是一種比較重要的方法，核心步驟在于第一步要找到換元的部分和最后一步再換回原來(lái)的積分變量。在上述解題過(guò)程中，用到了“湊”，把原本的被積函數(shù)湊成可以使用直接積分法的形式。