夏文文 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)

一、引言

中心極限定理在概率論中有著極其廣泛的應(yīng)用背景。提到中心極限定理，要先介紹一位叫棣莫佛的數(shù)學(xué)家，雖然出生在法國(guó)，但他卻在32歲時(shí)成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。他在1718年首次出版的《機(jī)遇論》被稱為概率論史上有三部里程碑性質(zhì)的著作之一。1712年，一位叫亞歷山大的人向他提出了一個(gè)關(guān)于賭博的問(wèn)題，最終他給出了二項(xiàng)分布下每局獲勝概率p=0.5的證明。但是當(dāng)局?jǐn)?shù)n很大時(shí)，計(jì)算就變得非常困難。因此棣莫佛就找到了一個(gè)近似的算法，它就是后面我們所熟知的“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”。因此可以說(shuō)棣莫佛的工作在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展史上有著里程碑式的意義。

在實(shí)際生活中，有些現(xiàn)象會(huì)受到很多相互獨(dú)立的因素的綜合影響，如果每個(gè)獨(dú)立因素的影響都非常小，單獨(dú)來(lái)看的話并不好研究，但如果放在一起的綜合影響近似服從正態(tài)分布。在研究中經(jīng)常需要考慮研究對(duì)象受許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響。比如在射擊時(shí)，子彈命中的位置偏離目標(biāo)位置的程度，就受到很多隨機(jī)因素（如空氣阻力、風(fēng)向、射擊所用槍支的結(jié)構(gòu)等）的綜合影響。同時(shí)，許多研究結(jié)果表明，受到這些許多綜合影響的隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。

二、什么是中心極限定理

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，想要研究某個(gè)總體的某種指標(biāo)，如果這個(gè)總體很大，通常都是通過(guò)從該總體中用某種方法抽取一定的樣本，然后根據(jù)抽樣得到的樣本結(jié)果來(lái)估計(jì)該總體的情況。但樣本畢竟是樣本，它和總體之間還是有一定差別的。所以我們通常還要根據(jù)抽樣結(jié)果，計(jì)算出相應(yīng)的置信區(qū)間，這樣會(huì)更具有說(shuō)服力。除此之外，我們往往還會(huì)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，將樣本值和假設(shè)值進(jìn)行比較，以此來(lái)判斷我們所作的假設(shè)是否正確。

但是，想要獲得置信區(qū)間或者進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，都必須知道樣本的分布屬于哪一種類型。如果我們連樣本的分布類型都不知道，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量我們也就不可能知道，更不可能求出置信區(qū)間或者進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。但還好我們有偉大的數(shù)學(xué)家，他們發(fā)現(xiàn)的中心極限定理幫我們解決了這一難題。

在實(shí)際中，許多問(wèn)題的研究都需要求n個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和的分布函數(shù)Fn（y），當(dāng)n很大時(shí)，大多數(shù)情況下尋求準(zhǔn)確的Fn（y）是很難的。而中心極限定理的思想對(duì)求解Fn（y）提供了很大的幫助，我們可以用極限的方法求Fn（y）的近似分布。我們習(xí)慣上把概率論中有關(guān)論證大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布的這一類定理統(tǒng)稱為中心極限定理。

三、兩個(gè)常用的中心極限定理

下面給出了在概率論中兩種常用的中心極限定理的主要內(nèi)容和它們之間的關(guān)系。

（一）林德貝格——列維中心極限定理

從這個(gè)定理我們可以看出，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的共同分布不管是什么分布，只要共同分布的方差存在，且不為0，那么大量該隨機(jī)變量和的分布就近似為正態(tài)分布。

（二）拉普拉斯中心極限定理

設(shè)隨機(jī)變量Xn服從于二項(xiàng)分布B（n，p），n=1，2，…，則

通過(guò)該定理可以知道，當(dāng)n充分大（n 30）時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量Xn近似服從于正態(tài)分布，期望為np，方差為np（1-p）。

這個(gè)定理是最早的中心極限定理，它是用正態(tài)分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布的一種方法，因此被稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”。當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的計(jì)算結(jié)果就會(huì)非常大，利用“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”的思想使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。除此之外，我們還常用到“二項(xiàng)分布的泊松近似”，它們之間還是有一定的區(qū)別。比如，當(dāng)p很小，而np又不太大時(shí)，我們常用泊松近似；當(dāng)np和np（1-p）都比較大，一般認(rèn)為np＞=5和np（1-p）＞=5時(shí)，就可以用正態(tài)近似。

當(dāng)使用“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”時(shí)，往往需要修正，合理的修正可以提高精確度。設(shè)Xn～B（n，p），如果滿足np＞=5和np（1-p）＞=5，那么二項(xiàng)分布的正態(tài)近似的公式為：

（三）兩個(gè)中心極限定理的關(guān)系

拉普拉斯中心極限定理其實(shí)就是隨機(jī)變量序列獨(dú)立同二項(xiàng)分布情形下的林德伯格中心極限定理。前者要求隨機(jī)變量序列服從于二項(xiàng)分布，而后者則是要求獨(dú)立同分布即可。

四、中心極限定理的重要性質(zhì)

1.當(dāng)樣本容量或?qū)嶒?yàn)次數(shù)n很大時(shí)（一般n＞=30），隨機(jī)變量和的分布近似服從正態(tài)分布。隨機(jī)變量和的均值為nμ，隨機(jī)變量和的方差為nσ2，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差。

2.當(dāng)樣本容量或?qū)嶒?yàn)次數(shù)n很大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的算術(shù)平均值 的分布近似為正態(tài)分布。其中樣本均值的期望與總體均值相等，而方差等于總體方差除以樣本容量。

五、中心極限定理的在生活中的應(yīng)用

中心極限定理在實(shí)際中的應(yīng)用也是十分的廣泛。保險(xiǎn)這個(gè)行業(yè)對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，它是降低因意外事故造成損失的保障。保險(xiǎn)的賠付一般都是比較大額的，那么就會(huì)有人好奇保險(xiǎn)公司什么情況下會(huì)發(fā)生賠本呢？它賠本的概率有多大呢？

實(shí)例：某家保險(xiǎn)公司年初有5000個(gè)同齡同階層的人投保，并且已知該類人在兩年內(nèi)會(huì)出現(xiàn)重大意外事故的概率為0.005。該保險(xiǎn)公司規(guī)定每個(gè)投保人都要在第一年的年初繳納2000元作為保險(xiǎn)費(fèi)，而在意外事故死亡后其所填受益人可以從保險(xiǎn)公司得到20萬(wàn)元。問(wèn)在該保險(xiǎn)公司的投?；顒?dòng)中，該公司將有多大的概率會(huì)賠本？

在投保中記第k個(gè)人在兩年內(nèi)意外身亡為“Yk=1”，否則為“Yk=0”，那么該隨機(jī)變量服從二點(diǎn)分布B（1，0.005）。該保險(xiǎn)公司在第一年年初可以收到保險(xiǎn)費(fèi)5000*2000=10000000元，所以當(dāng)兩年內(nèi)死亡人數(shù)超過(guò)50人時(shí)保險(xiǎn)公司才會(huì)賠本。各Yk為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，E（Yk）= 0.005，D（Yk）=0.005*（1-0.005）=0.004975，由修正后的“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”公式可得：

由此可見(jiàn)，該保險(xiǎn)公司賠本的概率近似為0。這也就解釋了保險(xiǎn)市場(chǎng)新的公司不斷萌發(fā)的原因。盡管如此，一份保險(xiǎn)對(duì)我們來(lái)說(shuō)還是十分必要的，在你生活困難時(shí)，它于你是雪中送炭；在生活美滿時(shí)，它于你便是錦上添花。

六、中心極限定理的作用

中心極限定理的主要作用可以總結(jié)為以下三個(gè)方面：

（一）用樣本來(lái)估計(jì)總體

當(dāng)我們?cè)跊](méi)有辦法知道總體所有數(shù)據(jù)的情況下，總體的分布顯然也就無(wú)法得知。我們可以用樣本的值來(lái)估計(jì)總體相應(yīng)的值。在收集到了隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)之后，我們可以計(jì)算出樣本的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，由中心極限定理的性質(zhì)，我們也就可以計(jì)算出總體的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

（二）根據(jù)總體的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，判斷樣本是否來(lái)自于該總體

如果我們知道了某個(gè)總體的具體信息，并且知道某個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，我們就可以利用中心極限定理的性質(zhì)，計(jì)算出樣本來(lái)自于該總體的概率。如果所得的概率非常低，我們就可以確定樣本不屬于該總體。

（三）求未知非正態(tài)分布的置信區(qū)間

在大樣本的情況下，要想求得未知分布的置信區(qū)間，就需要用到中心極限定理的內(nèi)容。即可以利用正態(tài)分布的性質(zhì)來(lái)求解出該未知分布的置信區(qū)間。

七、中心極限定理的意義

正態(tài)分布在概率論中占有著舉足輕重的地位，它是許多概率和分布的理論基礎(chǔ)。很多隨機(jī)變量的分布都與正態(tài)分布有關(guān)系，比如我們所熟知的t分布、卡方分布、F分布等等。除此之外，在一些相關(guān)性檢驗(yàn)中我們也能發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的身影，比如Pearson相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的前提條件就是該檢驗(yàn)只能在正態(tài)分布的假定下進(jìn)行，而Spearman秩相關(guān)檢驗(yàn)和Kendall τ相關(guān)檢驗(yàn)都用到了大樣本下的正態(tài)近似。而中心極限定理則可以將大量隨機(jī)變量和的分布最終歸到正態(tài)分布的陣營(yíng)之中，由此可見(jiàn)它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著非常重要的作用。

其次，中心極限定理還為概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究中，由于直接研究總體的特征比較困難，我們常常用抽樣的方式進(jìn)行研究，用某種方法和規(guī)則從總體中抽選一定的樣本，并根據(jù)樣本的某些指標(biāo)來(lái)估計(jì)總體。但這個(gè)關(guān)鍵是要知道樣本的分布，然而很多時(shí)候樣本的分布都是未知的。中心極限定理指出只要樣本容量n足夠大時(shí)，未知總體的樣本分布就近似為正態(tài)分布。因此，只要得到足夠多的樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，就可以用正態(tài)分布的性質(zhì)來(lái)處理。因此就可以利用中心極限定理把數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一些方法應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)學(xué)中。