覃雪清

(桂林信息科技學(xué)院，廣西 桂林 541004)

離散數(shù)學(xué)作為一門與計(jì)算機(jī)及其相關(guān)專業(yè)的一門專業(yè)必修課，在計(jì)算機(jī)理論及軟硬件開發(fā)的各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)學(xué)生的知識技能及相關(guān)行業(yè)的開發(fā)研究都與之有著密不可分的聯(lián)系[1]，同時學(xué)生抓住事物本質(zhì)的能力和嚴(yán)密的邏輯思維方式離不開離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，但是離散數(shù)學(xué)的課程學(xué)習(xí)有一定的難度。該課程內(nèi)容主要包括集合論、數(shù)理邏輯、代數(shù)和圖論四個相對獨(dú)立的模塊。其理論性強(qiáng)、內(nèi)容豐富、高度抽象以及邏輯嚴(yán)密的課程特點(diǎn)會大大地降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時模塊之間內(nèi)容繁多，內(nèi)容相對獨(dú)立的特征導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程中無法形成合理的知識概念地圖，學(xué)生無法將前后知識聯(lián)系起來，增加了課程學(xué)習(xí)難度。針對此課程的特點(diǎn)，文章提出“四何”學(xué)習(xí)模式，以期能夠增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能有助于離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

何為“四何”理論？周瑩教授基于系統(tǒng)論和連貫性理論，提出“從何？→是何？→與何？→如何？→變何？→有何？”的認(rèn)知方法論[2]。周瑩教授的“六何”理論在很多文章和實(shí)踐中得到了應(yīng)用，如：張國玭就高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)在 “六何”理論基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)新，提出“六何三線”理論的課堂教學(xué)模式[3]，該模式有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績以及培養(yǎng)了學(xué)生的自省能力；周瑩、黃翠平在“基于“六何”認(rèn)知策略的數(shù)學(xué)教學(xué)反思—以平方差公式為例”中提出 “六何”認(rèn)知策略[4]，此認(rèn)知策略在保障教師的教學(xué)反思體系理論性和指導(dǎo)性的同時，還可以有效地形成教師的反思教學(xué)系統(tǒng)。

為更清楚明了地闡述“六何”理論，以如圖1所示的框架圖表示“六何”。

圖1 “六何“理論基本框架

從周瑩教授的“六何”理論以及文獻(xiàn)[3]、[4]中“六何”理論的應(yīng)用得到啟發(fā)，并結(jié)合離散數(shù)學(xué)的課程特點(diǎn)，在初階的離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師更關(guān)注其中的“四何”，即“從何→是何→如何→有何”。參考曾紅中“結(jié)構(gòu)教學(xué)+專題教學(xué)”教學(xué)法[5]文章以離散數(shù)學(xué)中歐拉圖為例，對“四何”學(xué)習(xí)模式進(jìn)行具體分析。

一、“從何”

在學(xué)習(xí)任何新的知識點(diǎn)之前，學(xué)生都應(yīng)了解知識點(diǎn)的來源及其發(fā)展歷程，也就是“四何”理論中強(qiáng)調(diào)的“從何”。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在研究哥尼斯堡七橋問題[6]時最先形成歐拉圖的概念。哥尼斯堡的一個公園里，七座橋a,b,c,d,e,f,g將普雷格爾河中兩個島A島與B島及陸地C，D連接起來，即如圖2所示。問題是：能否從A，B，C，D任一地點(diǎn)出發(fā)，有且僅一次通過每座橋并能成功回到原點(diǎn)？歐拉采用“現(xiàn)實(shí)—數(shù)學(xué)”的建模手段經(jīng)過探索于1736解決了著名的七橋問題，由此開啟了圖論—?dú)W拉圖的這一數(shù)學(xué)分支。歐拉把該問題歸結(jié)為三個字，即能否對圖形進(jìn)行“一筆畫”，也就是將現(xiàn)實(shí)生活中的七橋問題抽象成數(shù)學(xué)圖形，這個便是數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程。歐拉此舉架構(gòu)起了現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間的橋梁，并且歐拉成功地利用圖3證明了上述所說的“一筆畫”走法是不可能實(shí)現(xiàn)的。

圖2 七橋示意圖

圖3 七橋問題圖形

在學(xué)生學(xué)習(xí)歐拉圖之前，需先了解歐拉圖的來源，即知識點(diǎn)的來源，了解一定的知識背景，知其源方得其法。這樣不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能幫助學(xué)生進(jìn)行知識點(diǎn)的記憶，對于后續(xù)給出的歐拉圖的概念能加深理解。在進(jìn)行歐拉圖的學(xué)習(xí)之前，可以以這個趣味小故事引入，從而誘導(dǎo)學(xué)生的思考——滿足什么條件的圖可以從某一個點(diǎn)出發(fā)有且僅經(jīng)過每一條邊還能回到起點(diǎn)？經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次的回路稱為歐拉回路，含有歐拉回路的圖被定義為“歐拉圖”[6]。

二、“是何”

由“從何”學(xué)生已經(jīng)對歐拉圖這個概念印象深刻，并且誘發(fā)了一系列問題，即什么樣的圖才是歐拉圖，是不是所有的圖都是歐拉圖，是否存在一個方法能夠簡單且快速地判斷出圖形為歐拉圖？接下來進(jìn)行“是何”環(huán)節(jié)，即需要探索知識點(diǎn)的本質(zhì)是什么，包括歐拉圖的含義，歐拉圖的判定方法及其證明方法。由上易知，圖形有兩大要素，即邊和結(jié)點(diǎn)。要進(jìn)行深入研究歐拉圖及其性質(zhì)特點(diǎn)，那么便離不開這兩大要素。為了更好地探尋知識點(diǎn)的本質(zhì)，首先應(yīng)該了解以下兩個定義。

定義1[7]：以結(jié)點(diǎn)v作為端點(diǎn)的次數(shù)稱為結(jié)點(diǎn)v的度數(shù)，記為deg(v)。

定義2[7]：從結(jié)點(diǎn)v出發(fā)回到結(jié)點(diǎn)v的路徑稱為v的一條回路。

由上，給出了歐拉圖的概念，即如果一個圖形存在一條經(jīng)過圖中每條邊有且僅有一次的回路，那么這類圖形稱為歐拉圖[7]。如何快速判斷一個圖形是否為歐拉圖呢？經(jīng)過對歐拉圖的不斷深入研究，得到相對完美的答案——無向連通圖為歐拉圖當(dāng)且僅當(dāng)所有的結(jié)點(diǎn)度數(shù)均為偶數(shù)[7]。利用此結(jié)論可以判斷圖2是否為歐拉圖：

deg(A)=3，deg(B)=5，

deg(C)=3，deg(D)=3

由上可知，每個結(jié)點(diǎn)度數(shù)均為奇數(shù)，不符合條件，即七橋圖不是歐拉圖。學(xué)生可以按上述結(jié)論再進(jìn)行判斷下圖是否為歐拉圖。

圖4 圖的示例

三、“如何”

在經(jīng)過“從何”與“是何”后，到了“如何”，即如何利用已學(xué)知識應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。歐拉圖的運(yùn)用非常廣泛，而中國郵路[8]就是其中一個典型的應(yīng)用。我國數(shù)學(xué)家管梅谷于1962年首先提出中國郵路問題，并得到了此問題的一種求解方法。該問題是，郵遞員從郵局出發(fā)在他管轄范圍內(nèi)投遞郵件，然后回到郵局。顯然，郵遞員必須且至少經(jīng)過他管轄范圍內(nèi)的每一條街道一次，并希望能找到一條盡可能短的路線。如果將此問題抽象成圖論問題，就是給定一個連通圖，連通圖每條邊都有權(quán)值(距離)，如果這個圖是歐拉圖，那么便能夠?qū)ふ业狡渲械囊粭l歐拉回路；如果這個圖不是歐拉圖，那么現(xiàn)實(shí)中郵遞員就重復(fù)走某些邊。將這些重復(fù)的邊抽象成圖論中的邊，則是以平行邊的形式出現(xiàn)，重復(fù)走幾次，就添加幾次。則把這樣的問題轉(zhuǎn)化為：在一個含有奇度數(shù)結(jié)點(diǎn)的賦權(quán)圖增加一些平行邊，使得原圖不再含有奇度數(shù)結(jié)點(diǎn)，并且增加的邊總權(quán)值最小[9]。這樣的做法就完成了由非歐拉圖到歐拉圖的轉(zhuǎn)變。變成歐拉圖后，再利用Fleury算法[10]，即可找出歐拉回路。以下附上Fleury算法：

設(shè)G為一無向歐拉圖，求G中的一條歐拉回路算法為：

1.任取G的一個頂點(diǎn)v0為起始結(jié)點(diǎn)，并令L0=v0；

2.設(shè)已選好的簡單通路為L0=v0e1v1e2v2…eivi，按下面的方法從E-{e1,e2,e3,…,ei}中選取邊ei+1(ei表示圖G中的邊，E表示圖中G的邊集，G′為從G中刪除邊集{e1,e2,e3,…ei}得到的圖)；

(1)結(jié)點(diǎn)vi是邊ei+1的端點(diǎn)；

(2)除非無其他邊可選擇，否則刪除邊ei+1不應(yīng)該改變圖G′的連通性。

3.當(dāng)2不能進(jìn)行時(所有邊已選擇)，算法停止。其中，ei表示圖G中的邊，E(G)-{e1,e2,e3,…,ei}

四、“有何”

每一次的學(xué)習(xí)都應(yīng)該貫穿“反思”，古人有云，吾日三省吾身，不僅為人處世上需要反思，學(xué)習(xí)也需要反思和總結(jié)。從上述的學(xué)習(xí)中，有什么收獲？有何感受？還有什么困惑嗎？若存在困惑，下一步該怎樣解決這個困惑呢？由歐拉圖概念的給出，其實(shí)很容易思考出另一問題，也就是離散數(shù)學(xué)中繼歐拉圖后另一類經(jīng)典圖—哈密頓圖。歐拉圖是至少存在一條走遍所有的邊并且不走相同邊的回路的圖，那么如果存在一條經(jīng)過圖中所有結(jié)點(diǎn)有且僅一次的回路的圖又稱為什么圖呢？這樣的圖是否一定存在？顯然，這類圖是存在的。如果存在，能否也如歐拉圖一般存在一個簡單的判斷此圖的方法，這類圖在現(xiàn)實(shí)中又有什么樣子的應(yīng)用呢？由上述反思過程可知，學(xué)生不斷地對知識點(diǎn)進(jìn)行整理學(xué)習(xí)不僅可以獲得更深層次的知識點(diǎn)，并在此過程中無形增強(qiáng)了學(xué)生思維力度和高度并提高學(xué)生歸納的能力，而且能夠引發(fā)新的知識點(diǎn)—哈密頓圖[11]。從而，在學(xué)生對離散數(shù)學(xué)中的圖論這一模塊形成了一個基本的知識體系，知識點(diǎn)也不再枯燥無味、孤立離散。參照歐拉圖的“四何”學(xué)習(xí)模式，學(xué)生可以繼續(xù)學(xué)習(xí)哈密頓圖。在這個以老師為輔，學(xué)生為主構(gòu)建知識體系過程中，學(xué)生不僅獲得了新的知識點(diǎn)，并且情感體驗(yàn)上有很強(qiáng)的滿足感，從而有更大的興趣去進(jìn)行更多的知識探索。從這一反思過程中，不斷對自身知識進(jìn)行管理和添加新的知識點(diǎn)，從而形成一個龐大的知識體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)和工作做好準(zhǔn)備。

結(jié)語

文章以歐拉圖這個知識點(diǎn)為例，具體講解了如何利用“四何”理論進(jìn)行學(xué)習(xí)，不僅適用于學(xué)生的學(xué)習(xí)，也適用于老師的備課。希望“四何”學(xué)習(xí)模式能夠給予學(xué)生學(xué)習(xí)上的一些啟發(fā)，能夠有效高效地進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)會融會貫通，舉一反三。進(jìn)而也得到一個啟發(fā)，“四何”學(xué)習(xí)模式不僅僅可以應(yīng)用于圖論的學(xué)習(xí)，也適用于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中。給出以下的思維導(dǎo)圖(圖5)以便更好地表達(dá)文章中心內(nèi)容。

圖5 歐拉圖的“四何”學(xué)習(xí)模式

由圖5可知，“四何”學(xué)習(xí)是一種相互滲透，相互影響又屬層層遞進(jìn)的關(guān)系。 由“從何”提出問題引發(fā)思考，從而探究“是何”，在“是何”獲得知識本質(zhì)后，解決“如何”，最后收獲屬于自己的知識與學(xué)習(xí)知識體會—“有何”。這是一個完整的且貼合實(shí)際應(yīng)用的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，期望“四何”學(xué)習(xí)理論能夠給學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中一些啟發(fā)。