顧培松

圓錐曲線中的定值問題一直是高考數(shù)學中的熱門題目之一，常常涉及了定點、定直線、定面積等.圓錐曲線中的定直線問題較為復雜，且運算量較大，屬于一類難度較大的問題.本文通過對一道圓錐曲線定直線問題的分析，探討了求圓錐曲線中定直線問題的兩種思路.

例題：已知拋物線Cx2= 2py（p>o）的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與C交于A、B兩點，IABl=8，若點D（l，2）的直線l與C交于M、N，點Q是MN的中點，QR⊥x軸交C于點R，已

.

（1）求拋物線C的方程;

（2）求證：動點T在定直線上，并求出定直線的方程.

本題主要考查了拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系以及定直線問題.第一個小問題較為簡單，我們根據(jù)題意設出直線AB的方程以及點A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐標，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，借助韋達定理即可求得p的值以及拋物線的方程C：X2= 4y.這里主要討論第二個小問題的解法，我們可以從設參數(shù)、借助相關點兩種思路進行思考.

一、利用參數(shù)法求定值

運用參數(shù)法求圓錐曲線中的定直線問題，需首先根據(jù)題意引人參數(shù)，用參數(shù)表示經(jīng)過定直線的動點，將其代入已知條件中并根據(jù)問題所給的條件建立關系式，如將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去其中一個參數(shù)得到一元二次方程式、方程的根與系數(shù)的關系式等，然后消去參數(shù)，即可得到定直線的方程.

證明：由題意可知直線L的斜率存在，設直線L的方程為

解答該題主要運用參數(shù)法，首先引入?yún)?shù)K，設出直線L的方程，然后根據(jù)問題所給的條件求得相關直線和點的表達式，用這些含參數(shù)K的關系式求出動點T的坐標，消去參數(shù)k就能得到定直線的方程.

二、利用相關點法求定值

相關點法適用于解答一個點的運動變化引起另外一些點的運動變化（這些點具有相關性）的問題.在解題時，用一個點的坐標把另外一些點的坐標表示出來，再代入已知的曲線方程和直線方程巾，便可求出定直線的方程.

證明：設

由QR= RT可得R點是QT中點，

又

R點在拋物線C上，

X2 =2（y5+y），即-x+4+2y=0，

動點T在直線x-2y-4=0上.

我們首先設出經(jīng)過定直線的動點T的坐標（x，x，y），然后用（x，y）表示動點R，根據(jù)點R經(jīng)過拋物線C得到定直線的方程.

利用參數(shù)法、相關點法都能夠快速解答圓錐曲線定直線問題.但其適用條件并不相同，參數(shù)法的適用范圍較廣，相關點法的適用范圍較窄，只適用于一些點有聯(lián)系的問題.

（作者單位：云南省曲靖市民族中學）