李文金, 龐彥尼

(1. 吉林財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130117; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

時(shí)滯微分方程在生物數(shù)學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、信息等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 可用于描述動(dòng)物血紅細(xì)胞再生、種群生態(tài)系統(tǒng)、心臟起搏等現(xiàn)象. 目前, 關(guān)于微分方程振動(dòng)理論及其應(yīng)用的研究已有很多成果[1-7], 特別是關(guān)于二階微分方程的研究已有較大進(jìn)展, 但對(duì)于微分方程中含有多時(shí)滯量, 用上下解的單調(diào)迭代技巧處理其周期解的存在性和唯一性的研究文獻(xiàn)報(bào)道較少.

考慮n階時(shí)滯微分方程

-u(n)(t)=f(t,u(t),u(t-τ1),u(t-τ2),…,u(t-τn)),t∈

(1)

ω-周期解的存在性, 即滿足方程(1)和u(t+ω)=u(t)的解, 其中f:×n+1→連續(xù)且關(guān)于t以ω為周期,τ1,τ2,…,τn為正常數(shù). 本文利用單位算子擾動(dòng)理論, 通過(guò)建立新的極大值原理, 討論方程(1)ω-周期解的存在性和唯一性. 本文結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[1]中二階多時(shí)滯微分方程

-u(2)(t)=f(t,u(t),u(t-τ1),u(t-τ2),…,u(t-τn)),t∈

ω-周期解的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

記Cω()是以ω為周期的全體連續(xù)函數(shù)按范數(shù)構(gòu)成的Banach空間. 對(duì)()是以ω為周期的m階連續(xù)可微函數(shù)全體按范數(shù)構(gòu)成的Banach空間. 記()是Cω()中的非負(fù)函數(shù)錐. 設(shè)Mn為正常數(shù), 且

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中引理2.4知, 微分算子Lnu=u(n)+Mu在周期邊界條件下滿足極大值原理, 且有下列引理.

引理1[8]設(shè)M∈(0,Mn)為一個(gè)常數(shù), 則n階線性邊值問(wèn)題

存在唯一解Φ∈Cn[0,ω], 且對(duì)?t∈[0,ω],Φ(t)>0.

引理2[9]設(shè)M∈(0,Mn), 則對(duì)?h∈Cω(),n階線性微分方程

-u(n)(t)+Mu(t)=h(t),t∈

(2)

存在唯一ω-周期解

(3)

且解算子S:Cω()()是線性全連續(xù)算子.

(4)

周期解的存在性, 其中M>0,Mi≥0.

引理3線性方程(2)的ω-周期解算子S:Cω()→Cω()具有下列性質(zhì):

1) 范數(shù)‖S‖=1/M;

證明: 1) 由S的定義可知,

即‖S‖≤1/M.

另一方面, 取h0=1, 則h0∈Cω(), ‖h0‖C=1, 且于是有

(5)

故性質(zhì)1)成立.

(6)

(7)

故性質(zhì)2)成立. 證畢.

證明： 由線性方程ω-周期解的表示式(3)知,u∈Cω()是方程(4)的ω-周期解當(dāng)且僅當(dāng)

(8)

定義算子B:Cω()→Cω()為

(9)

則B:Cω()→Cω()為正的有界線性算子, 易知結(jié)合式(3),(8),(9), 有

(I+SB)u(t)=Sh(t),t∈.

(10)

由單位算子擾動(dòng)理論可知,I+SB為有界線性逆算子：

(11)

(12)

因此算子方程(10)有唯一解

(13)

其為方程(4)的ω-周期解. 由式(3)知,S:Cω()→Cω()是線性全連續(xù)算子, 由(I+SB)-1的有界線性可知,T=(I+SB)-1S是全連續(xù)的. 由式(11)～(13)可得

因此(I-SB)S是正的, 即T:Cω()→Cω()是一個(gè)正算子. 證畢.

則u(t)≥0,t∈.

證明： 令

為利用單調(diào)迭代技巧, 類似周期邊值問(wèn)題上下解的概念[10], 本文引入方程(1)上下ω-周期解的定義.

(14)

則稱v0是方程(1)的下ω-周期解; 若上述不等號(hào)取反向, 則稱v0是方程(1)的一個(gè)上ω-周期解.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)f:×n+1→連續(xù), 關(guān)于t以ω為周期, 且v0和w0是方程(1)的下ω-周期解和上ω-周期解,v0≤w0,v0≤Qv0,Qw0≤w0, 則方程(1)在v0和w0之間存在最小ω-周期解和最大ω-周期解, 且可分別以v0,w0為初始元作迭代得到.

若f在v0和w0之間還滿足以下條件:

則方程(1)在v0和w0之間存在唯一解u*.

證明： 令D=[v0,w0]={u∈Cω()|v0≤u≤w0}. 定義算子F:D→Cω()為

于是F:D→Cω()連續(xù)、有界, 且為增算子. 則方程(1)在D中的解等價(jià)于算子Q=T°F:D→Cω()有不動(dòng)點(diǎn), 且由F的序增性及T的線性和正性可知Q=T°F是增算子, 即對(duì)?u1,u2∈[v0,w0], 滿足u1≤u2, 則Qu1≤Qu2.

對(duì)Q用增算子不動(dòng)點(diǎn)定理單調(diào)迭代求解. 下面分三步證明.

1) 證明算子Q在D中有不動(dòng)點(diǎn). 分別以v0,w0為初始元作迭代序列:

vn=Qvn-1,wn=Qwn-1,n=1,2,….

(15)

根據(jù)算子Q的單調(diào)性, 有

v0≤v1≤v2≤…≤vn≤…≤wn≤…≤w2≤w1≤w0,

(16)

則{vn}和{wn}分別在序區(qū)間D上單調(diào)遞增和單調(diào)遞減. 由Q的緊性可知, {vn},{wn}?[v0,w0]為Cω()中的相對(duì)緊集, 有一致收斂的子列. 因此{(lán)vn}和{wn}均在Cω()中收斂, 即(), 使得又因?yàn)镈為Cω()中的凸閉集, 故在式(15)中令n→∞, 則由Q的連續(xù)性知,所以和都是算子Q在D中的不動(dòng)點(diǎn).

vn≤u*≤wn.

(17)

則

‖wn-vn‖C≤(M-L)n·‖Tn‖·‖w0-v0‖C.

(18)

由于{vn}和{wn}在Cω()中分別單調(diào)遞增收斂到及單調(diào)遞減收斂到所以在式(18)中, 當(dāng)n→∞時(shí), 有從而即u*是方程(1)在方程v0和w0之間的唯一解. 證畢.