丁樂聲，陳金龍，張 聰，盧青針，岳前進

（大連理工大學(xué)a.海洋科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.盤錦產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，遼寧盤錦 124200）

0 引 言

在海洋油氣、海上風電[1]等資源、能源的開發(fā)中，海底電纜、管道等柔性結(jié)構(gòu)有著大量應(yīng)用。細長結(jié)構(gòu)的海洋柔性管纜在復(fù)雜的海洋環(huán)境載荷下極易發(fā)生過度彎曲、疲勞等破壞模式[2]。因此，美國石油協(xié)會（API）在其頒布的標準中指出，應(yīng)在與剛性結(jié)構(gòu)連接的柔性管道、海纜上安裝彎曲限制器[3]，并且不同環(huán)境荷載下不同柔性管纜的限彎器需要分別設(shè)計。

限彎器主體是多節(jié)圓筒相互嵌套的周期性結(jié)構(gòu)，當柔性管道或纜與限彎器形成的組合體彎曲至限彎器的鎖合半徑時[4]，其各節(jié)互相接觸、鎖合而提供更大的彎曲剛度，阻止柔性管道或纜過度彎曲。因此，限彎器的彎曲剛度是其核心設(shè)計指標。

限彎器形狀復(fù)雜，完全獨立的幾何參數(shù)有7個[5]，而限彎器彎曲剛度設(shè)計工作涉及公頭端部高度、有效節(jié)長、母頭尾部厚度、材料彈性模量等參數(shù)，是一個多參數(shù)設(shè)計問題。在缺乏有效力學(xué)模型時，限彎器設(shè)計多依賴經(jīng)驗，導(dǎo)致效率低下。在已有工作中，O'Regan 等[6]首先基于ABAQUS 軟件給出了限彎器彎曲分析模型，主要研究螺栓緊固結(jié)構(gòu)對限彎器彎曲強度的影響；Noh 等[7]基于ABAQUS 進行了限彎器與纜的多體接觸分析，并對限彎器結(jié)構(gòu)進行了拓撲優(yōu)化；張聰[8]提出了組合彎曲剛度是限彎器關(guān)鍵力學(xué)指標，并給出了基于有限元分析的限彎器等效彎曲剛度計算方法。

為提高限彎器設(shè)計效率，需進一步對其等效彎曲剛度開展理論研究與參數(shù)影響分析。本文基于歐拉-伯努利梁理論建立了限彎器總體純彎梁模型，并采用板彎曲理論與Hertz 接觸理論建立總體模型中的鎖合結(jié)構(gòu)模型，通過簡化得出計算限彎器等效彎曲剛度的半經(jīng)驗求解形式，還分析了關(guān)鍵參數(shù)對限彎器等效彎曲剛度的影響趨勢；然后建立有限元模型驗證半經(jīng)驗求解形式與關(guān)鍵參數(shù)影響趨勢，并在研究參數(shù)影響規(guī)律時引入高效的正交試驗方法。

1 限彎器等效彎曲剛度理論研究

限彎器結(jié)構(gòu)包含如圖1 所示的諸多參數(shù)。為減少設(shè)計變量，考慮到限彎器肩部長度通常與外徑保持一定比例關(guān)系，本文引入有效節(jié)長l，它表示單節(jié)限彎器對柔性管纜的有效覆蓋長度，分為頸長l1與肩部長度l2，即l=l1+l2；當調(diào)節(jié)有效節(jié)長時只改變頸長以保證與肩部長度相關(guān)的外徑不變。同時認為限彎器彎曲形變符合小變形、平截面假定，忽略接觸區(qū)域的摩擦效應(yīng)，且將材料視為線彈性。

圖1 限彎器裝配Fig.1 Assembly of bend restrictor

根據(jù)上述簡化及假設(shè)，可以基于歐拉-伯努利梁理論、板彎曲理論與Hertz 接觸理論，分別從總體和局部考慮建立限彎器的理論模型，并研究公頭端部高度a、有效節(jié)長l、母頭尾部厚度b三類形狀設(shè)計參數(shù)，以及材料彈性模量E對限彎器等效彎曲剛度的影響。

1.1 限彎器總體純彎梁模型

限彎器總體由變徑圓筒形的子梁結(jié)構(gòu)與鎖合結(jié)構(gòu)交替組成，可簡化成如圖2所示的純彎梁模型。

圖2 限彎器總體純彎梁模型Fig.2 Global pure bending beam model of bend restrictor

基于歐拉-伯努利梁理論，給出子梁結(jié)構(gòu)純彎公式如下[9]：

式中，θ1為子梁彎曲轉(zhuǎn)角，M為彎矩，l為有效節(jié)長，E為材料彈性模量，I為截面慣性矩。

式中，D為外徑，d為內(nèi)徑，則式（1）中的積分可根據(jù)形狀參數(shù)進行計算，簡化為

此處引入鎖合結(jié)構(gòu)彎曲剛度G，則鎖合結(jié)構(gòu)彎曲轉(zhuǎn)角

由式（3）和式（4）可以計算得組合結(jié)構(gòu)的總轉(zhuǎn)角

式中，n為總體中子梁結(jié)構(gòu)數(shù)量，再依據(jù)梁理論給出限彎器的等效彎曲剛度為

聯(lián)立式（5）和式（6）可以得到限彎器總體純彎梁模型為

式中，鎖合結(jié)構(gòu)彎曲剛度G將在下一節(jié)進行研究。

1.2 局部鎖合結(jié)構(gòu)彎曲模型

限彎器局部鎖合結(jié)構(gòu)如圖3所示。當限彎器鎖合時，公頭與母頭發(fā)生接觸、傳遞彎矩。從圖中可以看出，公頭端部與母頭的上半部接觸剛度相對較大，其接觸變形可忽略不計，故可以假設(shè)此處為鎖合結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)中心，則其轉(zhuǎn)動半徑r為公頭端部中徑；基于此，該過程可簡化為兩圓環(huán)局部接觸、彎曲的力學(xué)模型。

圖3 局部鎖合結(jié)構(gòu)Fig.3 Local locking structure restrictor

由幾何約束得到鎖合結(jié)構(gòu)彎曲轉(zhuǎn)角，即

式中：Δd為形變產(chǎn)生的接觸處軸向位移，r為轉(zhuǎn)動半徑。當Δd/r較小時可省略高階量，將式（8）簡化為

形變產(chǎn)生的接觸處軸向位移由接觸形變Δd1、公頭端部撓度w1和母頭尾部撓度w2三部分組成，即

同時，將公頭所受接觸力簡化為沿公頭端部高度a這一徑向方程均勻分布的線性荷載q，則

值得注意的是，該荷載在接觸面的圓周方向是非連續(xù)的。

Hertz接觸理論被廣泛地用于曲面接觸問題計算[10]。忽略掉切向摩擦力并假設(shè)接觸物體足夠大可形成彈性半空間，則引入材料泊松比μ后，限彎器公頭端部與母頭尾部的接觸變形可描述為

環(huán)形板彎曲理論可解決公頭端部與母頭尾部的彎曲問題，其本構(gòu)方程如式（13）所示[11]：

式中：D為板彎曲剛度[11]，w為撓度，δ為厚度，ρ為徑向尺寸，q'為荷載。

局部鎖和結(jié)構(gòu)彎曲模型由式（4）和式（9）-（13）組成，但式（13）中含有邊界條件不連續(xù)的二維重調(diào)和方程；下一節(jié)將探索其簡化形式，以獲得形式簡單便于工程應(yīng)用的解。

1.3 等效彎曲剛度的半經(jīng)驗求解形式

當限彎器公頭端部及母頭尾部的徑向尺寸為定值時，根據(jù)疊加原理可引入系數(shù)k將式（13）線性化；再將母頭尾部厚度b與公頭端部厚度e代入，得到簡化的彎曲模型如式（14）-（15）所示：式中：D1、D2分別為公頭端部與母頭尾部的彎曲剛度，k1、k2是為了將式（13）線性化而引入的系數(shù)，它們分別與公頭端部和母頭尾部的徑向尺寸ρ呈非線性負相關(guān)。將式（4）、式（9）-（12）、式（14）-（15）聯(lián)立得

3.2 測驗。測驗包括階段性測驗、單元測驗或隨堂考試等，主要偏重考察學(xué)生對歷史事實類知識性內(nèi)容的了解和掌握?？己朔绞降倪x擇是按照本課程設(shè)定的了解、領(lǐng)會、掌握及分析應(yīng)用等不同教學(xué)要求，歸置為不同的客觀題型，次數(shù)不限，考試時間可長可短，授課中或授課告一階段后，教師都可以進行。測驗較之課堂提問覆蓋面全且標準客觀統(tǒng)一，測驗后及時反饋，便利于同學(xué)們及時發(fā)現(xiàn)自己的問題，強化同學(xué)們對基本歷史事實的掌握。測驗占到平時成績30%。

進一步將式（16）代入式（7）得到了一種針對模型（14）的解析解，

式中，g為式（3）中頸部截面極慣性矩的倒數(shù)，c為式（3）中的定積分常數(shù)，l2為肩部長度，H為鎖合結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)，

需要注意，當公頭端部及母頭尾部的徑向尺寸不變時，系數(shù)k1、k2即為定值。并且系數(shù)k1、k2無法通過理論方法直接獲得，可結(jié)合有限元方法或試驗分析利用式（14）-（15）計算。在獲取k1、k2之后，即可通過公式（17）-（18）求解限彎器等效彎曲剛度。

1.4 參數(shù)影響規(guī)律

通過以上理論研究，可以獲得如下參數(shù)影響規(guī)律：

（1）公頭端部高度a是一個公頭端部的徑向尺寸，式（13）中表示為ρ；由式（13）-（14）可知其與系數(shù)k1呈非線性負相關(guān)；即公頭端部高度a增大時，式（18）中k1減小，從而使H增大，但同時由式（13）可知，a本身增大亦使H減小。綜上，由式（17）可知公頭端部高度a與等效彎曲剛度呈非線性關(guān)系。

（2）由式（17）計算等效彎曲剛度K關(guān)于有效節(jié)長的導(dǎo)數(shù)為

式中，g為頸部截面極慣性矩的倒數(shù)，c為式（3）中的常數(shù)，H可由式（18）求得，l2為肩部長度。當滿足判據(jù)式（20），即限彎器為短肩結(jié)構(gòu)時，K'恒為正數(shù)，有效節(jié)長l與等效彎曲剛度正相關(guān)。

（3）由式（17）-（18）可知，母頭尾部厚度b和材料彈性模量E與等效彎曲剛度正相關(guān)。

2 等效彎曲剛度計算與參數(shù)影響分析

本章基于實際的限彎器參數(shù)，建立有限元分析模型驗證理論研究獲得的半經(jīng)驗求解形式和各參數(shù)對等效彎曲剛度的影響。在研究上述四類參數(shù)影響時引入了正交試驗設(shè)計方法，以提高效率。

2.1 彎曲剛度計算示例

選擇公頭端部與母頭尾部徑向尺寸、材料泊松比相同的兩組實際限彎器參數(shù)作為算例A 與B，尺寸及材料參數(shù)詳見表1，算例參數(shù)化截面如圖4所示。

圖4 限彎器算例尺寸Fig.4 Example dimensions of bend restrictor

表1 限彎器結(jié)構(gòu)參數(shù)表Tab.1 Parameters of bend restrictor structure

等效彎曲剛度可通過有限元法計算?；贏BAQUS，利用結(jié)構(gòu)對稱性對上述算例A與B分別建立參數(shù)化的三維模型，并選擇懸臂梁純彎曲加載，對前端施加3 kN·m 的彎矩，對尾端施加完全固定約束，如圖5所示。

圖5 限彎器相互作用及邊界條件設(shè)置Fig.5 Interaction of bend restrictor and boundary condition setting

模型共有8個接觸對，法向行為選擇硬接觸算法，切向行為則選擇罰函數(shù)算法。最后從有限元結(jié)果中提取端部轉(zhuǎn)角，并由式（6）計算等效彎曲剛度，結(jié)果如表2所示。半經(jīng)驗求解需計算系數(shù)k1、k2；算例A 與B 的公頭端部與母頭尾部徑向尺寸相同，因此系數(shù)k1、k2也相同。故先基于上文所述有限元方法分析算例A 定彎矩下公頭端部撓度w1及母頭尾部撓度w2，并根據(jù)式（11）、（14）-（15）求得系數(shù)k1、k2。最終將表1中各參數(shù)代入式（17）-（18）分析算例A與B等效彎曲剛度，結(jié)果在表2中給出。

表2 等效彎曲剛度計算結(jié)果Tab.2 Calculation results of equivalent bending stiffness

由表2 可知，半經(jīng)驗求解結(jié)果與有限元法計算結(jié)果的誤差小于5%，可有效計算限彎器等效彎曲剛度。且當系數(shù)k1、k2已知時，僅需將限彎器參數(shù)代入公式即可快速計算其等效彎曲剛度。

2.2 正交試驗設(shè)計

通常4 因素4 水平的全因素試驗，需要進行44次處理，而正交試驗設(shè)計分析只需要處理42次。故選用正交試驗設(shè)計[12]方法，分析滿足判據(jù)式（20）的短肩限彎器；各結(jié)構(gòu)參數(shù)水平如表3所示，將參數(shù)代入L16（45）正交表[12]，并以有限元分析得到的等效彎曲剛度K作為評價指標進行計算。

表3 限彎器模型主要參數(shù)水平Tab.3 Main parameters of the limited bender model

2.3 參數(shù)影響程度分析結(jié)果

在正交試驗的基礎(chǔ)上引入指標總和Ji、指標均值ji，以及極差R以判斷各個因素對限彎器等效剛度的影響程度。

本試驗分析結(jié)果于表4給出，四類參數(shù)對等效彎曲剛度的影響如圖6所示。

圖6 四類參數(shù)對等效彎曲剛度的影響Fig.6 Influence of four type parameters on equivalent bending stiffness

表4 正交試驗法分析結(jié)果Tab.4 Analysis results of orthogonal test

對比表4 中各因素極差值發(fā)現(xiàn)，材料彈性模量影響最大，其次是有效節(jié)長和公頭端部高度，母頭尾部厚度的影響最小。

如圖6 所示，隨著公頭端部高度增大，等效彎曲剛度呈先增大后減小趨勢；當限彎器為滿足判據(jù)式（20）的短肩結(jié)構(gòu)時有效節(jié)長與等效彎曲剛度正相關(guān)；母頭尾部厚度及材料彈性模量與等效彎曲剛度正相關(guān)。有限元分析得到的四參數(shù)影響趨勢與理論研究吻合。

3 結(jié) 論

本文基于歐拉-伯努利梁理論建立了限彎器等效彎曲剛度的總體純彎梁模型，采用板彎曲理論與Hertz接觸理論建立總體模型中的局部鎖合結(jié)構(gòu)彎曲模型；并得出簡化的限彎器等效彎曲剛度計算半經(jīng)驗求解形式，同時基于模型研究了公頭端部高度、有效節(jié)長、母頭尾部厚度、材料彈性模量四類參數(shù)對等效彎曲剛度的影響規(guī)律。然后通過有限元分析以及正交試驗設(shè)計方法進一步驗證與分析，獲得如下結(jié)論：

（1）通過簡化限彎器等效彎曲剛度的總體純彎梁模型，可以得到半經(jīng)驗求解形式；并且半經(jīng)驗求解形式經(jīng)有限元法驗證是有效的。

（2）隨著公頭端部高度增大，等效彎曲剛度先增大后減小，當限彎器為短肩結(jié)構(gòu)時有效節(jié)長與等效彎曲剛度正相關(guān)，母頭尾部厚度及材料彈性模量與等效彎曲剛度正相關(guān)。

（3）通過分析四類參數(shù)對限彎器等效彎曲剛度的影響程度，發(fā)現(xiàn)其影響主次因素順序為材料彈性模量、有效節(jié)長、公頭端部高度、母頭尾部厚度。

本文通過引入有效節(jié)長概念，將限彎器結(jié)構(gòu)設(shè)計簡化為四個變量進行研究。事實上，限彎器各部分內(nèi)徑等結(jié)構(gòu)參數(shù)，也對等效彎曲剛度有影響。同時，限彎器結(jié)構(gòu)參數(shù)在設(shè)計時會受到所保護管纜的結(jié)構(gòu)性能的影響，可以在未來進一步研究。