安志紅 劉金英

我們生活在一個(gè)豐富多彩的世界，其中存在大量涉及分析數(shù)量關(guān)系的問題，這為培養(yǎng)學(xué)生的模型思想提供了大量的現(xiàn)實(shí)素材。從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的一種能力體現(xiàn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，為適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。針對(duì)這一要求，本文以2021年天津市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題（第22、23題）為典型，分析試題的呈現(xiàn)過程，力圖說明在教學(xué)過程中，教師要充分利用教材資源，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，重視培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力，該能力是落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的基本要求。

一、關(guān)于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的理解

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)[1]。

建立數(shù)學(xué)模型的類型有很多，其中方程是一種重要的描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，大量豐富的實(shí)際問題反映出方程既來自實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際。體會(huì)方程的作用，掌握運(yùn)用方程解決問題的方法是一種重要的數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)。人教版教科書七年級(jí)上冊(cè)第三章《一元一次方程》的“3.4實(shí)際問題與一元一次方程”一節(jié)，以框圖形式，第一次比較明確地對(duì)“利用一元一次方程解決問題的基本過程”進(jìn)行了歸納，意在滲透建立數(shù)學(xué)模型的思想，在全章的小結(jié)中明確提出“數(shù)學(xué)模型”，使學(xué)生對(duì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型在認(rèn)識(shí)層面上實(shí)現(xiàn)了提升。

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.人教版教科書八年級(jí)下冊(cè)第十九章《一次函數(shù)》的章引中言明確提出：“為了研究這些運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象中變量間的依賴關(guān)系，數(shù)學(xué)中逐漸形成了函數(shù)概念。人們通過研究函數(shù)及其性質(zhì)，更深入地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中許多運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律?！痹诤瘮?shù)的學(xué)習(xí)中，找出問題中相關(guān)變量之間的關(guān)系，并以數(shù)學(xué)形式表現(xiàn)這種關(guān)系，是建立函數(shù)模型和解決實(shí)際問題的關(guān)鍵步驟?，F(xiàn)實(shí)中存在大量問題涉及具有簡單函數(shù)關(guān)系的變量，借助實(shí)際問題情境，引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象地認(rèn)識(shí)函數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的方法與作用，以提高綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力。

利用幾何圖形建立模型也是常見的。例如，通過對(duì)人教版教科書九年級(jí)下冊(cè)第二十八章《銳角三角函數(shù)》的教學(xué)，可以使學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的度量問題。借助圖形，是利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，畫出示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，數(shù)形結(jié)合，將問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)，并綜合運(yùn)用勾股定理等直角三角形的有關(guān)知識(shí)加以解決，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

二、關(guān)于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的專題分析

一、構(gòu)建幾何模型，解決實(shí)際測(cè)量問題

“銳角三角函數(shù)”屬于三角學(xué)，是《標(biāo)準(zhǔn)）》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。銳角三角函數(shù)的一個(gè)突出特點(diǎn)是它的概念的產(chǎn)生和應(yīng)用都與圖形有著密切的聯(lián)系，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并利用銳角三角函數(shù)解直角三角形時(shí)，往往需要根據(jù)題意，畫出幾何圖形，通過分析幾何圖形得到邊、角之間的關(guān)系，再通過計(jì)算、推理等過程使實(shí)際問題得到解決。

圖1

此題源自人教版教科書九年級(jí)下冊(cè)第二十八章《銳角三角函數(shù)》的28.2解直角三角形及其應(yīng)用，涉及的內(nèi)容屬于初中數(shù)學(xué)的圖形與幾何部分，是對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力的考查。有趣的實(shí)際背景，與教科書中的例題極為相似，充分展示了解直角三角形在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用。

題目將銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容與實(shí)際問題緊密聯(lián)系，形成“你中有我，我中有你”的格局。一方面，可以讓學(xué)生體會(huì)銳角三角函數(shù)和解直角三角形的理論來源于生活，是實(shí)際生活的需要；另一方面，讓學(xué)生看到這些理論在解決實(shí)際問題中所起的作用。題目抽象出的幾何圖形中出現(xiàn)兩個(gè)銳角，一個(gè)是特殊角，另一個(gè)是非特殊角，依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本章的要求，緊扣教科書第73頁中例1、例2、例4的形式，在解決問題的過程中考查了特殊角的三角函數(shù)值，及銳角三角函數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用。

（一）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題

用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，是借助圖形將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。題目背景取自教科書第76頁例5，為了降低難度，題目直接給出了示意圖，在弄清“北偏東”、“南偏東”等確定方位的常用術(shù)語的前提下，學(xué)生能根據(jù)題意將實(shí)際情景中的條件抽象成數(shù)學(xué)已知條件（由題意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257），并根據(jù)實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題：求三角形中一條邊的長（求AB的長）。

（二）明確需要求解的直角三角形

運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)解決問題的先決條件是具備直角三角形這一基本圖形，解決實(shí)際問題時(shí)若不具備條件，需適當(dāng)添加輔助線完善圖形，幫助找到直角三角形.所以需要過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，構(gòu)造出AB邊所在的直角三角形ABH，如圖2。

圖2

（三）建立圖形中要素之間的關(guān)系

（四）應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題

此題具有一定的靈活性和綜合性，根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)元素，作垂線，建立解直角三角形的基礎(chǔ)圖形，數(shù)與形結(jié)合，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系在圖形中反映出來，根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)關(guān)系，建立解直角三角形的模型和方程模型以解決問題。

二、構(gòu)建函數(shù)模型，處理圖象信息問題

圖象信息問題是指依據(jù)圖象（表）來獲取信息，這類問題來源廣泛，形式靈活，突出考查考生收集、整理和加工信息的能力。一次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，《標(biāo)準(zhǔn)》的要求是能用一次函數(shù)解決簡單實(shí)際問題，考查學(xué)生能利用已知條件建立一次函數(shù)模型，與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合的能力，考查對(duì)數(shù)形結(jié)合及分類討論思想方法的理解。選取與學(xué)生生活密切聯(lián)系的命題背景，能讓學(xué)生強(qiáng)烈感受到利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的情感體驗(yàn)，所以利用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題是近年來中考命題的熱點(diǎn)。一次函數(shù)應(yīng)用問題的命題形式多樣，其中行程問題的圖象信息題是比較常見的一種。

例2（2021，天津，23）在“看圖說故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境。

圖3

已知學(xué)校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學(xué)校12 km，陳列館離學(xué)校20 km．李華從學(xué)校出發(fā)，勻速騎行0.6 h到達(dá)書店；在書店停留0.4 h后，勻速騎行0.5 h到達(dá)陳列館；在陳列館參觀學(xué)習(xí)一段時(shí)間，然后回學(xué)校；回學(xué)校途中，勻速騎行0.5 h后減速，繼續(xù)勻速騎行回到學(xué)校．給出的圖象反映了這個(gè)過程中李華離學(xué)校的距離y km與離開學(xué)校的時(shí)間x h之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ）填空：

①書店到陳列館的距離為_____km；

②李華在陳列館參觀學(xué)習(xí)的時(shí)間為_____h；

③李華從陳列館回學(xué)校途中，減速前的騎行速度為_____km/h；

④當(dāng)李華離學(xué)校的距離為4km時(shí)，他離開學(xué)校的時(shí)間為_____h．

（Ⅲ）當(dāng)0≤x≤1.5時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

此題源自人教版教科書八年級(jí)下冊(cè)第76頁例2，并融合了《標(biāo)準(zhǔn)》第123頁例78的設(shè)計(jì)思路和理念。題目以“看圖說故事”的形式呈現(xiàn)，取材于學(xué)生的日常生活，閱讀題目的過程中容易產(chǎn)生代入感，易于理解問題的大意，而且題目在設(shè)計(jì)上以填表、填空的形式完成，方便解答，可以使學(xué)生有更多的時(shí)間，集中精力思考數(shù)學(xué)問題。

（一）閱讀文字信息，理解題意

找出問題中相關(guān)變量之間關(guān)系的基礎(chǔ)是正確地理解問題情境。本題的信息量較大，單看圖象很難調(diào)取有效信息解決問題，細(xì)心讀題、審題是解題的前提：李華從學(xué)校到達(dá)書店；停留后，再到達(dá)陳列館；參觀一段時(shí)間后返校，且返回的途中有速度變化。在認(rèn)真閱讀文字信息的前提下，再結(jié)合圖象，才能比較容易明確時(shí)間與距離兩個(gè)變量的關(guān)系。

（二）觀察圖象特點(diǎn)，提取數(shù)據(jù)

1.觀察其中的坐標(biāo)軸，明確實(shí)際意義

觀察圖象時(shí)，首先要明確橫、縱坐標(biāo)軸表示的實(shí)際意義。此題橫軸表示時(shí)間，縱軸表示距離，觀察x軸可得由學(xué)校到書店用時(shí)0.6 h，在書店停留1-0.6=0.4（h），從書店到陳列館用時(shí)1.5-1=0.5（h），在陳列館參觀學(xué)習(xí)的時(shí)間為4.5-1.5=3（h）；由陳列館返回學(xué)校用時(shí)5.5-4.5=1（h）；觀察y軸容易得到學(xué)校距書店12 km，書店到陳列館的距離為20-12=8（km）的信息；通過對(duì)坐標(biāo)軸的觀察，與文字信息的呼應(yīng)，使學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)了對(duì)題意的理解，對(duì)應(yīng)圖表提供的數(shù)據(jù)，可得：當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＝10；當(dāng)x＝0.8時(shí)，y＝12；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝20；學(xué)生能比較輕松地回答第（Ⅰ）問以及第（Ⅱ）問中的①、②問題，題目的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的要求。

2.觀察圖象變化趨勢(shì)，明確變化規(guī)律

（三）依托圖象關(guān)鍵點(diǎn)的位置，尋找數(shù)量關(guān)系

將題目中描述的運(yùn)動(dòng)過程與圖象匹配起來，發(fā)揮從數(shù)和形兩個(gè)方面共同分析問題、解決問題的優(yōu)勢(shì)，是必要且可行的。如圖4，圖象中六條線段由重要的點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E相連，結(jié)合實(shí)際情形，圖中的點(diǎn)O、點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F坐標(biāo)分別是（0，0）、（0.6，12）、（1，12）、（1.5，20）、（4.5，20）、（5，6）、（5.5，0），不難看出，對(duì)于線段OA、線段BC，隨著自變量x的增大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y也增加，對(duì)于線段DC、線段EF，隨著自變量x的增大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y減小，利用得到的點(diǎn)坐標(biāo)建立一次函數(shù)模型，可求相應(yīng)線段的解析式；線段AB、線段CD，隨著自變量x的增大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y沒有改變，可用常數(shù)表示.因此根據(jù)實(shí)際意義，用坐標(biāo)確定每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置是解決第（Ⅲ）問的前提。

圖4

（四）理解問題中變量的含義，建立函數(shù)模型

限定了自變量的取值范圍，即鎖定了對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，當(dāng)0≤x≤1.5時(shí)，圖象中對(duì)應(yīng)了三條不同線段，所以要分區(qū)間段一一考慮。利用線段與線段之間連接點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可將0≤x≤1.5劃分為0≤x≤0.6，0.6＜x≤1，1＜x≤1.5三段，利用圖中的關(guān)鍵點(diǎn)O、點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，建立相應(yīng)函數(shù)模型，用分段函數(shù)的方式描述最終結(jié)果。當(dāng)0≤x≤0.6時(shí)，建立正比例函數(shù)模型，得線段OA的解析式y(tǒng)＝20x；當(dāng)1＜x≤1.5時(shí)，建立一次函數(shù)模型，組建二元一次方程組，得線段BC的解析式y(tǒng)=16x-4，當(dāng)0.6＜x≤1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不變，可用y＝12表示。

此題不僅考查建立模型的意識(shí)以及基礎(chǔ)運(yùn)算的能力，還考查對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，數(shù)與形相互融合，體現(xiàn)了函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的轉(zhuǎn)化對(duì)分析問題、解決問題的重要作用。

從上述分析可以感受到，對(duì)于一個(gè)問題可以從多種角度思考，圖形、圖象、表格、式子等都是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題可以借助的工具，使用它們的目的在于發(fā)現(xiàn)和厘清問題中量與量之間的關(guān)系，在建立模型后，還需注意結(jié)合問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。另外，這兩道題目均源于教科書上的例題，建議教師日常教學(xué)中圍繞課標(biāo)，立足教材，落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，以學(xué)生熟悉的、感興趣的話題為背景，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力。