洪槐斌，劉雯華，張進杰

（北京化工大學(xué) 機電工程學(xué)院診斷與自愈工程研究中心，北京 100029）

0 引言

往復(fù)式壓縮機是現(xiàn)代石油化工企業(yè)的常見設(shè)備，基于節(jié)能理念設(shè)計的往復(fù)式壓縮機氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)［1］在近年得到了越來越廣泛的應(yīng)用。在氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，連續(xù)的多級壓縮將氣體提升到額定壓力后排出，造成系統(tǒng)存在多個控制量，而各個控制量之間存在一定的耦合，影響系統(tǒng)的控制品質(zhì)，導(dǎo)致排氣壓力產(chǎn)生波動。對此類多變量耦合系統(tǒng)來說，常規(guī)的PID控制雖然結(jié)構(gòu)簡單，但是難以獲得滿意的控制效果。

內(nèi)模控制［2］是一種基于數(shù)學(xué)模型設(shè)計的控制策略，它在控制系統(tǒng)中引入數(shù)學(xué)模型，將被控對象、外部干擾和模型之差反饋給系統(tǒng)輸入［3］。當(dāng)存在誤差或者干擾時，濾波器能抑制干擾或者模型失配引起的實際輸出與模型輸出之差，使得系統(tǒng)具有較好的設(shè)定值跟蹤性能，又有較好的抗干擾性能和魯棒性。文獻［4］指出內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)可以轉(zhuǎn)換為PID形式的標(biāo)準(zhǔn)反饋控制結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成內(nèi)模PID控制器，由于內(nèi)模PID控制器只有一個與濾波器有關(guān)的調(diào)節(jié)參數(shù)，該參數(shù)的選取直接影響到系統(tǒng)的閉環(huán)時間常數(shù)和系統(tǒng)的魯棒性。文獻［5］根據(jù)解耦理論通過串級前饋時滯補償器將原系統(tǒng)解耦為多個單變量小時滯系統(tǒng)，運用了麥克勞林級數(shù)展開式，通過相應(yīng)項系數(shù)的比對得到了傳統(tǒng) PID 控制器。文獻［6-7］將內(nèi)?？刂坪徒怦羁刂平Y(jié)合應(yīng)用于空調(diào)和燃料電池領(lǐng)域，均取得了較好的控制效果。近年來，內(nèi)模控制在非線性控制領(lǐng)域也發(fā)揮了重要作用，文獻［8］結(jié)合經(jīng)典的雙環(huán)控制和非線性內(nèi)?？刂频膬?yōu)點，實現(xiàn)了永磁同步電機的寬調(diào)速范圍的速度跟蹤和非線性擾動抑制?？梢姼鞣N經(jīng)過改良的內(nèi)?？刂品椒ㄒ呀?jīng)在工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域越來越被重視［9-10］。

1 氣量調(diào)節(jié)原理及過程模型

氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)通過部分行程頂開進氣閥的方式調(diào)節(jié)被壓縮的氣體量而達到降低能耗的目的。本文研究的氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)主體為一臺 2D 型雙作用往復(fù)壓縮機，如圖1所示。上游氣體經(jīng)一級氣缸進氣閥進入一級壓縮腔被壓縮后排出暫存至一級排氣緩沖罐，而后經(jīng)二級氣缸進氣閥進入二級壓縮缸繼續(xù)被壓縮，最后排出到二級排氣緩沖罐暫存待下游設(shè)備使用。氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)通過人為調(diào)節(jié)進氣閥開啟與關(guān)閉的時間而改變壓縮缸內(nèi)的氣體量，被壓縮氣體越少，機組做的功越少，所消耗的電能也就越少。

圖1 空氣壓縮機實驗臺Fig.1 Air compressor test bench

根據(jù)文獻［11］中往復(fù)壓縮機的數(shù)學(xué)模型，可以得到各級進氣量的排氣量表達式：

式中 Pi——緩沖罐壓力；

Ti——緩沖罐溫度；

Vi——緩沖罐體積；

Psi——名義進氣壓力；

Rm——通用氣體常數(shù)；

Tsi——進氣溫度；

T——壓縮機循環(huán)周期；

Vhi——氣缸行程容積；

λPi——壓力系數(shù)；

λTi——溫度系數(shù)；

λli——泄露系數(shù)；

αi——容積系數(shù)；

mi——膨脹指數(shù)；

ηi——負荷值；

Cf——排氣系數(shù)；

Ao——出口閥門截面；

Ci——各級氣體系數(shù)（下標(biāo)i=1表示一級，i=2表示二級）。

查閱壓縮機設(shè)計手冊，將實驗臺壓縮機的設(shè)計參數(shù)和其他相關(guān)參數(shù)代入式（1）和（2）可得如下壓縮機排氣壓力和負荷關(guān)系的微分方程組：

式中 u1，u2——一級壓力設(shè)定值和二級壓力設(shè)定值；

y1，y2——一級排氣壓力與二級排氣壓力；

ξ——二級排氣緩沖罐閥門開度。

通過對系統(tǒng)進行關(guān)聯(lián)性分析可知，該系統(tǒng)存在較大的耦合性，一級和二級的某一個設(shè)定值變化會對彼此產(chǎn)生影響。通過系統(tǒng)辨識的方法，將閥門開度ξ設(shè)為0.11可以得到系統(tǒng)的過程傳遞函數(shù)為：

2 內(nèi)模解耦 PID 控制器設(shè)計

圖2示出一個經(jīng)典的反饋控制結(jié)構(gòu)，其中Gp（s）為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，Gc（s）為控制器，r為系統(tǒng)實際輸出。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為：

圖2 單回路反饋控制框Fig.2 Block diagram of single loop feedback control

1982年Garcia和Morari完整提出并發(fā)展了圖3示出的內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)。Gm（s）為被控過程數(shù)學(xué)模型，即內(nèi)部模型。Q（s）為內(nèi)?？刂破?，D（s）表示外部擾動對輸出的影響。r、y和d分別為系統(tǒng)的輸入、輸出和干擾信號?？刂颇繕?biāo)是保證y逼近設(shè)定值r。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)?？刂瓶騀ig.3 Block diagram of Standard internal model control

為了求取輸出y和輸入r之間的傳遞函數(shù)，可以將圖3等價變換為圖4所示的經(jīng)典反饋控制結(jié)構(gòu)，圖中虛線部分為反饋控制器Gc（s）。

圖4 等效反饋控制系統(tǒng)框Fig.4 Block diagram of equivalent feedback control system

圖4示出的輸入輸出關(guān)系為：

將式（6）代入式（7）得：

由此可得系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)為：

假設(shè)模型是精確的，即 Gp（s）=Gm（s），則有輸出：

如果選擇：

以上說明當(dāng)內(nèi)模控制器選擇為1/Gm（s）時，控制系統(tǒng)輸出y嚴(yán)格跟蹤系統(tǒng)輸入r。實際控制系統(tǒng)很難得到精確的數(shù)學(xué)模型，而且有些情況下1/Gm（s）數(shù)學(xué)上是不存在的，所以通常增加相應(yīng)的濾波環(huán)節(jié)構(gòu)成實際的內(nèi)?？刂破鳎?2-15］，具體步驟是先將Gm（s）分解為：

其中，Gm+（s）為模型中的純滯后環(huán)節(jié)和非最小相位部分，Gm?（s）為模型中的最小相位部分。然后在最小相位部分1/Gm?（s）增加濾波器保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，定義內(nèi)模控制器為：

濾波器Gf（s）通常選用如上形式。其中λ為唯一需要調(diào)節(jié)的濾波器參數(shù)，λ的選取影響著系統(tǒng)的閉環(huán)相應(yīng)速度和系統(tǒng)穩(wěn)定性。λ越小系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)速度越快，但穩(wěn)定性降低；λ越大系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高，但閉環(huán)響應(yīng)速度變差。n為濾波器階次，為了實現(xiàn)傳遞函數(shù)的嚴(yán)格正則性，n需要與系統(tǒng)的階次保持一致。

由式（6）、（13）和（14）可以得到圖 4 結(jié)構(gòu)所示的控制器表達式：

到此一個常規(guī)的內(nèi)?？刂破饕呀?jīng)初步搭建完成。通過對控制器Gc（s）進行數(shù)學(xué)變換變成PID控制器的形式，將內(nèi)?？刂婆cPID控制結(jié)合構(gòu)成內(nèi)模PID控制器。

同大多數(shù)穩(wěn)定過程一樣，往復(fù)壓縮機氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)也能用簡單的一階純滯后模型來表示，其數(shù)學(xué)模型形式為：

式中參數(shù)km，τm，Lm分別表示過程增益、時間常數(shù)和時滯時間。

濾波器階數(shù)n與系統(tǒng)階數(shù)保持一致，即n=1。于是適用一階純滯后系統(tǒng)的內(nèi)模控制器和具有反饋形式的控制器可以表示為：

若PID控制器取下式結(jié)構(gòu)形式：

其中，KP，Ki和Kd分別為比例、積分和微分常數(shù)。

再將式（22）進行數(shù)學(xué)變換得到具有PID控制器結(jié)構(gòu)形式表達式：

然后可以得到PID控制器的各項參數(shù)：

可以看出，控制器僅含有一個可調(diào)參數(shù)λ，該參數(shù)的選取直接影響到系統(tǒng)的動態(tài)性能和魯棒性。

解耦控制是通過設(shè)計解耦補償器，將一個具有耦合特性的多輸入多輸出的系統(tǒng)解耦成多個獨立的單輸入單輸出系統(tǒng)。前饋補償解耦是多變量解耦控制中最早使用的一種解耦方法，該方法結(jié)構(gòu)簡單且易于實現(xiàn)，因此得到廣泛的應(yīng)用。圖5表示一個二輸入二輸出系統(tǒng)的前饋補償解耦控制結(jié)構(gòu)。

圖5 前饋補償解耦控制框Fig.5 Block diagram of feedforward compensation decoupling control

若要實現(xiàn)對r1與r2、y1與y2之間的解耦，根據(jù)前饋補償原理可得：

由此解得前饋補償解耦器的傳遞函數(shù)［12］為：

3 數(shù)值仿真

為驗證本研究方法的有效性，以二級往復(fù)壓縮機氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)為研究對象，用MATLAB工具進行仿真研究，由第2節(jié)得到的氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型：

若模型能夠精確地描述受控過程，則有Gp（s）=Gm（s）。在此模型基礎(chǔ)上按照第 3 節(jié)所述方法進行內(nèi)模PID設(shè)計：

步驟1：前饋補償解耦器設(shè)計。

步驟2：內(nèi)模 PID 控制器設(shè)計。

仿照往復(fù)式壓縮機氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)常規(guī)的啟動流程，系統(tǒng)將從機組停機狀態(tài)下啟動，在各級排氣壓力穩(wěn)定后再投用氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)。將一級排氣壓力初始值設(shè)定為120 kPa，二級排氣壓力初始值設(shè)定為220 kPa。根據(jù)圖5控制結(jié)構(gòu)對模型進行仿真研究，由式（24）可得IMC-PID的各項參數(shù)見表1。

表1 IMC-PID控制器參數(shù)Tab.1 IMC-PID controller parameters

用上述控制器參數(shù)對各級壓力進行階躍響應(yīng)測試及抗干擾測試，并和常規(guī)的PID控制方法進行對比。通過經(jīng)驗法得出的常規(guī)PID控制器最優(yōu)參數(shù)見表2。

表2 常規(guī)PID控制器參數(shù)Tab.2 Conventional PID controller parameters

3.1 排氣壓力階躍響應(yīng)測試

投用氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)，在機組各級工作負荷及排氣壓力均處于穩(wěn)定狀態(tài)后，依次改變一級和二級排氣壓力的設(shè)定值，對系統(tǒng)進行階躍響應(yīng)測試。對比系統(tǒng)在前饋解耦補償內(nèi)模PID控制下和常規(guī)PID控制下的控制效果。

第1步：改變一級排氣壓力設(shè)定值，由圖6可以看出，在內(nèi)模解耦PID控制作用下，一級排氣壓力能迅速達到設(shè)定值且無超調(diào)量，控制系統(tǒng)具備較好的調(diào)節(jié)快速性。而且二級排氣壓力處于穩(wěn)定狀態(tài)，一級排氣壓力的改變沒有對二級排氣壓力造成干擾，系統(tǒng)具備較好的解耦性。相比較地，系統(tǒng)在常規(guī)PID控制下，一級排氣壓力產(chǎn)生2%的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間較長；一級排氣壓力的改變會對二級排氣壓力產(chǎn)生影響，系統(tǒng)未完全解耦。

圖6 一級階躍響應(yīng)曲線Fig.6 First order step response curve

第2步：改變二級排氣壓力設(shè)定值。由圖7可以看出，相比較常規(guī)PID控制策略，系統(tǒng)在前饋解耦補償內(nèi)模PID控制作用下調(diào)節(jié)速度更為快速，主控變量二級排氣壓力迅速達到設(shè)定值且無超調(diào)量，對一級排氣壓力無耦合干擾。而系統(tǒng)在常規(guī)PID控制作用下調(diào)節(jié)時間更長且一級排氣壓力產(chǎn)生了波動?？梢妰?nèi)模解耦PID控制比常規(guī)PID控制具有更好的快速性與穩(wěn)定性。

圖7 二級階躍響應(yīng)曲線Fig.7 Second order step response curve

兩種控制方法的時域性能指標(biāo)對比見表3?？梢钥闯鰞?nèi)模解耦PID控制方法的各項指標(biāo)都優(yōu)于常規(guī)PID控制。

表3 時域性能指標(biāo)分析Tab.3 Time domain performance index analysis

3.2 排氣壓力魯棒性測試

在機組工作負荷與排氣壓力都處于穩(wěn)定狀態(tài)下，模擬排氣緩沖罐壓力突變的情況，分別給一級排氣壓力和二級排氣壓力施加一個20 kPa的階躍信號。

第1步：在二級排氣壓力設(shè)定值保持不變的情況下給一級排氣壓力施加20 kPa的階躍信號。由圖8可以看出，在內(nèi)模解耦PID控制作用下，一級排氣壓力在干擾作用過后能迅速平穩(wěn)地回歸設(shè)定值，且二級排氣壓力無波動產(chǎn)生。相對地，系統(tǒng)在常規(guī)PID控制作用下的自動調(diào)節(jié)能力較弱，且無法消除對其他控制變量的耦合作用。

圖8 一級魯棒性測試曲線Fig.8 First order robustness test curve

第2步：接下來在一級排氣壓力不變的情況下給二級排氣壓力施加20 kPa的階躍信號。由圖9可以看出，和一級排氣壓力抗干擾測試結(jié)果類似，系統(tǒng)在內(nèi)模解耦PID控制作用下，二級排氣壓力迅速回歸設(shè)定值，一級排氣壓力無波動產(chǎn)生。而常規(guī)PID控制器則出現(xiàn)了調(diào)節(jié)速度慢、耦合等情況。

圖9 二級魯棒性測試曲線Fig.9 Second order robustness test curve

4 結(jié)論

針對往復(fù)式壓縮機氣量調(diào)節(jié)系統(tǒng)多變量、強耦合等特點，本文探索了一種有效的內(nèi)模解耦PID 控制器。相較其他控制方法，該方法具有以下優(yōu)勢：

（1）具有更優(yōu)的設(shè)定值跟蹤性能，快速達到系統(tǒng)的設(shè)定值且無超調(diào)量產(chǎn)生；

（2）具有更強的魯棒性，在壓力產(chǎn)生波動后，系統(tǒng)能快速調(diào)節(jié)干擾所在回路的壓力值，保證系統(tǒng)平穩(wěn)地運行；

（3）具有較好的解耦性，將原先的耦合系統(tǒng)分解為多個獨立的子系統(tǒng)，便于調(diào)控。