白瑞鋒，肖景林

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

0 引言

早期實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，量子阱在阱的生長(zhǎng)方向（z軸方向）比x軸方向和y軸方向的受限勢(shì)強(qiáng)得多［1-2］，量子阱的生長(zhǎng)方向（z軸方向）是強(qiáng)受限勢(shì).量子阱的生長(zhǎng)方向（z軸方向）的強(qiáng)受限勢(shì)問(wèn)題在初期研究中沒(méi)有涉及.近些年有些學(xué)者［2］對(duì)量子阱的生長(zhǎng)方向（z軸）存在強(qiáng)受限勢(shì)的量子阱的性質(zhì)進(jìn)行了研究.實(shí)驗(yàn)要求量子阱的生長(zhǎng)方向（z軸方向）肯定存在強(qiáng)受限勢(shì)，這一特性是在實(shí)驗(yàn)中最先發(fā)現(xiàn)的.近年來(lái)理論工作者研究量子阱生長(zhǎng)方向的強(qiáng)受限勢(shì)的性質(zhì)，通過(guò)模擬計(jì)算和推導(dǎo)的理論方法尋找強(qiáng)受限勢(shì)，理論工作者終于找到了2種量子阱生長(zhǎng)方向的強(qiáng)受限勢(shì)的形式，其一是非對(duì)稱高斯強(qiáng)受限勢(shì)，這一量子阱稱為非對(duì)稱高斯勢(shì)量子阱［3-4］，另一種是非對(duì)稱半指數(shù)強(qiáng)受限勢(shì)，這一量子阱稱為非對(duì)稱半指數(shù)量子阱［4-6］.在垂直于量子阱的方向存在一種受限勢(shì)比量子阱的生長(zhǎng)方向的受限勢(shì)弱得多，是實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的，叫作各向異性拋物勢(shì)，實(shí)驗(yàn)上早已發(fā)現(xiàn)是最接近晶體的真實(shí)勢(shì).筆者采用的理論模型是在量子阱的生長(zhǎng)方向存在非對(duì)稱高斯強(qiáng)受限勢(shì)而在垂直于阱的生長(zhǎng)方向存在各向異性的拋物一般受限勢(shì)，研究這一量子阱的性質(zhì).最近筆者［7］研究了非對(duì)稱半指數(shù)量子阱中弱耦合極化子的基態(tài)能量，采用線性組合算符和幺正變換結(jié)合的方法，得到GaAs極化子的基態(tài)能量隨受限勢(shì)的2個(gè)正參數(shù)的變化關(guān)系，計(jì)算結(jié)果表明，半指數(shù)受限勢(shì)U和基態(tài)能量E0隨參數(shù)U0的增加而增大，隨參數(shù)σ的增加而減小.LIANG等［8］利用Pekar變分的強(qiáng)耦合方法導(dǎo)出了存在非對(duì)稱高斯勢(shì)量子阱的極化子的基態(tài)能量，第一激發(fā)態(tài)能量和躍遷頻率的溫度特性.并采用量子統(tǒng)計(jì)理論方法計(jì)算出極化子的態(tài)能和躍遷頻率與溫度和電子-聲子耦合強(qiáng)度之間的變化關(guān)系.發(fā)現(xiàn)當(dāng)溫度增加時(shí)，極化子的態(tài)能和躍遷頻率增大.CAI等［9］利用線性組合算符和L.L.P.幺正變換方法，在理論上探索庫(kù)侖雜質(zhì)勢(shì)和非對(duì)稱拋物受限勢(shì)對(duì)非對(duì)稱半指數(shù)量子阱極化子能級(jí)特性的影響.數(shù)值結(jié)果表明，找到在非對(duì)稱半指數(shù)量子阱中5種調(diào)節(jié)能級(jí)結(jié)構(gòu)方式：變化庫(kù)侖雜質(zhì)勢(shì)強(qiáng)度；非對(duì)稱拋物受限勢(shì)x和y方向有效受限強(qiáng)度和2個(gè)正參數(shù).孫丙西等［10］根據(jù)線性組合算符和2次幺正變換方法研究了非對(duì)稱拋物受限勢(shì)對(duì)非對(duì)稱半指數(shù)量子阱中弱耦合極化子的基態(tài)結(jié)合能的影響，導(dǎo)出了GaAs非對(duì)稱半指數(shù)阱中弱耦合極化子的基態(tài)結(jié)合能隨x和y方向的非對(duì)稱拋物受限勢(shì)的受限強(qiáng)度和非對(duì)稱半指數(shù)受限勢(shì)的2個(gè)正參數(shù)的依賴關(guān)系.白瑞鋒等［11］采用同樣的方法，得出弱耦合極化子的振動(dòng)頻率λ隨x軸和y軸方向的非對(duì)稱拋物受限勢(shì)的受限長(zhǎng)度lx和ly的變化關(guān)系，振動(dòng)頻率λ隨非對(duì)稱半指數(shù)受限勢(shì)的2個(gè)參數(shù)U0和σ的變化關(guān)系.通過(guò)上述的研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)模擬計(jì)算和理論推導(dǎo)，從理論方法上找到量子阱生長(zhǎng)方向的強(qiáng)受限勢(shì)，還可以找到各向異性的拋物受限勢(shì).自從HUYBRECHTS［12］對(duì)光學(xué)極化子的激發(fā)態(tài)進(jìn)行研究之后，線性組合算符的方法就在學(xué)者們的理論研究中得到了廣泛的應(yīng)用，此方法能夠?qū)θ躐詈蠘O化子［13］以及強(qiáng)耦合極化子［14］進(jìn)行研究，而且這也是唯一一種能夠?qū)O化子振動(dòng)頻率［5］進(jìn)行計(jì)算的方法.第一性原理方法請(qǐng)見(jiàn)文獻(xiàn)［15］.

然而，關(guān)于非對(duì)稱高斯勢(shì)量子阱中強(qiáng)耦合極化子的平均聲子數(shù)性質(zhì)的研究甚少，筆者用線性組合算符方法，在非對(duì)稱高斯勢(shì)量子阱中，研究強(qiáng)耦合極化子的平均聲子數(shù)隨x方向和y方向各向異性拋物受限勢(shì)的受限強(qiáng)度、高斯勢(shì)阱的范圍和勢(shì)阱的高度的變化關(guān)系.

1 理論模型和計(jì)算

以RbCl晶體為例，在非對(duì)稱高斯勢(shì)量子阱中，x軸方向和y軸方向各向異性拋物勢(shì)，電子與體縱光學(xué)（LO）聲子相互作用.電子-聲子相互作用系統(tǒng)的哈密頓量可以寫(xiě)成［13，16］

其中

m表示電子的帶質(zhì)量，a+q(aq)是體縱聲子的產(chǎn)生（淹沒(méi)）算符. p 和r 是電子的動(dòng)量和位置矢量.U(z)是非對(duì)稱高斯勢(shì)［13］，z軸是量子阱的生長(zhǎng)方向，R和V0分別表示高斯勢(shì)阱的范圍和勢(shì)阱的高度.方程（1）中的Vq和Vq中的α表示為

其中，α是電子-聲子的耦合強(qiáng)度.V為晶體的體積，ωLO為體縱聲子頻率.方程（1）中的最后2項(xiàng)分別表示x方向和y方向各向異性的拋物受限勢(shì)，其中，ωx和ωy表示受限強(qiáng)度.對(duì)哈密頓量（1）引進(jìn)線性組合算符

其中，fq(fq*) 是變分函數(shù).

則哈密頓量變?yōu)?/p>

電子的基態(tài)波函數(shù)為

得出強(qiáng)耦合極化子的振動(dòng)頻率滿足的方程為

極化子的平均聲子數(shù)為

2 數(shù)值結(jié)果與討論

考慮RbCl非對(duì)稱高斯受限勢(shì)量子阱中，電子在垂直于阱的生長(zhǎng)方向x方向和y方向的勢(shì)是各向異性拋物勢(shì)，以RbCl 晶體為例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，所采用的實(shí)驗(yàn)參量是?ωLO= 22.317 meV ，m= 0.432m0和α= 3.81［17］其計(jì)算結(jié)果表示在圖1和圖2中.

圖1展示了當(dāng)受限強(qiáng)度ωx= 2.4 × 1013Hz 和ωy= 6.0 × 1013Hz 時(shí)，平均聲子數(shù)N隨高斯勢(shì)阱的范圍R和勢(shì)阱的高度V0的變化關(guān)系.圖1（a）表示N隨高斯勢(shì)阱的范圍R變化，圖1（b）表示N隨勢(shì)阱的高度V0的變化.圖1（a）中的點(diǎn)畫(huà)線分別表示勢(shì)阱的高度V0= 1.0 meV ，2.0 meV 和3.0 meV ，圖1（b）中的點(diǎn)畫(huà)線分別表示高斯勢(shì)阱的范圍R= 1.0 nm ，2.0 nm和3.0 nm.由圖1（a）和圖1（b）可以明顯看出強(qiáng)耦合極化子的平均聲子數(shù)是勢(shì)阱高度V0的增函數(shù)，而它是高斯勢(shì)阱范圍R的減函數(shù).這一現(xiàn)象產(chǎn)生原因是阱的生長(zhǎng)方向高斯強(qiáng)受限勢(shì)，隨著高斯強(qiáng)受限勢(shì)高度V0的增加，高斯強(qiáng)受限勢(shì)增大，這會(huì)導(dǎo)致極化子的平均聲子數(shù)增多.當(dāng)高斯勢(shì)阱的范圍R增大卻發(fā)生相反的結(jié)果，其原因是隨著高斯勢(shì)阱范圍R的減少，高斯強(qiáng)受限勢(shì)增大，使極化子的平均聲子數(shù)增多.

圖1 極化子的平均聲子數(shù)N 隨高斯勢(shì)阱的范圍R 和勢(shì)阱的高度V0的變化關(guān)系Fig. 1 Variation of mean phonon number N of polaron with the range R of the Gaussian potential well and height V0 of the potential well

圖2 研究了x軸方向和y軸方向的受限強(qiáng)度對(duì)極化子的平均聲子數(shù)的影響，取V0= 6.0 meV 和R= 2.4 nm，在圖2（a）中極化子的平均聲子數(shù)N作為各向異性拋物受限勢(shì)的x方向的受限強(qiáng)度ωx的函數(shù)，對(duì)于3 個(gè)不同各向異性拋物受限勢(shì)的y方向的受限強(qiáng)度ωy= 1.0 × 1013Hz，ωy= 2.0 × 1013Hz 和ωy= 3.0 × 1013Hz ，在圖2（b）中極化子的平均聲子數(shù)N作為各向異性拋物受限勢(shì)的y方向的受限強(qiáng)度ωy的函數(shù)，對(duì)于3 種不同各向異性拋物受限勢(shì)的x方向的受限強(qiáng)度ωx= 1.0 × 1013Hz ，ωx= 2.0 × 1013Hz 和ωx= 3.0 × 1013Hz .由圖2（a）和圖2（b）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x方向和y方向的受限強(qiáng)度增大時(shí)，非對(duì)稱高斯量子阱中強(qiáng)耦合雜質(zhì)極化子的平均聲子數(shù)增加，是因?yàn)槭芟迯?qiáng)度的增大，導(dǎo)致受限勢(shì)寬度的減小，粒子運(yùn)動(dòng)范圍縮少，平均聲子數(shù)增大.

圖2 極化子的平均聲子數(shù)N 隨x方向和y方向各向異性拋物受限勢(shì)的受限強(qiáng)度ωx和ωy的變化關(guān)系Fig. 2 Variation of mean phonon number N of polaron with confinement strengths ωx and ωy of Anisotropic parabolic confinement potential in x and y directions

3 結(jié)論

在本研究工作中，研究了非對(duì)稱高斯強(qiáng)受限勢(shì)和各向異性拋物受限勢(shì)對(duì)非對(duì)稱高斯受限勢(shì)量子阱中強(qiáng)耦合極化子性質(zhì)的影響.詳細(xì)分析了高斯量子阱中強(qiáng)耦合極化子的平均聲子數(shù)隨著勢(shì)阱的高度、高斯勢(shì)阱的范圍和x方向與y方向的受限強(qiáng)度的變化關(guān)系.數(shù)值計(jì)算結(jié)果展示，極化子的平均聲子數(shù)是高斯強(qiáng)受限勢(shì)勢(shì)阱高度和x方向與y方向的受限強(qiáng)度的增函數(shù)，而它是高斯勢(shì)阱的范圍的減函數(shù).