■錢德春

一、問題提出

最近看到一段關于“分母有理化”的教學短視頻，內容是如何將分母有理化。大致過程如下：

二、方法探究

分母有理化有沒有最基本、最一般的方法呢？我們知道，分母有理化的復雜程度由分母中項的個數(shù)決定，解題的關鍵是如何尋找分母的有理化因式。如（a為正整數(shù)）分母只含有一項，其分母有理化比較簡單。這里重點研究形如這3類代數(shù)式的分母有理化。

三、談“技”論“道”

與短視頻中授課教師的方法相比，上述方法雖然比較煩瑣，但更具一般性。我們將特殊的技能、技巧稱為“技”，將事物一般性、本質性的規(guī)律、方法稱為“道”。那么“技”和“道”究竟是什么關系呢？顯然，“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表現(xiàn)。數(shù)學中的“道”就是數(shù)學的本質、基本原理、通性通法。數(shù)學教學也好，解題也罷，一定離不開“技”，但沒有“道”，“技”就成了無本之源。

1.學在悟“道”。

數(shù)學之“道”的形成是一個生長過程，需要教師的引導與點撥，需要學習者的領悟與建構、不斷完善與升華。因此，數(shù)學學習的關鍵在于悟“道”。

（1）“道”的形成是一個生長過程。

數(shù)學之“道”是生長出來的，“道”的形成過程是學習與理解、運用與體驗的生長過程，是經(jīng)歷從低級到高級、從特殊到一般、從具體到抽象的過程。如在“分母有理化”問題的學習中，學生必須弄清這樣幾個問題：分母為什么會出現(xiàn)根式、什么叫作分母有理化、為什么要分母有理化、分母如何有理化。在這個過程中，學生不斷增長數(shù)學知識、深化數(shù)學理解、掌握數(shù)學方法、感悟數(shù)學本質，從而明晰數(shù)學之“道”。

①分母為什么會出現(xiàn)根式？

分母出現(xiàn)二次根式的主要原因是除法運算中除數(shù)含有二次根式。如八下教材P155：已知平行四邊形的面積為，一邊的長為，求這邊上的高。根據(jù)面積公式得到所求邊上的高為，這就出現(xiàn)了形如的形式，其中分母含有二次根式。又如：“△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=15°，求△ABC的面積?！庇蟆鰽BC的面積，只要求BC的長，由于AC長及∠A=15°已知，關鍵是如何利用15°的條件，由此聯(lián)想到30°，構造特殊三角形：在AC上取一點D，使∠BDC=30°（如圖 1），設BC=x，則BD=AD=2x，CD=x，所以AC=2x+x=(2+)x。因為AC=6，所以(2+，此時出現(xiàn)了形如的式子。

②什么叫作分母有理化？

③為什么要分母有理化？

這是源于數(shù)學“最簡”原則。簡潔是數(shù)學的特征之一，也是現(xiàn)實的需要。數(shù)學總是追求“最簡”，如思路與方法、運算過程、形式與結果的“最簡”；如能用簡便方法的不用復雜方法，能用整式表示的不用分式表示，能化為積的形式的不用除法表示。就分母含有二次根式的運算而言，乘法運算比除法運算簡便，無理數(shù)除以有理數(shù)比一個數(shù)除以無理數(shù)運算更方便。分母有理化（即化去分母中的二次根式）后，數(shù)學運算及實際問題中取近似值會更加方便。如求近似值，如果直接計算則要將與的近似值代入計算，此時分母出現(xiàn)小數(shù)，計算會比較復雜。但分母有理化后結果為，因此，只要知道的近似值即可。再如求的近似值，如果取 3≈1.732，那么這樣的計算也比較煩瑣，而分母有理化后結果為，其近似值為6×（2-1.732），轉化為求兩數(shù)積的運算，過程就顯得簡便。

④分母如何有理化？

至于分母超過3項的二次根式和（差）、根號內含字母的分母有理化方法，見本文“二、方法探究”。

（2）“道”需要教師的點撥與引導。

2011年版《義務教育數(shù)學課程標準》指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者?！边@說明教學中教師的啟發(fā)、引導不可或缺。教師要設計恰當?shù)臄?shù)學情境，讓學生感受為什么分母出現(xiàn)二次根式，為什么要化去分母中的根式，什么叫作分母有理化。教師通過具體案例的教學，讓學生思考分母有理化的關鍵是什么、如何分母有理化。同時，在探究過程中自然會出現(xiàn)分母為單個根式、兩個二次根式的和與差、三個根式的和與差如何處理的問題。教師引導學生思考：這樣處理的思維源頭在哪里？其中蘊含了哪些數(shù)學思想方法？從而達到啟思與點撥的目的。

（3）“道”需要學習者體會與感悟。

老子言：“道可道，非常道。名可名，非常名。”意即能夠言明的就不成為“道”，可見“道”需要體驗與感悟。學生“掌握知識，既不像照相機、錄音機那樣僅僅對外界信息消極地接受和儲存，也不像容器那樣被動地‘填裝’，而是一種能動的認識過程”。教師的啟發(fā)、引導與點撥，只有通過學習者主動積極的思考、領悟、建構、反思，才能轉化為學生自己的知識、智慧和能力。

比如，學生可結合實例自主思考：分母有理化的本質就是追求形式與結果的“最簡”，基本方法是轉化——將“除法運算”轉化為“乘法運算”；理論依據(jù)是分數(shù)（式）的基本性質；被開方數(shù)含字母的分母有理化可類比具體數(shù)的分母有理化。在掌握這個數(shù)學本質的前提下，適當歸納、梳理分母有理化的特點、類型，從而建構相關知識、方法體系，體驗類比、轉化、特殊到一般等數(shù)學思想方法。這正是數(shù)學之“道”。悟“道”的過程就是學生主動建構、自主感悟、獨立思考的過程，而不是他人的給予、灌輸和牽引。正如《學記》所言：“君子之教，喻也：道而弗牽，強而弗抑，開而弗達?！?/p>

（4）“道”需要自我的反思與完善。

從哲學角度來說，數(shù)學之“道”是數(shù)學內在的發(fā)展規(guī)律與人類對數(shù)學的認知規(guī)律。數(shù)學總是在發(fā)現(xiàn)矛盾、遭遇危機后，經(jīng)過數(shù)學家的艱苦努力，從而克服危機，取得了新的突破，得到新的發(fā)展，正所謂“逢山開路、遇水架橋”，這就是數(shù)學的發(fā)展之“道”。

以數(shù)系的發(fā)展為例。遠古時代人們在分配物品的過程中出現(xiàn)了分數(shù)，小數(shù)由此誕生了；人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)的“不可公度性”，無理數(shù)應運而生，從而出現(xiàn)實數(shù)系；“實數(shù)時代”默認負數(shù)不能開平方，但出現(xiàn)了負數(shù)開方的問題，人們將 -1記為i，稱為虛數(shù)，復平面的發(fā)明給復數(shù)以幾何解釋，使虛數(shù)有了現(xiàn)實意義，從而使數(shù)學向前邁了一大步。這就是不斷反思、不斷完善的過程。

再比如，幾何圖形的研究一般按照“定義→表示→分類→性質（判定）”的“套路”進行。這個“套路”的形成是一個循序漸進、逐步完善的過程。在幾何學習初始階段，如在七年級“直線、射線、線段”和“角”“相交線與平行線”的學習中，教師引導學生初步感知幾何研究的“套路”，積累幾何研究活動經(jīng)驗；在八年級“三角形”“四邊形”的學習中借鑒七年級的幾何研究活動經(jīng)驗，并將這種經(jīng)驗提升為一種策略；到了九年級“圓”和“相似三角形”的學習時，學生通過自主反思，不斷完善這種策略，使之升華為幾何研究的“套路”。

這些數(shù)學發(fā)展的規(guī)律、問題研究的方法與路徑，有時教材難以直接呈現(xiàn)，也難以通過一兩個具體問題的解決加以歸納，需要學習者在學習過程中慢慢思考、感悟，經(jīng)歷從特殊到一般、從低級到高級的過程，逐步認識、理解與完善數(shù)學發(fā)展規(guī)律，并升華為數(shù)學認識的一種策略、方法和觀念，從而達到積“小技”為“大能”、變“小道”為“大道”的目的，為更高層次的數(shù)學學習奠定基礎，這才是數(shù)學的學習之“道”。

2.“技”由“道”生。

“熟能生巧”或許有一定道理，卻是數(shù)學學習的大忌。不少學生平時測試成績較好，但在比較正式的考試中卻成績平平。這是什么原因呢？由于平時有的測試中原創(chuàng)題較少，大多是教師講過或反復訓練過的“熟題”，學生不需動腦筋，憑記憶就能得高分。但中考、高考等測試中的試題以原創(chuàng)題為主，試題的背景、形式、結構新穎，不少學生面對新題型、新面孔只能望“題”興嘆。

因此，學習的重點在于悟“道”，掌握了數(shù)學基本原理、基本方法等最本質的東西之后，“技”自然而生，就能應對形形色色的數(shù)學問題。

我們可以按照第3種類型的方法進行計算，但仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，分母可以變形為即因 此 ，只 要 將分別分母有理化即可（具體過程略）。

這兩個例子說明：悟出分母有理化之“道”，任你問題千變萬化，都能以“道”化之；觀察代數(shù)式的不同特點，還可以根據(jù)具體問題思考不同的分母有理化策略和技能，由“道”生“技”。

由此可見，“技”不足“道”，“技”由“道”生。數(shù)學學習的根本任務在于悟“道”，即經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，感悟、思考、歸納數(shù)學的基本原理、通性通法。只有這樣，在面對具體問題時才能以不變應萬變，達到“大道于心”的境界。