劉青松

近幾十年以來,時(shí)滯控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)一直是一個(gè)比較活躍的研究課題,涌現(xiàn)了大量的研究成果[1?6].鎮(zhèn)定和穩(wěn)定性是時(shí)滯控制系統(tǒng)的基本設(shè)計(jì)問題,得到了深入的研究[7?9].鎮(zhèn)定問題近年來得到了眾多學(xué)者的重視.例如,文獻(xiàn)[10]利用序貫預(yù)估器方法研究具有時(shí)變時(shí)滯的控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.針對(duì)具有輸入時(shí)滯的關(guān)聯(lián)系統(tǒng),文獻(xiàn)[11]利用基于分布式預(yù)估器的控制器解決了其鎮(zhèn)定問題.文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]分別利用時(shí)滯相關(guān)脈沖控制方法和連續(xù)預(yù)估器方法研究(具有狀態(tài)、輸入和輸出時(shí)滯)的控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.近年以來,針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性涌現(xiàn)大量的成果.例如,文獻(xiàn)[14?18]研究了時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的(指數(shù))穩(wěn)定性.基于預(yù)估器反饋的方法,文獻(xiàn)[19?20]研究了線性時(shí)滯控制系統(tǒng)的(魯棒)穩(wěn)定性.通過加權(quán)不等式的方法,文獻(xiàn)[21]研究了具有時(shí)變時(shí)滯離散系統(tǒng)的有限穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[22]給出了線性中立型時(shí)滯系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性的必要條件.

預(yù)估器反饋方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于時(shí)滯控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中,學(xué)者們對(duì)其進(jìn)行了深入研究.例如,文獻(xiàn)[23]首次提出Smith 預(yù)估器方法對(duì)輸入時(shí)滯進(jìn)行補(bǔ)償,使得閉環(huán)系統(tǒng)變成無時(shí)滯系統(tǒng).文獻(xiàn)[24]采用預(yù)估器反饋方法考慮了具有多輸入時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.針對(duì)具有隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[25]利用網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制方法分析其隨機(jī)穩(wěn)定性問題.從頻域的角度,文獻(xiàn)[26]研究了時(shí)滯控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題,提出了有限譜配置方法.最近,文獻(xiàn)[27]提出一種稱為偽預(yù)估器反饋的新方法,研究僅含輸入時(shí)滯的線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題.不同于傳統(tǒng)的預(yù)估器反饋利用開環(huán)系統(tǒng)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來的狀態(tài),偽預(yù)估器反饋則是利用閉環(huán)系統(tǒng)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來的狀態(tài),從而所得到的控制器是無記憶的或者是有限維的.后來,偽預(yù)估器反饋方法[27]推廣到了含有多個(gè)點(diǎn)時(shí)滯與分布輸入時(shí)滯的線性系統(tǒng)[28]和輸入時(shí)滯與狀態(tài)時(shí)滯相同的線性系統(tǒng)[29].此外,文獻(xiàn)[30]還提出了另一種稱為截?cái)囝A(yù)估器反饋方法.

最近,針對(duì)同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[31]提出一種稱為嵌套預(yù)估器反饋的新方法,研究大輸入時(shí)滯補(bǔ)償問題.這種方法隨后推廣到了同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的中立型時(shí)滯系統(tǒng)[32].幾乎在同一時(shí)間,文獻(xiàn)[33]采用基于開環(huán)系統(tǒng)基礎(chǔ)解矩陣這一完全不同的方法,獨(dú)立地研究了此問題.文獻(xiàn)[33]中的方法也推廣到了中立型時(shí)滯系統(tǒng)[34].

受文獻(xiàn)[27]針對(duì)僅含輸入時(shí)滯的滯后型線性系統(tǒng)所提出的偽預(yù)估器反饋方法和嵌套預(yù)估器反饋方法[31]的啟發(fā).本文針對(duì)同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng),通過建立嵌套?偽預(yù)估器反饋這一新方法,研究僅對(duì)其輸入時(shí)滯進(jìn)行補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)問題.與傳統(tǒng)的模型化簡理論或有限譜配置理論不同,本文不是對(duì)輸入和狀態(tài)時(shí)滯都進(jìn)行補(bǔ)償(即保證閉環(huán)系統(tǒng)具有有限個(gè)特征值),而是僅對(duì)其輸入時(shí)滯進(jìn)行補(bǔ)償,使得補(bǔ)償后的系統(tǒng)僅含有狀態(tài)時(shí)滯,而且狀態(tài)時(shí)滯的大小不會(huì)增大.本文主要貢獻(xiàn)如下:1)提出了嵌套?偽預(yù)估器反饋這一新方法.2)針對(duì)同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng),基于嵌套預(yù)估器反饋的控制器在實(shí)現(xiàn)時(shí),需要增加輸入濾波器才能鎮(zhèn)定原時(shí)滯系統(tǒng)[31?32].本文提出的基于嵌套?偽預(yù)估器反饋的控制器無需增加濾波器便可鎮(zhèn)定原系統(tǒng).3)文獻(xiàn)[27]研究僅含輸入時(shí)滯的線性系統(tǒng)的輸入時(shí)滯補(bǔ)償問題,本文研究同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)的輸入時(shí)滯補(bǔ)償問題.此外,偽預(yù)估器反饋方法不能直接應(yīng)用于同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)中,因?yàn)榛趥晤A(yù)估器的控制器含有未來的狀態(tài)而不可實(shí)現(xiàn)(輸入時(shí)滯大于狀態(tài)時(shí)滯).

1 問題描述

考慮同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的中立型控制系統(tǒng)

其中,A∈Rn×n和B∈Rn×m都是定常矩陣,假設(shè)矩陣D∈Rn×n是舒爾穩(wěn)定的,r >0和h>0 分別表示狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯.不失一般性地假設(shè)

而當(dāng) 0

問題 1.針對(duì)時(shí)滯控制系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)一個(gè)線性控制器

使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,其中,F 是線性泛函,xt(t)=x(t+θ),θ ∈[?r,0].類似文獻(xiàn)[31],給出下列假設(shè).

假設(shè) 1.存在反饋增益矩陣K∈Rm×n,使得下列時(shí)滯系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的

因此,問題1 等價(jià)于尋找一個(gè)適當(dāng)?shù)姆椒ㄑa(bǔ)償輸入時(shí)滯.針對(duì)同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng),模型化簡方法可以處理這樣的鎮(zhèn)定問題,然而,此方法需解一個(gè)由系數(shù)矩陣組成的非線性矩陣方程[35].最近,文獻(xiàn)[33]采用基于開環(huán)系統(tǒng)的基礎(chǔ)解矩陣方法研究了問題1,同時(shí)文獻(xiàn)[32]也研究了問題1.然而,所設(shè)計(jì)的控制器都含有下列積分項(xiàng)[32,34]

需通過數(shù)值積分進(jìn)行實(shí)現(xiàn).而數(shù)值積分的缺點(diǎn)是無論數(shù)值積分多么精確,閉環(huán)系統(tǒng)可能都不穩(wěn)定[36].文獻(xiàn)[32,34]通過增加輸入濾波器解決了控制器的實(shí)現(xiàn)問題.本文將給出一個(gè)完全不同的解決方案,既解決了傳統(tǒng)預(yù)估器反饋控制器的實(shí)現(xiàn)問題,也克服了嵌套預(yù)估器在數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)可能不穩(wěn)定問題(需增加輸入濾波器).

2 嵌套?偽預(yù)估器反饋

2.1 嵌套?偽預(yù)估器反饋的設(shè)計(jì)

注意到,時(shí)滯系統(tǒng)(1)與控制器

組成的閉環(huán)系統(tǒng)

與式(2)的形式一樣,則由假設(shè)1 可知,閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.但是,由于控制器(5)含有未來的狀態(tài)x(t+h?r),h>r,需利用系統(tǒng)的模型對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè).當(dāng)h>r時(shí),由于基于傳統(tǒng)預(yù)估器的控制器仍然含有未來的狀態(tài)而不能實(shí)現(xiàn),且含有類似于式(4)的積分項(xiàng),故傳統(tǒng)預(yù)估器反饋方法不再適用.由文獻(xiàn)[31]和[27]可知,嵌套預(yù)估器反饋[31]和偽預(yù)估器反饋[27]方法都可預(yù)測(cè)狀態(tài)x(t+h?r) 的值.基于嵌套預(yù)估器反饋的控制器也含有類似于式(4)的積分項(xiàng)而不易數(shù)值實(shí)現(xiàn).故利用偽預(yù)估器反饋[27]的思想,結(jié)合閉環(huán)系統(tǒng)(6),可得

其中,Ac=A+BK.注意到,如果h>2r,預(yù)估器(7) 仍然含有未來狀態(tài)x(t+s) ,s>0,而不可實(shí)現(xiàn).結(jié)合文獻(xiàn)[31],本文將建立嵌套?偽預(yù)估器反饋方法.主要思想如下:利用閉環(huán)系統(tǒng)(6)可先預(yù)測(cè)x(t+θ1),θ1∈[0,r],即

上面預(yù)估器是可實(shí)現(xiàn)的.顯然地,對(duì)任意的h?r >0,存在唯一的非負(fù)整數(shù)κ使得h?r ∈(kr,(k+1)r].因此,可得到狀態(tài)x(t+s) ,s∈(0,h?r] 的預(yù)測(cè)值.則控制器(5)可重寫為

此控制器是可實(shí)現(xiàn)的.控制器(10)是由偽預(yù)估器(9)以狀態(tài)時(shí)滯r為步長嵌套地得到的,故控制器(10)稱為嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器.

注意到,控制器(10)含有多重積分,雖然不影響控制器實(shí)現(xiàn),但形式較為復(fù)雜.為此,下面給出僅含一重積分的顯式嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器.根據(jù)文獻(xiàn)[32]可得

其中,φ(t)=x(t)?Dx(t?r),fk(·),gk(·) 和?k(·)遞歸地定義為

初值為f0(·)=In,g0(·)=In和?0(·)=Ac. 則可得下面引理,其證明與文獻(xiàn)[32]中定理2 證明類似.

引理 1.設(shè)存在非負(fù)整數(shù)κ和θh∈(0,r],使得κr+θh=h.則控制器(10)可寫為

其中,fκ(·),gκ(·) 和?κ(·) 由式(11)所定義.

注意到,引理1 給出了僅含一重積分的顯式嵌套-偽預(yù)估器反饋控制器.

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本節(jié)將給出系統(tǒng)(1)和(12)組成閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.注意到,閉環(huán)系統(tǒng)可寫為

根據(jù)文獻(xiàn)[32]定義一組矩陣函數(shù)如下:

pk+1,k+1(δ)=In,qk+1,k(δ)=In,δ=σ?σ0,其中,j ∈I[0,k]:={0,1,···,k}和l∈I[0,k?1],初值為

下面定理將給出保證由式(1)和(12)組成閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件.

定理1.在假設(shè)1 成立的條件下,令存在非負(fù)整數(shù)κ和θh∈[0,r] ,使得κr+θh=h.則由式(1)和(12)組成閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)下面積分時(shí)滯系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

其中,ξ(?,θ0)=pκ?1?i,j(?)B?(t+θ0),ζ(?,θ0)=qκ?1?i,l(?)B?(t+θ0),?=θh?θ0,pκ,j(·),qκ,l(·)由式(14)和(15)所定義.

證明.注意到,閉環(huán)系統(tǒng)(13)可重寫為

其中

注意到系統(tǒng)(17)與文獻(xiàn)[32]中的系統(tǒng)(1)具有類似的結(jié)構(gòu).根據(jù)引理1 和文獻(xiàn)[32]中定理2 的證明,可得

其中,fκ(·),gκ(·),?κ(·),pκ,j(·) 和qκ,l(·) 由式(11),(14)和式(15)所定義.則將式(19)代入式(18)可得積分時(shí)滯系統(tǒng) (16).因此,如果積分時(shí)滯系統(tǒng)(16) 是漸近穩(wěn)定的,則由式(17) 可得,式(1) 和(12)組成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.必要性易得,故省略.

通過把多重積分轉(zhuǎn)化為累次積分,易知積分時(shí)滯系統(tǒng)(16)與文獻(xiàn)[27]中式(17)具有類似的形式.故可利用文獻(xiàn)[27]中保證積分時(shí)滯系統(tǒng)(17)穩(wěn)定的充分條件分析積分時(shí)滯系統(tǒng)(16)的穩(wěn)定性.

由定理1 可知,基于嵌套?偽預(yù)估器反饋方法事實(shí)上解決了同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的中立型時(shí)滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.與傳統(tǒng)預(yù)估器反饋和嵌套預(yù)估器反饋[31?32]相比,嵌套?偽預(yù)估器反饋不含有類似于式(4)的積分項(xiàng).故嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器優(yōu)點(diǎn)是,在數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí),無需輸入濾波器便可鎮(zhèn)定原時(shí)滯控制系統(tǒng).此外,嵌套?偽預(yù)估器反饋方法還可以推廣到更一般的中立型時(shí)滯控制系統(tǒng).

其中,Ai∈Rn×n,i∈I[0,n1] 和Bj∈Rn×mj,j ∈I[0,n2]為定常矩陣,0=r0≤r1≤···≤rn1和0=h0≤h1≤···≤hn2分別是狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯.

3 滯后型時(shí)滯控制系統(tǒng)

本節(jié)將嵌套?偽預(yù)估器反饋方法推廣到滯后型時(shí)滯系統(tǒng).令D=0,則系統(tǒng)(1)變?yōu)橄旅鏈笮蜁r(shí)滯控制系統(tǒng).

則閉環(huán)系統(tǒng)(6)退化成

嵌套?預(yù)估器(8)和(9)分別退化成

和

由于嵌套?偽預(yù)估器(22)與文獻(xiàn)[37]中式(8)具有類似的結(jié)構(gòu).則可得未來狀態(tài)值(t+kr+θk+1) 為

其中,對(duì)所有的i∈I[0,k?1],

和Fk+1,k(θ)=Fk,k(θ),Fk+1,k+1(θ)=AcFk,k(θ). 式(24)的初值條件為F0,0=Ac和G0=In.

設(shè)存在非負(fù)整數(shù)κ和θh∈[0,r],使得κr+θh=h.由式(23)可得顯式的嵌套-偽預(yù)估器反饋控制器為

下面推論將給出保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件.

推論1.假設(shè)存在增益矩陣K,使得系統(tǒng)(21)是漸近穩(wěn)定的.設(shè)存在非負(fù)正整數(shù)κ和θh∈[0,r] 使得κr+θh=h.則式(20)和(25)組成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)下列積分時(shí)滯系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

證明.由式(20)和(25)組成的閉環(huán)系統(tǒng)可寫為

其中

注意到式(27)與文獻(xiàn)[37]中的式(1)具有相似的形式.因此,通過引理1[37],可得

其中,Fκ+1,i(·) 和Gκ+1(·) 由式(24)所定義.則將式(29)代入式(28)可得系統(tǒng)(26).因此,如果系統(tǒng)(26) 是漸近穩(wěn)定的,由式(27) 易知,式(20) 和(25)組成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.必要性易證,故省略.□

值得注意的是積分時(shí)滯系統(tǒng)(26)的穩(wěn)定性分析可參考文獻(xiàn)[38].事實(shí)上,本節(jié)利用嵌套?偽預(yù)估器反饋方法,解決了同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的滯后型線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.本文所提出的方法由第2 節(jié)的中立型時(shí)滯系統(tǒng)推廣到第3 節(jié)的滯后型時(shí)滯系統(tǒng)是非平凡的,例如定理1 中的充要條件(16)不能直接退化到推論1 的式(26).

4 數(shù)值仿真

考慮同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)[39]

其中,系數(shù)矩陣為

B=[0,1]T,狀態(tài)時(shí)滯r=0.6. 為了更好地說明本文所提方法的有效性,分別地取三個(gè)不同的輸入時(shí)滯h=0.9,h=1.5和h=2.設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣K使得λ(A+BK)={?0.75,?0.8},從而得到

1)h=0:9

根據(jù)等式κr+θh=h,可得κ=1和θh=0.3.下面將利用本文提出的嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器補(bǔ)償輸入時(shí)滯.由引理1 可知,嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器設(shè)計(jì)為

2)h=1:5

根據(jù)等式κr+θh=h,可得κ=2和θh=0.3. 由引理1 可知,嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器設(shè)計(jì)為

3)h=2

根據(jù)等式κr+θh=h,可得κ=3和θh=0.2. 嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器設(shè)計(jì)為

令初值為x(0)=[1,?1]T.則系統(tǒng)(30)分別與嵌套?偽預(yù)估器反饋控制器(31),(32)和(33)組成閉環(huán)統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和控制信號(hào)如圖1,圖2 和圖3所示,易知閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

圖1 系統(tǒng)(30)和(31)組成閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和控制信號(hào)Fig.1 State trajectories and control signals for the closed-loop system consisting of (30) and (31)

圖2 系統(tǒng)(30)和(32)組成閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和控制信號(hào)Fig.2 State trajectories and control signals for the closed-loop system consisting of (30) and (32)

圖3 系統(tǒng)(30)和(33)組成閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和控制信號(hào)Fig.3 State trajectories and control signals for the closed-loop system consisting of (30) and (33)

5 結(jié)論

針對(duì)同時(shí)具有輸入和狀態(tài)時(shí)滯的中立型/滯后型時(shí)滯控制系統(tǒng),研究僅對(duì)其輸入時(shí)滯補(bǔ)償問題,提出了嵌套?偽預(yù)估器反饋方法,不同于傳統(tǒng)的預(yù)估器反饋利用開環(huán)系統(tǒng)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來的狀態(tài),嵌套-偽預(yù)估器反饋則是利用閉環(huán)系統(tǒng)嵌套地預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來的狀態(tài),實(shí)現(xiàn)對(duì)任意大但有界的輸入時(shí)滯進(jìn)行完全補(bǔ)償.結(jié)果表明閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)積分時(shí)滯系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.最后,給出一個(gè)數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出方法的有效性.