林建偉，宋麗平

（莆田學院 數(shù)學與金融學院，福建 莆田 351100）

隨著債券市場的發(fā)展，信用等級較低的公司通過第三方擔保、母公司為子公司擔保、債券保險以及信用準備金等增信方式提高其信用等級，其中母公司同時為旗下多家子公司擔保的方式尤為常見。例如：2018 年4 月，杭州?？低晹?shù)字技術股份有限公司宣布為旗下17 家子公司債券提供擔保，擔保額度達224.50 億元；2018 年10 月，陽光城宣布為旗下7家子公司債券提供擔保，擔保額度達52.98 億元；2018 年11 月，中南建設集團股份有限公司宣布為旗下24 家子公司債券提供擔保，擔保額度達143.40 億元。子公司債券獲得母公司擔保有助于增強子公司到期還本付息的能力，提高子公司債券的信用等級，降低子公司的融資成本，從而解決子公司融資難的問題。但同時應意識到母公司為子公司債券提供擔保所隱含的違約傳染性風險，即子公司的違約可能增加母公司的違約概率，或直接導致母公司違約，因此在一家母公司為n家子公司債券提供擔保時，建立合理的公司債券定價模型是研究熱點。

JARROW 等［1］首次通過違約強度傳染模型描述了關聯(lián)公司之間的違約依賴性結構，并對具有單向違約傳染結構的2 家關聯(lián)公司債券進行定價；COLLIN-DUFRESNE 等［2］采用測度變換方法，研究了具有環(huán)形違約傳染結構的2 家關聯(lián)公司債券定價問題；白云芬等［3］通過測度變換方法，研究了具有雙曲衰減違約強度傳染結構的2 家關聯(lián)公司債券定價問題；FAN［4］采用總的違約強度構建方法，對具有環(huán)形違約傳染結構的3 家關聯(lián)公司債券進行定價。以上研究主要基于利率為常數(shù)的假設，討論無擔保關聯(lián)公司債券定價問題。

在擔保債券定價問題上，任學敏等［5］在隨機利率服從Vasicek 模型下，采用約化方法對在第三方擔保下的公司債券進行了定價，但模型忽略了擔保所引起的違約傳染性。林建偉等［6］通過環(huán)形違約強度傳染模型刻畫了2 家公司之間由于互相擔保所引起的違約傳染性，采用總的違約強度構建法考慮了雙方互相擔保公司債券定價問題，但模型未考慮隨機利率風險的影響。夏鑫等［7］基于隨機利率服從CIR模型，通過單向指數(shù)衰減違約傳染模型描述了2 家公司之間因具有擔保所引起的違約傳染性，采用測度變換方法考慮了單方擔保債券的定價問題，但模型僅獲得了定價的積分表達式。近年來，楊招軍等［8］采用均衡定價理論，考慮了在混合擔保下企業(yè)的最優(yōu)資本結構和混合擔保成本的定價問題。蔣和勝等［9］實證研究了資產(chǎn)支持證券和資產(chǎn)擔保債券對銀行信貸的影響，認為資產(chǎn)擔保債券具有較高的信用評級，有助于銀行降低資金成本。李恩來［10］采用計量經(jīng)濟學方法，實證研究了擔保增信措施對公司債券的作用和影響，結果表明，擔保增信措施提高了公司債券的信用等級，擴大了融資規(guī)模，降低了公司債券的發(fā)行利差。江源［11］實證檢驗了擔保增信措施對城投債信用評級和發(fā)行價格的影響關系，發(fā)現(xiàn)擔保增信措施提高了城投債的信用等級，但對城投債發(fā)行利差無顯著影響。綜上，現(xiàn)有研究未考慮隨機利率風險的影響和擔保所引起的違約傳染性風險［8-11］。此外，只考慮在單方擔保下的公司債券定價問題［5-11］，而未考慮同時為n家關聯(lián)公司提供擔保時的公司債券定價問題。

本文擬在隨機利率服從CIR 模型［12］下，采用約化方法，考慮具有一般關聯(lián)結構母子公司擔保債券的定價問題?；趎+1 家公司違約強度傳染性模型，刻畫由一家母公司同時為n家子公司提供擔保而形成的公司違約相互依賴性，采用隨機分析理論，建立具有一般關聯(lián)結構母子公司擔保債券的數(shù)學模型，得到相應子公司債券定價的顯式表達式和母公司的違約概率，并分析了定價中所蘊含的隨機利率風險和因母子公司擔保而產(chǎn)生的違約傳染性風險。

1 母子公司擔保債券定價

1.1 模型假設

（1）設(Ω，F(xiàn)，Q)表示完備概率測度空間，其中Ω 為樣本空間，F(xiàn)是Ω 上的σ-代數(shù)，Q為(Ω，F(xiàn))上的等價鞅 測度［13］。{F}0≤t≤T表示F的 一個子σ-代數(shù)流，且FT=F。rt表示隨機利率過程，F(xiàn)r，t=σ(rs：s≤t)為其產(chǎn)生的自然流。τi（i=1，2，…，n）表示子公司i的違約時間，τn+1為母公司的違約時間，Ni，t=I{τi≤t}為子公司i的違約過程，Nn+1，t=I{τn+1≤t}為 母公司的違約過程，且母公司和子公司的違約過程均獨立于隨機利率過程rt，以及n家子公司的違約過程兩兩之間相互獨立。設Fi，t=σ(Ni，s：s≤t)，i=1，2，…，n，n+1 表示母公司和子公司產(chǎn)生的自然流，F(xiàn)t=Fr，t∨F1，t∨F2，t∨…∨Fn，t∨Fn+1，t表示[0，t]內市場產(chǎn)生的所有信息。λi，t表示隨機時間τi(i=1，2，…，n，n+1)內一個非負Ft可測的違約強度過程，且在等價鞅測度Q下，對任何t≥0，數(shù)學期望和補償過程Mi，t=Ni，t?是一個Ft可測鞅。

（2）在等價鞅測度Q下，隨機利率過程rt演化服從CIR［12］模型：

其中，θ，δ，ρ為常數(shù)，且滿足2θδ≥ρ2，{Bt}t≥0為標準布朗運動。

（3）設n家子公司同時發(fā)行了零息票債券，到期日為T，在債券期限[0，T]內，母公司同時為n家子公司債券提供擔保，任一家子公司i在債券期限內一旦發(fā)生違約，若母公司在債券期限內沒有發(fā)生違約，則子公司i的債券損失將由母公司承擔，債券持有者在到期日獲得1 元；若母公司在債券期限內也發(fā)生違約，子公司i的債券持有者只能在到期日得到R元，0

（4）母子公司違約強度傳染性模型為

該模型刻畫了一家母公司同時為n家子公司債券提供擔保而形成的違約依賴性結構，側重于母公司與子公司的差異性，而未區(qū)分n家子公司的差異性。a，a*均為正常數(shù)，分別表示子公司和母公司的自身違約因子；b為正常數(shù)，且a>b，表示因母公司為子公司i債券提供擔保而形成的違約傳染因子，即子公司i一旦違約，若母公司沒有違約，因母公司為子公司i債券提供擔保，其違約強度將發(fā)生跳躍，從a*增至a*+b。

注1條件a>b體現(xiàn)了由子公司i全部債務引起的違約影響程度大于僅由子公司i債券損失所造成母公司的違約影響程度。

（5）任意兩家公司同時發(fā)生違約的概率為零。

1.2 母子公司擔保債券的數(shù)學模型和定價公式

由于不區(qū)分n家子公司之間的差異性，n家子公司所發(fā)行擔保債券具有相同價值，因此以子公司1所發(fā)行擔保債券定價為主。根據(jù)模型假設（1）～（5），在隨機利率背景下具有一般關聯(lián)結構母子公司擔保債券定價的數(shù)學模型為

其中，D(0，T)表示子公司1 所發(fā)行的擔保債券價格，式（3）右邊括號內第1 項表示若子公司1 在擔保債券期限內未發(fā)生違約，則債券持有者可在到期日獲得1 元；第2 項表示若子公司1 在債券期限內已經(jīng)違約，而母公司在債券期限內未發(fā)生違約，根據(jù)母子公司擔保合約規(guī)定，母公司將承擔子公司1 因發(fā)生違約而造成的損失，擔保債券持有者仍將在到期日獲得1 元；第3 項表示若子公司1 在債券期限內已經(jīng)違約，且母公司在債券期限內也發(fā)生違約，則擔保債券持有者只能在到期日獲得R元。

基于式（3），結合COX 等［12］關于隨機貼現(xiàn)因子的結果，可得母子公司擔保債券價格。

定理1任意給定正數(shù)a，a*，b，滿足a>b，母子公司擔保債券價格D(0，T)的顯式表達式為

證明基于式（3），結合隨機利率r與違約時間(τ1，τ2，…，τn+1)的獨立性，有

下面求解EQ(I{τ1≤T}I{τn+1

對任意k=1，2，…，n?2，

同理，可得

由此可得

綜上，可求得式（4）。證畢！

1.3 無擔保情形下的公司債券定價

在無擔保情形下，母子公司違約強度的數(shù)學模型為

子公司1 債券定價的數(shù)學模型為

經(jīng)計算，無擔保情形下子公司1 的債券定價公式為

2 金融意義分析

2.1 子公司債券擔保價值

母公司為子公司債券提供擔保所產(chǎn)生的價值體現(xiàn)在有擔保與無擔保2 種情形下子公司發(fā)行債券的價差，即子公司債券擔保價值D*=D(0，T)?(0，T)，由式（4）和式（8），可得

定理2任意給定正數(shù)a，a*，b，滿足a>b，母公司擔保下D*的表達式為

且D*>0。

證明由式（4）和式（8），易求得D*。由式（3），結合λ1，t==a，有

(0，T)，因此，D*>0。

注2D*>0 表明母公司為子公司發(fā)行債券提供擔保增大了子公司債券的發(fā)行價值，提升了子公司的信用等級，降低了子公司的融資成本，一定程度上克服了子公司融資難問題。

2.2 母公司違約概率

根據(jù)母子公司擔保合約規(guī)定，一家母公司承擔n家子公司可能發(fā)生違約所造成的債務損失，從而引發(fā)違約傳染風險，導致母公司違約概率大大增加。設Prob(τn+1

定理3任意給定正數(shù)a，a*，b，滿足a>b，P1，P2的表達式分別為

證明由式（6）可得

由式（2），并考慮n家子公司的對稱性，有

對任意k=1，2，…，n?1，有

同理可得，

綜上，可得P1的表達式（10）。證畢！

下面推導P2的表達式。

以及Prob(τ1

可求得

根據(jù)有擔保和無擔保情形下n+1 家母子公司的違約強度模型（2）和（6），可知

即P2≥P1≥0。

注3P2≥P1≥0，表明母公司為n家子公司同時提供擔保，一方面，提高了子公司債券的價值，提升了子公司的信用等級；另一方面，由于母公司承擔子公司違約的風險，可能引發(fā)違約傳染，并增大母公司違約風險，特別在子公司肯定在到期日之前違約條件下，母公司違約概率增大幅度將是巨大的。

3 數(shù)值分析

基于式（9）～式（11），考查隨機利率風險和母公司擔保對子公司債券定價的影響?；緟?shù)設定為a=0.3，a*=0.1，b=0.1，θ=0.6，δ=0.1，ρ=0.2，r0=0.06，n=10，R=0.5，T=2.5。

圖1 和圖2 分別為母公司為子公司債券擔保所體現(xiàn)價值關于初始市場利率r0和隨機利率波動率ρ的依賴關系。可知，擔保價值D*恒為正，且隨r0和母公司的自身違約因子a*的增大而減小，隨ρ的增大而增大。其蘊含的金融意義為：（1）母公司擔保增強了子公司到期還本付息的能力，提升了子公司信用等級，由此提升了子公司債券的發(fā)行價值；同時母公司的信用等級越高，其為子公司債券擔保所體現(xiàn)的價值越大；（2）市場經(jīng)濟越不景氣，市場環(huán)境波動越大，母公司為子公司債券擔保所體現(xiàn)的價值越大。

圖1 擔保價值D*關于a*和r0 的變化關系Fig.1 The guarantee value D* with varying a* and r0

圖2 擔保價值D*關于a*和ρ 的變化關系Fig.2 The guarantee value D* with varying a* and ρ

圖3 和圖4 分別為母公司的擔保價值D*關于子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的依賴關系?？芍?，擔保價值D*隨子公司自身違約因子a的增大而增大，隨違約傳染因子b的增大而減小。其蘊含的金融意義為：子公司的信用等級越低，母公司的信用增級作用越明顯，相應地，母公司的擔保價值越大；但當子公司違約對于母公司造成的違約傳染程度越嚴重時，母公司擔保對于增強子公司到期還款付息能力減弱，從而降低母公司的擔保價值。

圖3 擔保價值D*關于a*和a 的變化關系Fig.3 The guarantee value D* with varying a* and a

圖4 擔保價值D*關于a*和b 的變化關系Fig.4 The guarantee value D* with varying a* and b

圖5 和圖6 分別為母公司違約概率增大幅度P1關于子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的依賴關系?？芍?，相比于無擔保情形，擔保情形下母公司在到期日之前違約概率增大幅度恒為正，且其隨子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的增大而增大。其蘊含的金融意義為：在債券到期日之前，若子公司發(fā)生違約，因母公司同時為n家子公司發(fā)行的債券提供擔保，承擔子公司違約所造成的債務損失，致使母公司的違約強度發(fā)生跳躍，可能由b增至nb，因此增大了母公司的違約概率，即P1恒為正，同時當子公司自身違約因子a和違約傳染因子b增大時，均造成違約傳染程度加劇，P1更大，特別是當b=0.15 時，P1最大值約為0.57。

圖5 違約概率增大幅度P1 關于a*和a 的變化關系Fig.5 The increasing range of default probability P1 with varying a* and a

圖6 違約概率增大幅度P1 關于a*和b 的變化關系Fig.6 The increasing range of default probability P1 with varying a* and b

圖7 和圖8 分別為母公司條件違約概率增大幅度P2關于子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的依賴關系，進一步表明，在n家子公司于到期日之前肯定違約條件下，母公司由于為子公司擔保而引發(fā)的違約傳染程度進一步擴大，P2更大，特別是當b=0.15 時，P2最大值約為0.77。這也蘊含了母公司擔保雖然可使子公司信用增級，但也可能引發(fā)巨大的違約傳染風險。

圖7 條件違約概率增大幅度P2 關于a*和a 的變化關系Fig.7 The increasing range of conditional default probability P2 with varying a* and a

圖8 條件違約概率增大幅度P2 關于a*和b 的變化關系Fig.8 The increasing range of conditional default probability P2 with varying a* and b

圖9 子公司債券價值增長率L 關于n 的變化關系Fig.9 The increasing ratio of the subsidiary bond value L with varying n

圖10 母公司違約概率增長率Q 關于n 的變化關系Fig.10 The increasing ratio of parent company default probability Q with varying n

4 結論

綜合采用隨機分析理論和約化方法，在隨機利率服從CIR 模型背景下，基于一家母公司和n家子公司的違約強度傳染模型，刻畫了母公司為n家子公司債券提供擔保所形成的違約相關性，建立了具有一般關聯(lián)結構母子公司擔保債券定價的數(shù)學模型，得到母子公司擔保債券解的閉合表達式。相比于無擔保情形，進一步獲得了母公司為子公司擔保所體現(xiàn)的擔保價值和可能引發(fā)的母公司違約概率增大幅度的顯式表達式。圍繞擔保價值和母公司違約概率增大幅度2 個重要因素對隨機利率風險和母子公司擔保所隱含的違約傳染風險進行金融意義分析。結果表明：（1）母公司為子公司擔保，增強了子公司到期還本付息的能力，提升了子公司的信用等級，從而提高了子公司發(fā)行債券的價值，且市場經(jīng)濟越不景氣、市場環(huán)境震蕩越大，母公司為子公司擔保所體現(xiàn)的擔保價值越大；（2）母公司為子公司擔?？赡芤l(fā)違約傳染，導致母公司違約概率增大，特別在n家子公司于債券到期日之前肯定違約條件下，母公司條件違約概率增大幅度將是巨大的；（3）母公司應在權衡擔保價值和違約概率2 個重要因素下決定擔保子公司個數(shù)，從而規(guī)避違約傳染風險造成的損失。