李翔睿，黃水波

（西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州 730030）

0 引言

脈沖微分方程是近年來(lái)微分方程研究的熱點(diǎn)，常用于描述種群動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)控制微分方程中的變量，實(shí)現(xiàn)對(duì)種群之間相互影響的控制，進(jìn)而達(dá)到人們所期望的狀態(tài)。1960 年，MILIMAN 等［1］提出以下脈沖微分方程：

此后，脈沖微分方程在理論上得到了進(jìn)一步發(fā)展，在實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用。FU 等［2］將有界時(shí)滯量推廣至無(wú)窮時(shí)滯量，并證明了具有無(wú)窮時(shí)滯的脈沖微分方程解的存在性定理，該定理促進(jìn)了具有無(wú)窮時(shí)滯脈沖微分方程的發(fā)展；COOKE 等［3］研究了脈沖微分方程周期解的存在性以及極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性；AHMAD 等［4］建立了非線性時(shí)滯微分系統(tǒng)解的一致穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則，并研究了一類非線性脈沖時(shí)滯微分方程解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性，其中，具有一定收獲比例的脈沖收獲微分方程可實(shí)現(xiàn)對(duì)種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制，這對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題更具現(xiàn)實(shí)意義；WANG 等［5］提出了一種單種群模型的最優(yōu)收獲策略，此收獲策略使得種群的收獲產(chǎn)量達(dá)到最大或保持恒定，當(dāng)收獲發(fā)生在嚴(yán)格的時(shí)間間隔內(nèi)時(shí)，種群水平達(dá)到最高；PANG 等［6］分析了具有分布時(shí)滯和狀態(tài)脈沖的單種群模型：

利用微分方程理論和后繼函數(shù)法，得到了階一周期解的存在性，建立了一種處理半連續(xù)系統(tǒng)階一周期解的穩(wěn)定性方法；LI 等［7］考慮了一類具有弱核時(shí)滯和常數(shù)收獲的單種群模型：

其中，x(t)為在t時(shí)刻的種群密度，r>0 為物種的內(nèi)稟增長(zhǎng)率（反映物種本身的特點(diǎn)），K>0 為容納能力，αe?α(t?s)為弱核函數(shù)，u為常數(shù)收獲率，α和u為正常數(shù)。

文獻(xiàn)［7］中的模型通過(guò)

變換，得到

因式（1）在實(shí)際應(yīng)用中具有局限性，本文將對(duì)變量進(jìn)行狀態(tài)脈沖控制。脈沖控制方程已用于生態(tài)領(lǐng)域中害蟲的控制、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中儲(chǔ)蓄率的控制、工程領(lǐng)域中交通信息的控制以及航空領(lǐng)域中衛(wèi)星軌道運(yùn)行的控制等。

對(duì)式（1）中的參數(shù)x進(jìn)行狀態(tài)脈沖控制，得到

本文主要研究式（2）在不同情況下周期解的存在性和軌道穩(wěn)定性。下文安排如下：第1 節(jié)介紹與本文相關(guān)的定義和引理，第2 節(jié)研究式（2）在給定條件下階一周期解的存在性，第3 節(jié)討論式（2）在階一周期解存在情況下的軌道穩(wěn)定性，第4 節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于脈沖系統(tǒng)：

設(shè)脈沖集為M，相集為N，有以下定義：

定義1［8］假設(shè)存在映射f：N→N，且 對(duì)?P∈N，式（3）存在過(guò)點(diǎn)P的軌線Γ，與脈沖集M交于點(diǎn)P1。P1在脈沖控制方程的作用下，到達(dá)點(diǎn)，則稱為點(diǎn)P的后繼函數(shù)，P1為P的后繼點(diǎn)。

定義2［9］假設(shè)式（3）存在階一周期解Γ=f(C，t)，對(duì)?ε>0，存 在δ>0 和t0>0，使得對(duì)?C1∈U(C，δ)∩N，當(dāng)t>t0時(shí)，總有距離d(f(C1，t)，Γ)<ε，則階一周期解Γ是軌道漸近穩(wěn)定的。

且足夠小時(shí)，平衡E3(，)通過(guò)Hopf 分岔出現(xiàn)唯一穩(wěn)定的極限環(huán)分岔。

引理2［9］式（3）的后繼函數(shù)?l(P)是連續(xù)的。

引理3［10］若存在2 個(gè)點(diǎn)A，B∈N，且后繼函數(shù)

則在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間一定存在一點(diǎn)C∈N，使得后繼函數(shù)g(C)=0。

引理4［11-12］假設(shè)脈沖系統(tǒng)為

則當(dāng)乘子|μ2| <1 時(shí)，式（4）的T-周期解x=ξ(t)，y=η(t)的軌道是漸近穩(wěn)定的。在式（4）中，

2 周期解的存在性

研究式（2）在不同參數(shù)條件下階一周期解的存在性。

考慮脈沖系統(tǒng)式（2）階一周期解的存在性。

定理1若式（2）中的u和h滿足：

則存在階一周期解。

證明當(dāng)時(shí)，由引理1 可知，式（2）在無(wú)狀態(tài)脈沖控制時(shí)（即式（1）），平衡點(diǎn)E3(，)漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定或通過(guò)Hopf 分岔出現(xiàn)唯一穩(wěn)定的極限環(huán)分岔，其脈沖集為M：x=h，相集為N：x=(1?p)h，如圖1 所示。

圖1 Fig.1

任取一點(diǎn)A0∈N，使得yA0>，即A0為相集N上位于平衡點(diǎn)E3左上方的點(diǎn)。從點(diǎn)A0出發(fā)的軌線分別與相交，到達(dá)脈沖集M：x=h上的點(diǎn)A1(h，yA1)，隨后點(diǎn)A1在脈沖控制的作用下，沿與x軸平行的方向最終到達(dá)相集N：x=(1?p)h上的點(diǎn)A2((1?p)h，yA1)。此 時(shí)，A2為 點(diǎn)A0的后繼點(diǎn)，且A0的后繼函數(shù)為f(A0)=yA2?yA0。又因?yàn)锳2在A0的下方，即yA2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2的軌線與脈沖集M：x=h相交于點(diǎn)A3。在脈沖控制的作用下，脈沖函數(shù)將點(diǎn)A3映射到相集N：x=(1?p)h上的點(diǎn)A4，則A4為點(diǎn)A2的后繼點(diǎn)且位于A2的上方，此時(shí)，A2的后繼函數(shù)為f(A2)=yA4?yA2，且f(A2)>0。因?yàn)閒(A0)<0，f(A2)>0，所以f(A0)f(A2)<0，則可由引理2 和引理3 得，在A0和A2之間一定存在一點(diǎn)C，使得f(C)=0。因此，當(dāng)

時(shí)，脈沖系統(tǒng)式（2）有階一周期解。

證畢。時(shí)，E3(，)穩(wěn)定，式（1）的軌線方向沿逆時(shí)針?lè)较蛴赏庀騼?nèi)運(yùn)動(dòng)，其軌道已漸近穩(wěn)定。所以，僅討論當(dāng)

時(shí)，E3(，)不穩(wěn)定的情況，此時(shí)式（1）的軌線方向沿逆時(shí)針?lè)较蛴蓛?nèi)向外運(yùn)動(dòng)。

定理2若式（2）中的u，T和h滿足：

則系統(tǒng)存在階一周期解。

證明當(dāng)

時(shí)，式（1）的平衡點(diǎn)E3(，)不穩(wěn)定。在式（2）中，其脈沖集為M：x=h，其相集為N：x=(1?p)h，如圖2 所示。

圖2 <(1?p)h< 且h>Fig.2 <(1?p)h< and h>

任取一點(diǎn)F0((1?p)h，yF0)，且yF0>yE3，則定有一條軌線從F0出發(fā)，與相交后，到達(dá)脈沖集M：x=h上的點(diǎn)F1(h，yF1)。隨后，點(diǎn)F1在脈沖控制的作用下，到達(dá)相集N：x=（1?p）h上的點(diǎn)F2，且F1與F2的縱坐標(biāo)值相同。因此，點(diǎn)F2為F0的后繼點(diǎn)且后繼函數(shù)f(F0)=yF2?yF0，又因?yàn)镕2在F0的下方，所以f(F0)<0。

如圖2 所示，定有一條軌線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2與脈沖集M：x=h相交于點(diǎn)F3(h，yF3)。隨后，脈沖函數(shù)又將點(diǎn)F3映射到相集N：x=（1?p）h上的點(diǎn)F4，F(xiàn)4為點(diǎn)F2的后繼點(diǎn)，則F2的后繼函數(shù)為f(F2)=yF4?yF2，又因?yàn)镕4位于F2的上方，則f(F2)>0。

因?yàn)閒(F0)f(F2)<0，所以由引理2 和引理3可得，在F0和F2之間一定存在一點(diǎn)H，使得f(H)=0。因此，當(dāng)

時(shí)，式（2）有階一周期解。證畢。

3 T-周期解的軌道穩(wěn)定性

在式（2）中，設(shè)其T-周期解（ξ(t)，η(t)）通過(guò)點(diǎn)W+((1?p)h，η0)∈N，W(h，η0)∈M。由引理4，計(jì)算乘子μ2?？紤]式（2）的記號(hào)，有

最終，計(jì)算乘子μ2：

由引理4 可知，當(dāng)乘子|μ2| <1 時(shí)，脈沖系統(tǒng)的T-周期解的軌道是漸近穩(wěn)定的，則有以下定理。

定理3若式（2）存在階一周期解，當(dāng)

則式（2）階一周期解的軌道是漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值模擬

令r=2，K=8，則式（2）可改寫為

對(duì)于定理1，u和h滿足：

令α=0.6，u=2，h=6.5，p=0.2，此時(shí)的平衡點(diǎn)E3(，)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)初始值為（5，6），分別得到x(t)的時(shí)間序列圖、y(t)的時(shí)間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖3 所示。

圖3 定理1 中E3(，)漸近穩(wěn)定Fig.3 E3(，)is asymptotic stability in theorem 1

令α=0.2，u=2，h=6.5，p=0.2，此時(shí)的平衡點(diǎn)E3(，)是不穩(wěn)定的，設(shè)初始值為（5，5.85），分別得到x(t)的時(shí)間序列圖、y(t)的時(shí)間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖4 所示。

圖4 定理1 中E3(，)不穩(wěn)定Fig.4 E3(，)is unstable in theorem 1

令α=0.292 8，u=2，h=6.5，p=0.2，此時(shí)的平衡點(diǎn)E3(，)通過(guò)Hopf 分岔出現(xiàn)唯一穩(wěn)定的極限環(huán)分岔，設(shè)初始值為（5，5.85），分別得到x(t)的時(shí)間序列圖、y(t)的時(shí)間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖5 所示。

圖5 定理1 中E3(，)通過(guò)Hopf 分岔出現(xiàn)唯一穩(wěn)定的極限環(huán)分岔Fig.5 A unique and stable limit cycle bifurcation emerges via the Hopf bifurcation from the equilibrium E3(，) in theorem 1

對(duì)于定理2，u、T和h分別滿足：只考慮平衡點(diǎn)E3(，)的不穩(wěn)定情況。令α=0.25，u=2，h=7，p=0.2，設(shè)初始值為（5.5，6.2），分別得到x(t)的時(shí)間序列圖、y(t)的時(shí)間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖6 所示。

圖6 定理2 中E3(，)不穩(wěn)定Fig.6 E3(，)is unstable in theorem 2

由圖3～圖5 可知，數(shù)值模擬的結(jié)果驗(yàn)證了定理1 及定理3 的正確性；由圖6 可知，數(shù)值模擬的結(jié)果驗(yàn)證了定理2 及定理3 的正確性。