張鈺婷，沈浙奇,2,3*，伍艷玲,2,3

(1.自然資源部第二海洋研究所 衛(wèi)星海洋環(huán)境動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310012；2.河海大學(xué) 海洋學(xué)院 資料同化與預(yù)測(cè)研究所，江蘇 南京 210098；3.南方海洋科學(xué)與工程廣東省實(shí)驗(yàn)室（珠海），珠海 廣東 519080)

1 引言

作為研究大氣、海洋科學(xué)熱門課題之一，資料同化技術(shù)不僅可以為海洋數(shù)值預(yù)報(bào)模式提供初始場(chǎng)，還可以構(gòu)造海洋再分析資料集，為海洋觀測(cè)計(jì)劃和數(shù)值預(yù)報(bào)模式物理量及參數(shù)等提供設(shè)計(jì)依據(jù)，近年來(lái)得到了廣泛的研究和應(yīng)用[1]。集合卡爾曼濾波器（EnKF）是一種有效的資料同化方法，自Evensen[2]于1994年首次提出以來(lái)經(jīng)過(guò)了20多年的發(fā)展和改進(jìn)，已經(jīng)在海洋資料同化中得到了廣泛的研究和應(yīng)用。近年來(lái)，隨著動(dòng)力模式的不斷發(fā)展和計(jì)算能力的提高，粒子濾波器（PF）由于不受模型線性和誤差高斯分布假設(shè)的約束，也逐漸成為了當(dāng)前資料同化算法研究的熱門[3]。

EnKF是集合預(yù)報(bào)同卡爾曼濾波器（KF）的結(jié)合，它使用集合表示模式變量的概率密度分布，并采用KF的更新公式提供線性模型高斯分布假設(shè)下的同化最優(yōu)解。由于EnKF避免了卡爾曼濾波器和擴(kuò)展卡爾曼濾波器（EKF）中的協(xié)方差更新模型，使得它能夠被應(yīng)用于大型地球物理模式。集合調(diào)整卡爾曼濾波器（EAKF）是在EnKF基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的衍生方法，它一般被視為一種確定性的EnKF格式[4]。EAKF從濾波理論出發(fā)推導(dǎo)了一個(gè)用于模式變量更新的算子，取代了傳統(tǒng)EnKF中的增益矩陣，且無(wú)需增加額外的觀測(cè)擾動(dòng)，在計(jì)算量上有一定的優(yōu)勢(shì)[4–5]。作為目前海洋資料同化所采用的主流方法之一—集合卡爾曼濾波器以及衍生方法隱含了預(yù)報(bào)集合高斯分布的假設(shè)，適用于線性系統(tǒng)的同化[6]。

相較于集合卡爾曼濾波，粒子濾波不含高斯假設(shè)，對(duì)非線性非高斯同化系統(tǒng)能產(chǎn)生更好的同化效果。粒子濾波算法基于貝葉斯估計(jì)理論，是貝葉斯公式的蒙特卡羅算法近似?！傲Ｗ印迸c集合卡爾曼濾波器中的集合成員相同，是用于表示模式變量的概率分布的集合樣本。如果計(jì)算資源充足，隨著粒子數(shù)目的增加，粒子的概率密度分布會(huì)逐漸趨向于真實(shí)狀態(tài)場(chǎng)的概率密度分布，粒子濾波器能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)貝葉斯估計(jì)的同化效果[3,7]。經(jīng)典的粒子濾波器使用似然函數(shù)計(jì)算每個(gè)粒子的標(biāo)量權(quán)重，因此當(dāng)狀態(tài)場(chǎng)空間的維數(shù)較大時(shí)，狀態(tài)場(chǎng)數(shù)值的微小變化會(huì)引起對(duì)應(yīng)權(quán)重在量級(jí)上的巨大變化，多數(shù)集合成員會(huì)因權(quán)重過(guò)小而失效，從而導(dǎo)致粒子濾波器的退化[8]。相當(dāng)多的方法已經(jīng)被提出來(lái)處理粒子濾波器中的退化[9]，如最優(yōu)重要性粒子濾波器[10]、等權(quán)重粒子濾波器[11]、集合卡爾曼粒子濾波器[12]、局地化粒子濾波器[8,13]等。本文主要考察的局地化粒子濾波器是最近才被提出的一種同化方法，它通過(guò)在經(jīng)典粒子濾波器中引入EnKF中常用的局地化方法來(lái)解決粒子濾波器的退化問(wèn)題，得到了廣泛關(guān)注。

局地化方法自21世紀(jì)初在集合卡爾曼濾波器的同化中被提出以來(lái)[14]，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于各種業(yè)務(wù)化集合同化系統(tǒng)中，得到了普遍認(rèn)可。由于模式集合成員的數(shù)量非常有限，在計(jì)算背景誤差協(xié)方差和增益矩陣的過(guò)程中往往會(huì)出現(xiàn)由于樣本不足而造成的虛假遠(yuǎn)距離相關(guān)，造成錯(cuò)誤的同化更新。通過(guò)引入局地化可以使得同化的更新過(guò)程在一個(gè)較小子空間中進(jìn)行，從而抑制這種虛假相關(guān)，并大大降低計(jì)算量。利用相似的思想，最近的一些工作開始在粒子濾波器中使用局地化，例如，Poterjoy[13]、Shen等[15]、Penny和Miyoshi[8]改善的局地化粒子濾波器已經(jīng)被初步驗(yàn)證能夠使用與集合卡爾曼濾波器相當(dāng)?shù)募铣蓡T數(shù)來(lái)避免粒子退化現(xiàn)象，也逐漸地被用于地球物理模式的資料同化中。

本文在耦合的通用地球系統(tǒng)模式（Community Earth System Modal,CESM）中開展了集合卡爾曼濾波器和局地化粒子濾波器的觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)。通過(guò)同化模擬的衛(wèi)星海表溫度（SST）資料，考察不同局地化參數(shù)對(duì)于兩種濾波器方法的不同影響。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步比較了兩種濾波器方法的同化效果，探討了兩類方法的優(yōu)缺點(diǎn)以及發(fā)展前景。

2 數(shù)據(jù)與方法

2.1 模式和同化系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)使用的模式為CESM，它是由美國(guó)國(guó)家大氣研究中心（NCAR）于2010年發(fā)布的新一代地球系統(tǒng)模式，是目前最先進(jìn)、使用最廣泛的地球系統(tǒng)模式之一。該模式采用模塊化框架，主體由大氣、海洋、陸地、海冰、河流等幾大模塊組成，并由耦合器（CPL7）管理模塊間的數(shù)據(jù)信息交換和模式運(yùn)行。實(shí)驗(yàn)使用了CESM1.2.1版本，它的海洋模式為POP2，大氣模式為CAM4。本實(shí)驗(yàn)使用全耦合的模式設(shè)置（B compset）和當(dāng)代（present day）的外強(qiáng)迫。采用的模式分辨率為0.9×1.25_gx1v6，即大氣模式水平分辨率為 0.9°×1.25°，垂向26層；海洋模式水平分辨率接近1°，在赤道區(qū)域緯向加密約為0.5°，垂向60層。

實(shí)驗(yàn)所涉及的兩種同化方法都是借助NCAR開發(fā)的資料同化 研究 平臺(tái)（Data Assimilation Research Testbed，DART）實(shí)現(xiàn)。DART是由NCAR的數(shù)據(jù)同化研究部門開發(fā)和維護(hù)的一個(gè)開源軟件。它提供了多種確定性和隨機(jī)性濾波器算法，包括集合調(diào)整卡爾曼濾波器、集合卡爾曼濾波器、核濾波器和粒子濾波器等[16]。我們建立了DART和POP2模式的接口，實(shí)現(xiàn)了耦合模式框架下的海洋觀測(cè)資料的弱耦合同化。鑒于計(jì)算量的考慮，我們使用了20個(gè)集合成員。在所有的實(shí)驗(yàn)中，我們也采用了固定系數(shù)為1.02的協(xié)方差膨脹和針對(duì)20個(gè)集合成員的樣本誤差訂正（Sampling Error Correction）方案[17]。

2.2 數(shù)據(jù)

本文采用的實(shí)驗(yàn)方案為觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)（OSSE），其基本思想是使用一組真值實(shí)驗(yàn)作為參考值，然后根據(jù)實(shí)際存在的觀測(cè)系統(tǒng)對(duì)真值取樣，并且疊加上具有給定方差的隨機(jī)誤差來(lái)模擬觀測(cè)。在實(shí)驗(yàn)中同化上述模擬的觀測(cè)資料，并利用真值實(shí)驗(yàn)得到的參考值來(lái)評(píng)估不同同化方法得到的分析場(chǎng)。

圖1 觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)流程圖設(shè)計(jì)Fig.1 Flow chart design of observation system simulation experiment

圖1顯示了OSSE的流程圖，其中我們利用真值實(shí)驗(yàn)生成每周一次的全球海表溫度觀測(cè)，其空間分辨率為1°×1°，并疊加上符合高斯分布的隨機(jī)誤差作為觀測(cè)誤差。為簡(jiǎn)化討論，我們針對(duì)所有觀測(cè)點(diǎn)使用相同的觀測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差。參考OISST[18]中的SST觀測(cè)誤差的全球平均標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè)所有位置的誤差標(biāo)準(zhǔn)差均為0.3℃。

此外，本文使用了哈德雷中心（Met Office Hadley Center）提供的長(zhǎng)度為 100 a（1919–2018）的月平均HadISST (Hadley Centre Sea Ice and Sea Surface Temperature data set)再分析資料[19]，主要用于計(jì)算 SST 資料對(duì)不同距離的變量的相關(guān)系數(shù)，并與模式20個(gè)集合成員計(jì)算的樣本相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，為局地化系數(shù)的選取提供理論依據(jù)（見(jiàn)3.1.2節(jié)）。

2.3 同化方法和局地化

2.3.1 EAKF 中的局地化

集合調(diào)整卡爾曼濾波器（EAKF）[4]是在集合卡爾曼濾波器[2]的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。EAKF避免了集合卡爾曼濾波器中對(duì)觀測(cè)資料的擾動(dòng)，且在集合樣本數(shù)目較少時(shí)仍能得到較為滿意的結(jié)果。EAKF基于線性回歸理論逐個(gè)順次地同化觀測(cè)資料，使用觀測(cè)空間的局地化后可以將每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的更新范圍限制在一個(gè)較小的子空間中進(jìn)行，節(jié)省了計(jì)算量。

EAKF的同化步驟可以表示如下，若用x表示狀態(tài)向量，用yo表示誤差方差為的觀測(cè)標(biāo)量，h表示觀測(cè)算子，則EAKF公式的第一步是使用觀測(cè)算子h將狀態(tài)空間的每個(gè)集合成員投影到觀測(cè)點(diǎn)上，作為每個(gè)成員對(duì)應(yīng)觀測(cè)的先驗(yàn)估計(jì)，如下

式中，下標(biāo)p代表先驗(yàn)值；n代表集合成員

式中，下標(biāo)u代表后驗(yàn)值

接著使用以下公式計(jì)算觀測(cè)空間的每個(gè)成員的后驗(yàn)估計(jì)

EAKF最后利用相關(guān)系數(shù)將每個(gè)觀測(cè)的增量回歸到模式變量中

式中，xm,n表示模式第m個(gè)分量的第n個(gè)集合成員；σxm,y為xm與yp的協(xié)方差。

由于集合模式成員數(shù)有限，因此所模擬的背景誤差協(xié)方差會(huì)存在一定的虛假信息。這些虛假信息隨著距離的增加而增加，且會(huì)在同化過(guò)程中造成虛假的更新量，影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。為了避免這些問(wèn)題，我們?cè)贓AKF中引入了局地化方案，使用一個(gè)數(shù)值介于0和1之間且隨距離的大小單調(diào)遞減的因子 ρ，并將式（5）替換為

公式（6）中的 ρ被稱為局地化因子，是一個(gè)依賴于距離的函數(shù)，一般可以由以下公式[20]計(jì)算得到

式中，dn代表模式點(diǎn)xm,n和觀測(cè)點(diǎn)yp,n的距離；c是一個(gè)局地化參數(shù)，可以控制 ρ的去相關(guān)距離。由式（7）可知，當(dāng)dn大 于2c時(shí)， ρ =0，從而觀測(cè)點(diǎn)yp,n和模式點(diǎn)xm,n完全不 相關(guān)。

2.3.2 LPF 中的局地化

相比于EAKF，局地化的粒子濾波器（LPF）最近才被提出來(lái)解決傳統(tǒng)粒子濾波器中的退化問(wèn)題[13]，因此關(guān)于它的研究結(jié)果相對(duì)較少。在作者所了解的文獻(xiàn)中，目前尚沒(méi)有將LPF應(yīng)用于CESM模式的研究也鮮有對(duì)LPF的局地化參數(shù)進(jìn)行的討論。

從原理上說(shuō)，在粒子濾波器中采用局地化是為了使用較小的計(jì)算成本來(lái)避免濾波退化問(wèn)題。粒子濾波器的原理是給每個(gè)集合成員配給一個(gè)權(quán)重，用集合成員的加權(quán)組合來(lái)表示同化變量的完整概率分布密度函數(shù)，并隨著同化的進(jìn)行不斷更新權(quán)重。經(jīng)典的粒子濾波器使用一個(gè)標(biāo)量的數(shù)來(lái)代表權(quán)重，因此當(dāng)模式的狀態(tài)變量維數(shù)巨大時(shí)，很容易造成其中一個(gè)成員占據(jù)大部分權(quán)重，而其他成員權(quán)重都幾乎為0的現(xiàn)象這就是濾波退化[2]。

在經(jīng)典粒子濾波器中，狀態(tài)場(chǎng)Xn的標(biāo)量權(quán)重可由以下公式計(jì)算

式中，wn表示第n個(gè)粒子的標(biāo)量權(quán)重；m是所有觀測(cè)點(diǎn)的總數(shù)；觀測(cè)算子hi用 于將模式預(yù)報(bào)場(chǎng)投影到其中的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)yi上；是 yi的 方差，這里的正比例符號(hào)“∝”意味著計(jì)算等式右邊之后還需要進(jìn)行一次標(biāo)準(zhǔn)化使得所有權(quán)重的和為1。當(dāng)m很大時(shí)，多個(gè)指數(shù)函數(shù)相乘導(dǎo)致不同粒子的權(quán)重很容易有量級(jí)上的差異。

在粒子濾波器中引入局地化的基礎(chǔ)是將粒子的權(quán)重?cái)U(kuò)展成為矢量，即不同的模式網(wǎng)格點(diǎn)使用不同的權(quán)重。在此基礎(chǔ)上應(yīng)用粒子濾波器可以將狀態(tài)分析過(guò)程轉(zhuǎn)移到一個(gè)較小子空間中進(jìn)行，由于子空間的差異性會(huì)增加集合成員的多樣性，從而降低集合退化的可能。粒子濾波器中的局地化主要用于計(jì)算矢量權(quán)重，使其適用于大型地球物理模式。但是由于粒子濾波器的同化原理與卡爾曼濾波器有本質(zhì)的不同，局地化的引入方式也有所不同[21]。局地化粒子濾波器的第一步是將式（8）中的標(biāo)量權(quán)重?cái)U(kuò)展到矢量權(quán)重，也就是說(shuō)狀態(tài)場(chǎng)中各個(gè)不同的分量采用不同的局部權(quán)重，與此同時(shí)，集合成員的重取樣也都在局地進(jìn)行。Poterjoy[13]借助局地化公式，利用局地化因子 ρ給出不同分量的權(quán)重公式如下

2.4 同化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文首先通過(guò)敏感性實(shí)驗(yàn)考察局地化參數(shù)對(duì)于EAKF和LPF的同化效果的影響。局地化的參數(shù)數(shù)值對(duì)應(yīng)了觀測(cè)點(diǎn)和模式網(wǎng)格點(diǎn)的去相關(guān)距離：假設(shè)局地化參數(shù)的值為c，那么觀測(cè)點(diǎn)與距離2c以上的模式網(wǎng)格點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)為0。CESM模式中的距離使用弧度制單位表示，例如d=0.1 rad，那么它實(shí)際對(duì)應(yīng)的赤道經(jīng)度為為了處理海洋在垂直和水平方向的不同尺度，同化算法使用一個(gè)垂向歸一化尺度系數(shù)（Vertical Normalization Factor，以下記做ν，單位為m/rad）來(lái)進(jìn)行垂向距離的轉(zhuǎn)化。假設(shè)水平方向的距離為dh，單位為（°），垂直方向的距離為dv，單位為m，那么兩點(diǎn)之間的模式距離如下計(jì)算

根據(jù)d和c的比值，可以使用式（7）計(jì)算局地化因子 ρ 。顯然ν的數(shù)值越大，相同的實(shí)際垂向距離dv條件下式（10）右端的第二項(xiàng)越小，相同的c可以影響到越遠(yuǎn)的水平距離。而當(dāng)ν為無(wú)窮大的時(shí)候，實(shí)際上就關(guān)閉了垂直方向的局地化，局地化因子僅由dh決定。

實(shí)驗(yàn)所選取的同化數(shù)據(jù)為海表溫度，集合成員數(shù)為20，同化頻率為每7 d同化一次，同化實(shí)驗(yàn)的時(shí)間為12個(gè)月。同化的初始集合由如下方法產(chǎn)生：我們首先對(duì)CESM模式進(jìn)行了100 a的自由積分，然后在得到的初始場(chǎng)上層30層溫度變量上疊加偽隨機(jī)場(chǎng)[22]的擾動(dòng)，構(gòu)成20個(gè)集合成員。我們對(duì)該集合進(jìn)行2 a的模式積分，使得每個(gè)集合成員各變量之間保持一定的動(dòng)力平衡，這些積分的結(jié)果則被用來(lái)作為同化實(shí)驗(yàn)的初始集合。

設(shè)計(jì)的敏感性實(shí)驗(yàn)如表1所示：我們首先考察EAKF中的局地化方案，比較了不同局地化參數(shù)c和垂向歸一化尺度系數(shù)ν對(duì)于同化效果的影響。我們先固定c為 0.1 rad，然后分別設(shè)定ν=1 000 m/rad,1 500 m/rad 2 000 m/rad，以及+∞（即垂直方向不采用局地化）來(lái)考察垂向局地化方案對(duì)于同化效果的影響。并且分別將實(shí)驗(yàn)名稱記作Kc0.1v1000、Kc0.1v1500、Kc0.1v2000以及Kc0.1vinf。根據(jù)CESM氣候模式的距離設(shè)置Kc0.1v1000試驗(yàn)中，觀測(cè)點(diǎn)在海表與水平距離超過(guò)大約11.5°的模式格點(diǎn)相關(guān)系數(shù)為0，同時(shí)與其正下方垂直距離超過(guò)200 m的模式格點(diǎn)相關(guān)系數(shù)也為0。然后，我們固定最優(yōu)垂向歸一化尺度系數(shù)ν，來(lái)考察水平局地化方案對(duì)同化效果的影響。由于前一組實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論為EAKF的最優(yōu)垂向局地化方案為垂向關(guān)閉局地化（見(jiàn)3.1.1節(jié)），在此基礎(chǔ)上，分別設(shè)置局地化參數(shù)c為 0.05 rad、0.1 rad、0.2 rad、0.3 rad，分別將對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)名稱記為Kc0.05vinf、Kc0.1vinf、Kc0.2vinf Kc0.3vinf。類似地，我們也針對(duì)LPF探討了系數(shù)ν和參數(shù)c的相關(guān)問(wèn)題，利用敏感性實(shí)驗(yàn)尋找最優(yōu)的局地化方案，揭示LPF和EAKF對(duì)于局地化的不同要求最后，基于使用最優(yōu)的局地化方案，我們比較了LPF和EAKF的同化效果，揭示LPF的潛在優(yōu)勢(shì)與不足同時(shí)，為了顯示同化效果，本實(shí)驗(yàn)設(shè)置了不進(jìn)行任何同化的控制試驗(yàn)(下文簡(jiǎn)稱FREERUN)進(jìn)行對(duì)照。

表1 實(shí)驗(yàn)列表Table 1 Experimental list

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 EAKF 局地化對(duì)同化效果影響

3.1.1 EAKF 的垂向局地化方案

我們首先固定局地化參數(shù)c為0.1 rad，考察不同垂向歸一化尺度系數(shù)ν對(duì)于同化效果的影響。實(shí)驗(yàn)采用的系數(shù)ν為 1 000 m/rad、1 500 m/rad、2 000 m/rad與局地化參數(shù)c相乘以后，對(duì)應(yīng)的距離分別為100 m 150 m/200 m，也就是說(shuō)，局地化系數(shù)ρ在超過(guò) 200 m 300 m/400 m 的數(shù)值為 0，因此，SST 觀測(cè)最多能影響的垂直深度為 200 m/300 m/400 m。實(shí)驗(yàn)選取了均方根誤差（RMSE）作為評(píng)判同化效果優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，其計(jì)算公式為

我們首先根據(jù)RMSE的垂直分布討論系數(shù)ν對(duì)同化效果的影響。圖2為設(shè)置不同ν時(shí)，EAKF同化SST資料后的垂向溫鹽RMSE。由于同化資料為SST，因此溫度的同化效果要明顯強(qiáng)于鹽度的，在深度較淺時(shí)其優(yōu)勢(shì)更加顯著。對(duì)于溫度變量，使用不同的系數(shù)ν同化SST得到的RMSE在100 m以淺并沒(méi)有顯著差異，且都遠(yuǎn)小于控制實(shí)驗(yàn)的RMSE。而隨著深度的增加，變量與觀測(cè)之間的距離增大，一方面所有實(shí)驗(yàn)的同化效果逐漸削弱，另一方面不同實(shí)驗(yàn)的RMSE出現(xiàn)差異。特別地，當(dāng)深度約為150～300 m時(shí)，在關(guān)閉垂向局地化的Kc0.1vinf實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的RMSE是最小的。根據(jù)式（6）可知，EAKF利用SST更新深層溫度變量的原理是使用SST和給定層溫度之間的相關(guān)性將表層的觀測(cè)增量回歸到深層。因?yàn)樯顚訙囟鹊碾x散度（標(biāo)準(zhǔn)差）很小，僅有O（10?2），所以即使只使用20個(gè)集合成員計(jì)算相關(guān)系數(shù)，表層和深層的相關(guān)系數(shù)也能夠正確表達(dá)。所以，雖然Kc0.1vinf實(shí)驗(yàn)沒(méi)有引入垂向局地化，較深層的溫度也能夠得到正確更新。

圖2 不同垂向局地化方案 EAKF 實(shí)驗(yàn)中區(qū)域平均（60°S～60°N，環(huán)地球）垂向均方根誤差Fig.2 Regional mean (60°S?60°N,ring the earth) root mean square error in EAKF experiments with different vertical localization schemes

另一方面，同化SST對(duì)于鹽度的改進(jìn)基于溫鹽相關(guān)得到。在150 m以淺，仍然可以發(fā)現(xiàn)鹽度變量的RMSE小于控制實(shí)驗(yàn)的RMSE，但是不同垂直局地化方案對(duì)于鹽度同化效果的差異主要在較淺層而非深層出現(xiàn)。同時(shí)，圖2b的結(jié)果表明同化SST時(shí)ν=1 500 m/rad/2 000 m/rad的局地化能更好地改進(jìn)淺層的鹽度，由式（10）可知，在局地化參數(shù)c固定的條件下，對(duì)于淺層的變量，尺度系數(shù)ν越大，dh起到的作用也相對(duì)越大。體現(xiàn)在鹽度上就是相同深度的鹽度變量獲取海表觀測(cè)的信息就越多。所以我們可以斷言，淺層的鹽度同化差異實(shí)際上受到水平局地化的影響更大綜合兩者的討論，在垂直方向不采用局地化是相對(duì)更優(yōu)的方案。

3.1.2 EAKF 局地化參數(shù)

對(duì)EAKF垂直局地化方案的敏感實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，EAKF的同化效果在關(guān)閉垂直方向的局地化時(shí)相對(duì)較好。因此，我們?cè)陉P(guān)閉垂直局地化的基礎(chǔ)上，分析不同參數(shù)c對(duì)應(yīng)的水平局地化方案對(duì)EAKF同化效果的影響，第2組實(shí)驗(yàn)采用的局地化參數(shù)分別為0.05 rad、0.1 rad、0.2 rad、0.3 rad。圖 3 從時(shí)間尺度上分析各物理量RMSE的變化情況。首先分析表層溫度、鹽度（SSS）和海表高度（SSH）變量的RMSE變化情況，如圖3a所示，SST從啟用同化的第2個(gè)月開始就一直保持較小的RMSE，且使用不同參數(shù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果沒(méi)有明顯差異。這是由于SST的觀測(cè)資料比較密集，即使在某個(gè)點(diǎn)的同化中引入虛假更新，也很容易被其他點(diǎn)的正確更新所抵消。而對(duì)其他兩個(gè)變量來(lái)說(shuō)，同化SST并不能立刻減小誤差，需要進(jìn)行一段時(shí)間的持續(xù)同化和模式積分，誤差才能顯著減小，這點(diǎn)對(duì)于SSS特別明顯。圖3b顯示，SSS的RMSE尚處于下降階段，沒(méi)有達(dá)到穩(wěn)定，其同化效果與局地化參數(shù)的大小并沒(méi)有明顯的相關(guān)關(guān)系，在最后3個(gè)月，幾種參數(shù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果沒(méi)有顯著差別。而SSH在局地化參數(shù)稍大時(shí)同化效果較好，這說(shuō)明SST和SSH之間的相關(guān)性較好，不容易產(chǎn)生虛假相關(guān)。

圖3 不同局地化參數(shù) EAKF 實(shí)驗(yàn)中區(qū)域平均（60°S～60°N，環(huán)地球）的均方根誤差時(shí)間序列Fig.3 RMSE time series of regional mean (60°S?60°N,ring the earth) in EAKF experiments with different local parameters

我們進(jìn)一步分析較深層的同化效果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)深度為200 m時(shí)，圖3d和圖3e表現(xiàn)出最優(yōu)同化效果的局地化參數(shù)c=0.1 rad。這是因?yàn)槲覀冴P(guān)閉了垂向局地化功能，因而使得一定水平距離之外的海表觀測(cè)資料能夠無(wú)差別地影響整個(gè)水柱，隨著深度的增加，實(shí)際的距離增大，遠(yuǎn)距離觀測(cè)帶來(lái)的虛假相關(guān)也會(huì)出現(xiàn)。從溫度和鹽度兩個(gè)變量，都可以看出c=0.1 rad的同化效果好于c=0.05 rad，這是因?yàn)楦嗟挠^測(cè)資料被用來(lái)更新200 m深度的變量；而它的同化效果也好于局地化參數(shù)更大的另外兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，這是因?yàn)楹髢烧邥?huì)因?yàn)樘摷傧嚓P(guān)而帶來(lái)虛假的更新。

由于集合濾波器的集合成員數(shù)量有限，在相距較遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)之間會(huì)產(chǎn)生虛假的相關(guān)，造成錯(cuò)誤的更新，這是在EAKF中引入局地化的主要原因。因此，如果可以量化表示給定集合成員數(shù)可能造成的虛假相關(guān)，就可以相應(yīng)地選擇最優(yōu)的局地化參數(shù)。針對(duì)某個(gè)給定點(diǎn)上的觀測(cè)，以1月的控制實(shí)驗(yàn)預(yù)報(bào)值為例，我們使用以下公式定義對(duì)應(yīng)局地化參數(shù)c的虛假相關(guān)占比（Spurious Correlation Ratio,SCR）

圖4為SST相關(guān)系數(shù)的空間分布，我們分別選取了位于太平洋的兩個(gè)點(diǎn)（0°，180°）、（20°S，120°W），位于印度洋的一個(gè)點(diǎn)（20°S，60°E），以及位于大西洋的一個(gè)點(diǎn)（20°N，40°W），計(jì)算了使用不同局地化參數(shù)下的有效相關(guān)系數(shù)，樣本相關(guān)系數(shù)和分析相關(guān)系數(shù)，分別對(duì)應(yīng)圖4中的前4列、第5列以及第6列，圖中的白色區(qū)域表示相關(guān)系數(shù)小于0部分。從圖中可以看出，幾乎所有位置的樣本相關(guān)系數(shù)都大于分析相關(guān)系數(shù)，因此在某些較遠(yuǎn)區(qū)域，樣本會(huì)夸大SST的相關(guān)性，進(jìn)而引入虛假相關(guān)。我們也隨機(jī)選取了其他多個(gè)格點(diǎn)進(jìn)行相同的計(jì)算分析，得到的結(jié)論類似。通過(guò)引入局地化算法，設(shè)置恰當(dāng)?shù)木值鼗霃娇梢栽诒ＷC近距離相關(guān)的前提下去除遠(yuǎn)距離虛假相關(guān)，避免遠(yuǎn)距觀測(cè)引起的錯(cuò)誤更新[23]。

圖4 海表溫度相關(guān)系數(shù)Fig.4 Correlation coefficient of sea surface temperature

我們進(jìn)一步計(jì)算了幾種不同局地化方案下的虛假相關(guān)占比（表2），發(fā)現(xiàn)局地化方案的引入大大減小了虛假相關(guān)的占比。其中當(dāng)局地化參數(shù)c=0.1 rad時(shí)，既不會(huì)因?yàn)榘霃竭^(guò)大而引入一些不必要的虛假相關(guān)，也不會(huì)因?yàn)榫值鼗霃竭^(guò)小而濾去大部分正確相關(guān)。因此c=0.1 rad相對(duì)而言是更優(yōu)的局地化參數(shù)，與前面敏感性實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一致。

表2 SST相關(guān)系數(shù)虛假相關(guān)占比Table 2 Proportion of false correlation in SST correlation coefficient

3.2 LPF 局地化對(duì)同化效果影響

3.2.1 LPF 垂向局地化方案

第3組實(shí)驗(yàn)考慮了LPF垂向局地化方案對(duì)同化效果的影響，類似EAKF局地化實(shí)驗(yàn)，我們首先固定c為 0.1 rad，設(shè)置垂向歸一化系數(shù)ν=500/1000/1500/m/rad。首先，我們從海洋溫度和鹽度RMSE的垂向分布分析LPF垂直局地化對(duì)同化效果的影響。如圖5所示，在淺層，當(dāng)ν=1000/1500/∞m/rad，即對(duì)應(yīng)最大垂向同化距離為200 m/300 m時(shí)，LPF的同化效果較好。由式（10）可知，當(dāng)局地化參數(shù)c固定，垂直距離dv較小且固定時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)到它能同化到的最遠(yuǎn)模式網(wǎng)格點(diǎn)的水平距離dh隨著v的增大而增大。在較淺的深度，v的值越大就能在水平方向取得越多的觀測(cè)資料來(lái)計(jì)算權(quán)重，如果不發(fā)生退化，就能獲得越好的同化效果。而當(dāng)深度較大時(shí)，無(wú)論對(duì)于溫度還是鹽度來(lái)說(shuō)，都可以發(fā)現(xiàn)關(guān)閉垂向局地化的LPF的效果較差，甚至?xí)斐韶?fù)面同化效果—即同化后的誤差反而大于控制實(shí)驗(yàn)（例如大于500 m的溫度誤差）。這是由于粒子濾波器依賴權(quán)重的計(jì)算和重采樣來(lái)更新變量，關(guān)閉垂向局地化意味著所有層都會(huì)根據(jù)表層觀測(cè)計(jì)算的權(quán)重來(lái)重分配樣本，這會(huì)過(guò)度夸張表層觀測(cè)的影響范圍，從而給深層的變量帶來(lái)錯(cuò)誤的更新[24]。綜合溫度和鹽度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)ν=1 000 m/rad，也就是垂向局地化距離為100 m時(shí)，LPF的同化效果最好。

圖5 不同垂向局地化方案 LPF 實(shí)驗(yàn)中區(qū)域平均（60°S～60°N，環(huán)地球）垂向均方根誤差Fig.5 Regional mean (60°S?60°N,ring the earth) root mean square error in LPF experiments with different vertical localization schemes

3.2.2 LPF 局地化參數(shù)

接下來(lái)，我們固定LPF最優(yōu)垂向局地化距離為100 m，分析LPF的不同局地化參數(shù)c對(duì)同化效果的影響。由式（10）可知，考慮垂向局地化的情況下，為了保持垂直方向的局地化距離為100 m，針對(duì)不同的c需要采用不同的ν。圖6為采用不同局地化參數(shù)的LPF同化SST資料后的垂向RMSE，從圖中可以很明顯的看出，LPF的效果對(duì)局地化參數(shù)c非常敏感。當(dāng)c=0.2 rad時(shí)，同化效果非常不理想，這主要是由濾波退化造成的。c的數(shù)值越大，越多的觀測(cè)能同時(shí)影響給定點(diǎn)的權(quán)重，從而導(dǎo)致該點(diǎn)的權(quán)重更容易退化。集合退化會(huì)大大降低粒子濾波器的效率，特別地，我們可以發(fā)現(xiàn)c=0.2 rad時(shí)的鹽度沒(méi)有同化效果。另一方面，當(dāng)c的數(shù)值太小時(shí)，由于獲取資料過(guò)少，無(wú)法正確表達(dá)狀態(tài)變量的概率分布密度函數(shù)，也會(huì)導(dǎo)致同化效果不佳。圖7進(jìn)一步展示了不同局地化參數(shù)得到的分析場(chǎng)的表層變量月平均RMSE演變，不同于圖3，即使只考慮表層變量，局地化參數(shù)對(duì)于同化效果也有很大的影響。我們可以進(jìn)一步確認(rèn)c=0.2 rad會(huì)導(dǎo)致LPF的退化。綜合圖6和圖7的結(jié)果，本實(shí)驗(yàn)中最優(yōu)的LPF局地化參數(shù)c=0.1 rad。

圖6 不同局地化參數(shù) LPF 實(shí)驗(yàn)中區(qū)域平均（60°S～60°N，環(huán)地球）垂向均方根誤差Fig.6 Regional mean vertical root mean square error(60°S?60°N,ring the earth) in LPF experiments with different local parameters

圖7 不同局地化參數(shù) LPF 實(shí)驗(yàn)中區(qū)域平均（60°S?60°N，環(huán)地球）均方根誤差時(shí)間序列Fig.7 Regional mean (60°S?60°N,ring the earth) root mean square error time series in the experiments of LPF with different local parameters

3.3 EAKF 與 LPF 的同化效果比較

最后我們采用最優(yōu)局地化參數(shù)的EAKF與LPF進(jìn)行對(duì)比。圖8比較了EAKF與LPF的RMSE垂向分布。從溫度RMSE可以看出，當(dāng)深度小于100 m時(shí)，LPF（藍(lán)線）同化效果要優(yōu)于 EAKF（紫線），但當(dāng)深度在100～300 m時(shí)，EAKF同化效果要優(yōu)于LPF濾波器。從前面的討論我們很容易理解這個(gè)結(jié)果，這是因?yàn)長(zhǎng)PF需要啟用垂向局地化來(lái)避免深層的錯(cuò)誤更新而EAKF在沒(méi)有垂向局地化的條件下可以通過(guò)相關(guān)系數(shù)（即使很小）來(lái)有效更新深層變量。如果EAKF也使用ν=1 000 m/rad 的局地化，其在 100 m 以下的同化效果和LPF是一樣的（紅線）。對(duì)于鹽度變量，LPF的同化效果整體要略優(yōu)于EAKF，并且在淺層的效果更加明顯，這從一方面也說(shuō)明溫度和鹽度的關(guān)系具有一定的非線性，因而粒子濾波器的表現(xiàn)更好。

圖8 最優(yōu)局地化參數(shù) EAKF、LPF 對(duì)比實(shí)驗(yàn)中區(qū)域平均（60°S～60°N，環(huán)地球）垂向均方根誤差Fig.8 Regional mean (60°S?60°N,ring the earth) vertical root mean square error in the experiments of EAKF and LPF with best local parameters

圖9為最優(yōu)局地化參數(shù)的EAKF和LPF實(shí)驗(yàn)的RMSE之差在海表的空間分布，其中差異由以下公式得到

圖9 最優(yōu)局地化參數(shù) EAKF、LPF 實(shí)驗(yàn)均方根誤差之差空間分布Fig.9 Spatial distribution of the difference between the root mean square error of the EAKF and LPF experiments

由定義，若它們之差大于0，則表示LPF的同化效果優(yōu)于EAKF；若他們之差小于0，則相反。圖中可以明顯的看出LPF對(duì)于SST的同化效果要優(yōu)于EAKF，除了北太平洋和赤道東太平洋的小部分區(qū)域外，LPF的誤差都相對(duì)較小。對(duì)于SSS和SSH來(lái)說(shuō)，兩種濾波器同化效果互相有優(yōu)劣。在一些典型海區(qū)（如印度洋、大西洋），LPF對(duì)鹽度同化略有優(yōu)勢(shì)。而對(duì)于赤道太平洋，LPF對(duì)于SSH的同化效果更好。我們?cè)诒?進(jìn)一步計(jì)算了不同區(qū)域的平均RMSE以及同化影響（Influence of Assimilation,IOA）并進(jìn)行比較。其中IOA定義如下：

表3 最優(yōu)局地化參數(shù)EAKF、LPF不同區(qū)域平均均方根誤差（RMSE）、同化影響（IOA）對(duì)比Table 3 Comparison table of mean root mean square error (RMSE) and influence of Assimilation (IOA) of EAKF and LPF in different regions

顯然LPF的SST同化效果在所有海區(qū)都優(yōu)于EAKF。LPF對(duì)SSS的同化效果在印度洋和大西洋的優(yōu)勢(shì)也非常顯著。而對(duì)于SSH來(lái)說(shuō)，EAKF的同化效果全面優(yōu)于LPF。實(shí)際上，我們發(fā)現(xiàn)使用集合成員有限的EAKF同化SST對(duì)于SSH的改進(jìn)效果本身就不是非常顯著，其結(jié)果受到了局地化以外的很多其他因素（如平均動(dòng)力地形MDT，集合離散度，跨變量相關(guān)系數(shù)等）的影響，因此還需要更多的研究來(lái)進(jìn)一步解釋兩種不同同化格式對(duì)于SSH的同化效果差異。

4 討論與展望

本文在大型地球系統(tǒng)模式CESM中開展了SST資料的同化實(shí)驗(yàn)?？疾炝司值鼗桨负蛥?shù)對(duì)于集合調(diào)整卡爾曼濾波器和局地化粒子濾波器兩種同化方法的效果的影響，并對(duì)兩種方法進(jìn)行了比較。

其中，集合卡爾曼濾波器使用變量之間的相關(guān)性來(lái)傳遞觀測(cè)點(diǎn)的更新量。為此我們提出了一個(gè)虛假相關(guān)占比公式，對(duì)集合樣本的相關(guān)和真實(shí)的相關(guān)進(jìn)行比較，判別局地化對(duì)于抑制遠(yuǎn)距離虛假相關(guān)的貢獻(xiàn)，并以此為依據(jù)選擇局地化參數(shù)。在垂直方向，我們發(fā)現(xiàn)由于深層變量的集合離散度較小，在同化SST資料的時(shí)候不需要特別采用垂向局地化就能達(dá)成效果。而局地化粒子濾波器基于使用局部觀測(cè)來(lái)決定不同位置變量的權(quán)重，并利用重采樣方法進(jìn)行更新，因此局地化參數(shù)對(duì)于粒子濾波器的影響更大。我們必須謹(jǐn)慎選擇局地化參數(shù)來(lái)避免粒子濾波器的退化，否則會(huì)產(chǎn)生負(fù)面的同化效果。此外我們也驗(yàn)證了垂直方向的局地化對(duì)于LPF是必要的。

選用最優(yōu)局地化方案的兩種濾波器的對(duì)比表明，LPF在淺層的同化效果比EAKF好，在較深層，由于垂向局地化的影響，LPF的效果略差于EAKF。由于粒子濾波器在理論上不含高斯分布假設(shè)，比較適用于非線性的系統(tǒng)和誤差，在實(shí)驗(yàn)中LPF對(duì)于鹽度的變量的同化優(yōu)勢(shì)也比較明顯。

綜上，本文驗(yàn)證了粒子濾波器在全球耦合氣候模式中的可行性，強(qiáng)調(diào)了有效的局地化策略對(duì)于避免濾波退化和改進(jìn)同化效果方面的重要性。通過(guò)與集合卡爾曼濾波器的同化效果對(duì)比，我們進(jìn)一步揭示了局地化粒子濾波器這一種新興算法在未來(lái)具有非常大的潛力被應(yīng)用于復(fù)雜模式的業(yè)務(wù)化同化系統(tǒng)中。

當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)僅考慮了同化SST資料過(guò)程中的局地化方案，對(duì)于其他的觀測(cè)資料類型，如溫鹽廓線資料和海表面高度異常資料，其結(jié)論不一定相同。另一方面，當(dāng)前的工作僅考慮使用20個(gè)集合成員進(jìn)行計(jì)算，與局地化相關(guān)的結(jié)論也有一定的限制。我們將在下一階段的工作中，進(jìn)一步考慮使用不同的濾波器對(duì)于多源海洋觀測(cè)資料的同化效果差別以及局地化方案的選擇策略，也將進(jìn)一步嘗試不同集合成員數(shù)對(duì)于同化效果的影響。