謝元平，范會迎，王子超，羅 暉，于旭東

（國防科技大學(xué)前沿交叉學(xué)科學(xué)院，長沙 410073）

慣性測量單元（Inertial Measurement Unit, IMU）誤差的標定是捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)（Strapdown Inertial Navigation System, SINS）誤差補償?shù)囊豁椫匾夹g(shù)。系統(tǒng)級標定法通過慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航解算誤差，建立IMU輸入輸出精確的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，可以實現(xiàn)慣導(dǎo)系統(tǒng)現(xiàn)場標定、自標定[1-2]，且具有不需要高精度轉(zhuǎn)臺等測試設(shè)備、不需要測量記錄陀螺或加速度計的輸出等優(yōu)點，彌補了傳統(tǒng)分立式標定法精度低的不足。在系統(tǒng)級標定旋轉(zhuǎn)方案研究方面，要以誤差傳遞解耦和提高誤差參數(shù)的可觀測性為目的進行方案編排。文獻[3]設(shè)計了一種25位置轉(zhuǎn)動編排方式，額外考慮了加速度計的二次項誤差和內(nèi)桿臂的誤差，驗證了其可行性。文獻[4]設(shè)計了1套10位置旋轉(zhuǎn)編排方案，相較以前的方案所需時間更短、精度更高，具有較好的工程應(yīng)用參考價值。文獻[5]給出了一種SAGEM公司使用的激光陀螺捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)濾波標定方法，設(shè)計了一種18位置的標定方案，可以達到導(dǎo)航級慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的標定精度要求。

目前，國內(nèi)外高精度捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)廣泛采用了旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)，以抵消慣性測量單元誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響[6-8]。合理的旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案，既要盡量避免引入由旋轉(zhuǎn)運動引起的累積導(dǎo)航誤差，又要盡可能減小零偏、標度因數(shù)誤差和安裝誤差等器件誤差帶來的導(dǎo)航誤差。相比于單軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案，雙軸方案能夠調(diào)制三個軸向上的器件誤差，抑制系統(tǒng)誤差隨時間的積累[9]。文獻[10]分析指出，在傳統(tǒng)靜電陀螺8次序旋轉(zhuǎn)方案中，安裝誤差引起的數(shù)學(xué)平臺誤差角度不斷累積，會引起一個不斷增長的導(dǎo)航誤差。作者將該方案中后4個次序反向旋轉(zhuǎn)，設(shè)計了一種能夠抵消所有安裝誤差的改進的8次序旋轉(zhuǎn)方案。最后設(shè)計了一種16次序旋轉(zhuǎn)方案，解決了改進后的8次序方案中仍存在標度因數(shù)不對稱性誤差補償不完全、計算誤差累積等問題。文獻[11]提出了一種改進式的16次序調(diào)制方案，該方案不僅能調(diào)制零偏誤差、安裝誤差和標度因數(shù)誤差，還能有效地減小由陀螺安裝誤差引起的速度和位置誤差振蕩，明顯提高定位精度。文獻[12]提出了一種64次序旋轉(zhuǎn)方案，該方案將64次序的旋轉(zhuǎn)順序分為四個小周期，其針對由對稱性標度因數(shù)誤差引起的姿態(tài)角誤差的調(diào)制效果比16次序旋轉(zhuǎn)方案更為理想。目前國內(nèi)旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)普遍采用文獻[10]提出的16次序方案，其他方案在實踐中并不多見。文獻[13]提出了6條兼具自標定與旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能的旋轉(zhuǎn)方案的設(shè)計原則，并具體給出了一種48次序一體式旋轉(zhuǎn)方案，該方案不僅降低了實際操作的復(fù)雜性，而且對安裝誤差的調(diào)制效果優(yōu)于傳統(tǒng)16次序方案，相比18位置標定方案對器件誤差參數(shù)的標定結(jié)果更精確。但是該旋轉(zhuǎn)方案仍然存在旋轉(zhuǎn)次序冗余，誤差調(diào)制周期過長等問題。

本文將基于文獻[13]提出的6條設(shè)計原則，首先給出一種改進的40次序旋轉(zhuǎn)方案，然后根據(jù)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差傳播方程，對系統(tǒng)的可觀測性和誤差傳播特性進行分析，證明該方案可以同時實現(xiàn)自標定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能，并對比該方案與傳統(tǒng)16次序方案、18位置方案和48次序方案對各誤差狀態(tài)量的標定效果和對器件誤差的旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果。最后，通過仿真和實驗對比40次序方案、48次序方案的導(dǎo)航性能，并給出結(jié)論。

1 旋轉(zhuǎn)調(diào)制式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)

采用捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)φ角誤差方程描述旋轉(zhuǎn)過程中誤差傳播特性[14]：

式中：n表示導(dǎo)航坐標系，s表示IMU坐標系，i表示地心慣性系，e表示地球坐標系，b表示載體坐標系；φ為數(shù)學(xué)平臺姿態(tài)角誤差，v、δv分別表示數(shù)學(xué)平臺速度及其誤差，ω、δω分別為角速度及其誤差，f、δf分別表示加速度計測量比力及其誤差；δg為重力偏差，為從IMU坐標系到導(dǎo)航坐標系的變換矩陣。

旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)通過旋轉(zhuǎn)機構(gòu)控制IMU轉(zhuǎn)動，可以周期性改變使誤差傳播模型中的數(shù)學(xué)平臺誤差項和在一個周期內(nèi)的積分為零，即由慣性器件誤差造成的數(shù)學(xué)平臺姿態(tài)角誤差的均值為零，以此消除慣性器件誤差累積對導(dǎo)航結(jié)果的影響。其中陀螺和加速度計的輸入輸出誤差模型為：

在靜基座條件下，IMU載體無線運動和角運動，假設(shè)初始時刻n、b、s三系重合，即I為單位矩陣，且轉(zhuǎn)動過程中始終有ωen=0、ωnb=0。以陀螺誤差為例，在一個旋轉(zhuǎn)周期T內(nèi)其引起的姿態(tài)角誤差為：

設(shè)陀螺誤差矩陣用E表示：

其中E11、E22、E33分別表示三個陀螺的標度因數(shù)誤差，其它元素表示安裝誤差。

僅考慮旋轉(zhuǎn)運動與器件誤差的耦合，忽略地球自轉(zhuǎn)，則式(3)化為：

2 一體式旋轉(zhuǎn)方案設(shè)計

根據(jù)文獻[13]中的6條設(shè)計原則，提出一種改進的40次序自標定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制一體式旋轉(zhuǎn)方案，示意圖如圖1所示。

圖1 40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案Fig.1 The unified 40-sequence rotation scheme

圖中U、E為導(dǎo)航坐標系的天向軸和東向軸，A～D、A′～D′為8個滯停位置，虛線表示零偏矢量→ε在旋轉(zhuǎn)過程中的運動軌跡(初始位置為A)，1～40表示40個旋轉(zhuǎn)次序。該方案繞水平兩軸翻轉(zhuǎn)，具體旋轉(zhuǎn)次序如表1所示，其中x、y、z為IMU的三個軸。

表1 詳細旋轉(zhuǎn)方案Tab.1 The detailed rotation scheme

設(shè)置轉(zhuǎn)速為12°/s，每個次序結(jié)束后的滯停時長為60 s，則在IMU系下，16次序方案、48次序方案和40次序方案在一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)繞IMU各軸的旋轉(zhuǎn)角度如圖2所示?？梢钥闯觯?6次序方案繞x、z軸的旋轉(zhuǎn)角度范圍為-720 °～720 °，而48次序方案和40次序方案繞IMU各軸旋轉(zhuǎn)角度范圍為-360 °～360 °，避免了IMU繞同一個軸旋轉(zhuǎn)角度過大。

圖2 三種方案下IMU各軸旋轉(zhuǎn)角度Fig.2 The rotation angle around each IMU axis of the three scheme

3 可觀測性分析和誤差分析

3.1 可觀測性分析

為證明40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案可實現(xiàn)對誤差參數(shù)的自標定功能并對比標定效果，本節(jié)將進行基于分段線性定常系統(tǒng)（PWCS）的可觀測性分析和基于奇異值分解（SVD）的可觀測度分析[15-17]。

建立30維度卡爾曼濾波標定方程：

其中X(t)為狀態(tài)向量，A(t)為系統(tǒng)矩陣，W(t)為激勵噪聲。狀態(tài)向量取為：

式中δλ、Lδ、hδ分別為經(jīng)度誤差、緯度誤差和高度誤差。

卡爾曼濾波器件的量測方程為：

式中Z(t)為量測量，V(t)為系統(tǒng)量測噪聲，是系統(tǒng)量測矩陣。

對系統(tǒng)進行分段線性化，利用提取可觀測性矩陣（SOM）代替總體可觀測性矩陣（TOM）進行可觀測性分析，針對18位置方案和40次序方案分別計算各位置SOM的秩，結(jié)果如表2所示?？梢钥吹?，經(jīng)過四個次序的旋轉(zhuǎn)后，40次序方案中SOM的秩達到了30，等于濾波器的維數(shù)，證明該系統(tǒng)完全可觀。此外40次序方案SOM的秩比18位置方案更早一步達到30，說明40次序方案能夠更快觀測全部狀態(tài)變量。

表2 各位置SOM的秩Tab.2 Ranks of the SOM

系統(tǒng)提取可觀測性矩陣SOM的奇異值大小與可觀測程度大小呈正相關(guān)，奇異值越大，對應(yīng)狀態(tài)向量的觀測效果越好。分別給出18位置方案、48次序方案和40次序方案均旋轉(zhuǎn)48個次序后各狀態(tài)量對應(yīng)SOM的奇異值，結(jié)果如表3所示。

表3 各狀態(tài)量對應(yīng)SOM的奇異值Tab.3 Singular values of parameters

相比于18位置方案，40次序方案大部分狀態(tài)量對應(yīng)的SOM奇異值均更大，說明40次序方案可觀測程度更高，標定結(jié)果更容易接近真實值。對于部分狀態(tài)量，40次序方案中其對應(yīng)SOM奇異值大于48次序方案，說明對這些狀態(tài)量可觀測度更高。

3.2 誤差分析

為證明本文提出的40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案可實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能并對比旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果，本節(jié)將以陀螺誤差項為例對其傳播特性進行分析。

根據(jù)式(5)，計算一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)由E引起的數(shù)學(xué)平臺姿態(tài)角誤差：

可以看到，在一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)對于誤差E有說明在的時間內(nèi)由E引起的數(shù)學(xué)平臺姿態(tài)角誤差被調(diào)制為0，在一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)不會造成誤差累積，能夠達到調(diào)制標度因數(shù)誤差和安裝誤差的目的。

圖3給出了16次序方案和40次序方案在一個小時的時間內(nèi)，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)調(diào)制后由陀螺安裝誤差(5″)造成的北向姿態(tài)角誤差對比結(jié)果?？梢钥吹?，本文提出的40次序方案的北向姿態(tài)角誤差均值和峰值都小于16次序方案，可以推測由該姿態(tài)角誤差與重力耦合引起的鋸齒形速度誤差也將更小，證明了本文提出的40次序方案可以對安裝誤差有更好的調(diào)制效果。

圖3 陀螺安裝誤差引起的北向數(shù)學(xué)平臺姿態(tài)角誤差對比Fig.3 The comparison of northward mathematical platform misalignment angle errors caused by the gyro misalignment errors

圖4 n系下陀螺零偏引起的數(shù)學(xué)平臺姿態(tài)角誤差對比Fig.4 The comparison of mathematical platform misalignment angle errors in ‘n frame’ caused by gyro drifts

4 仿真與實驗驗證

文獻[13]中仿真和實驗結(jié)果已經(jīng)表明，相比于傳統(tǒng)18位置自標定方案和16次序旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案，48次序一體式方案減小了導(dǎo)航速度誤差和定位誤差，提高了導(dǎo)航精度。本節(jié)仿真和實驗主要對比48次序方案和40次序方案的導(dǎo)航結(jié)果。

4.1 仿真驗證

4.1.1 自標定仿真驗證

為對比18位置方案、48次序方案和本文提出的40次序方案對器件誤差參數(shù)的標定效果，現(xiàn)分別采用這三種方案進行4 h自標定仿真，結(jié)果如表4所示?？梢钥闯觯啾扔趥鹘y(tǒng)18位置方案，40次序方案的標定結(jié)果更接近真實值。

表4 自標定仿真結(jié)果Tab.4 Simulation results of self-calibration

4.1.2 旋轉(zhuǎn)調(diào)制仿真驗證

利用MATLAB進行導(dǎo)航仿真，條件設(shè)置如表5。圖5(a)為48次序方案和40次序方案分別進行三天旋轉(zhuǎn)調(diào)制仿真后產(chǎn)生的東向、北向速度誤差，圖5(b)為兩種方案的導(dǎo)航位置誤差。48次序方案產(chǎn)生的東向、北向速度誤差最大值分別為0.53 m/s和0.76 m/s，位置誤差最大為0.36 nm。而40次序方案產(chǎn)生的東向、北向速度誤差分別為0.43 m/s和0.62 m/s，位置誤差最大為0.31 nm，導(dǎo)航誤差略小于48次序方案，說明40次序方案對誤差的調(diào)制效果更好，進一步提升了捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航精度。

表5 仿真參數(shù)設(shè)置Tab.5 Parameters used for simulations

圖5 48次序方案和40次序方案的速度誤差和位置誤差對比Fig.5 The comparison of velocity and position errors for the 48-sequence scheme and the 40-sequence scheme

4.2 實驗驗證

實驗系統(tǒng)如圖6所示，其組成包括某型IMU、三軸轉(zhuǎn)臺、旋轉(zhuǎn)機構(gòu)控制端和數(shù)據(jù)接收端。IMU中三個激光陀螺的零偏穩(wěn)定性優(yōu)于0.003°/h，三個石英加速度計的零偏穩(wěn)定性優(yōu)于10μg。

圖6 實驗系統(tǒng)圖Fig.6 The diagram of the experimental system

為驗證40次序一體式方案對自標定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能具有提升效果，進行以下對比實驗：1.為期3天的48次序一體式方案導(dǎo)航實驗；2.為期3天的40次序一體式方案導(dǎo)航實驗。

兩組實驗前4 h用于自標定和初始對準，后72 h進行旋轉(zhuǎn)調(diào)制導(dǎo)航。兩組實驗溫度均設(shè)為恒溫25 ℃，同時設(shè)置相同的轉(zhuǎn)速、滯停時間等條件，導(dǎo)航結(jié)果如圖7所示?？梢钥吹?，相比于48次序方案，40次序方案的東向和北向速度誤差最大值分別減少了0.09 m/s和0.11 m/s，位置誤差最大值減少了0.055 nm，速度精度和位置精度分別提高了約20%和12%，說明40次序方案對器件誤差的標定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果更優(yōu)，能夠有效提高導(dǎo)航精度。

圖7 速度誤差和位置誤差對比Fig.7 The comparison of velocity errors and position errors

5 結(jié) 論

本文針對捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)48次序一體式旋轉(zhuǎn)方案的旋轉(zhuǎn)周期過長，旋轉(zhuǎn)次序存在冗余的問題，提出了一種改進的40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案。通過可觀測性分析和誤差分析，證明了該方案不僅兼具自標定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能，而且對器件誤差狀態(tài)量的可觀測度高于18位置方案和48次序方案，對安裝誤差的調(diào)制效果優(yōu)于傳統(tǒng)16次序方案，對零偏誤差的調(diào)制效果優(yōu)于48次序方案。仿真和實驗結(jié)果表明，40次序方案在3天內(nèi)分別提高了約20%和12%的速度精度和位置精度。下一步可以針對是否存在旋轉(zhuǎn)次序更少、標定或調(diào)制效果更優(yōu)的一體式方案開展研究。