劉英英

摘要：對2021年北京中考壓軸題從試題結(jié)構(gòu)、知識能力、素材題源、解法探究、變式拓展等角度進行詳細分析，提出增強單元意識、增長數(shù)學(xué)見識、技術(shù)賦能的教學(xué)啟示，指向?qū)W科育人.

關(guān)鍵詞：幾何直觀?數(shù)形結(jié)合單元數(shù)學(xué)見識

1?試題呈現(xiàn)

（2021年北京市中考第28題）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1.對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分別是B，C的對應(yīng)點），則稱線段BC是⊙O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

（2）△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A（0，t），其中t≠0.若BC是⊙O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的值;

（3）在△ABC中，AB=1，AC=2.若BC是⊙O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長.

2?試題簡析

新定義“關(guān)聯(lián)線段”既熟悉又陌生，旋轉(zhuǎn)和圓已熟知但課本或其他素材從未將二者相結(jié)合，也不是高中的某個知識點;單獨利用旋轉(zhuǎn)或圓的知識去解決問題，已經(jīng)積累了一定的解題經(jīng)驗和解題模型，但二者結(jié)合背景下的新定義題，不是簡單的知識綜合應(yīng)用，而是現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，需要獨立自主學(xué)習(xí)，調(diào)取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，靈活應(yīng)變解決問題的能力，壓軸題指向能力立意評價.

知識層面分析：“把一個平面圖形繞平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)”“平面內(nèi)，線段OA繞它固定的端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A形成的圖形叫做圓”，旋轉(zhuǎn)是一個運動過程，圓是這個運動的結(jié)果，圓是特殊的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)與圓研究的是動點與定點之間的關(guān)系——位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.點與點、點與直線、點與形的關(guān)系是幾何核心內(nèi)容.能力層面分析：新定義、新背景下解決問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀、幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力，指向數(shù)學(xué)思考，引發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)新.對學(xué)生而言，在自主學(xué)習(xí)的過程中獨立思考、更學(xué)會思考，最終形成自己的學(xué)科思維，探究知識的過程和獲得的結(jié)果都屬于創(chuàng)新.試題沒有知識前置的痕跡，無需解題技巧和解題模型，更沒有競賽的影子，但為高中后續(xù)認識和理解點與平面、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系奠定基礎(chǔ)，分析問題、解決問題的能力一以貫之.高中課程突出幾何直觀與代數(shù)運算的融合，在原有知識結(jié)構(gòu)不變的前提下，將核心知識相關(guān)聯(lián)，以數(shù)觀形，以形顯數(shù)，數(shù)形雙向流動，特殊一般相結(jié)合，從概念出發(fā)突出學(xué)科通法.試題3問低起點高定位，為不同基礎(chǔ)和不同能力的考生搭建了思維的平臺，實現(xiàn)了試題的分層評價功能.題源素材分析：中考試題選材常常以教材為“源”，教材章引言、例習(xí)題、圖形等是素材.北師大版八年級下冊第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》3.4隨堂練習(xí)，九年級下冊第三章《圓》單元復(fù)習(xí)題18、19均有這道中考題的影子.八年級下冊第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》3.4隨堂練習(xí)：1.如圖，四邊形ABCD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與四邊形ADEF重合.（1）指出這一旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角;（2）寫出圖中相等的線段和相等的角.（第1題）?（第2題）2.如圖，你能繞點O旋轉(zhuǎn)，使得線段AB與線段CD重合嗎？為什么？九年級下冊第三章《圓》單元復(fù)習(xí)題18、19：18.已知A為⊙O上的一點，⊙O的半徑為1，⊙O所在的平面上另有一點P.（1）如果PA=5，那么點P與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？（2）如果PA=3，那么點P與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？（第19題）19.如圖，等邊三角形OBC的邊長為10，點P沿O→B→C→O的方面運動，⊙P的半徑為3，⊙P運動一圈與△OBC的邊相切多少次？點P分別在什么位置？

人教版九年級上冊第二十四章《圓》小結(jié)回顧與思考設(shè)問：“圓的位置及大小由哪些要素確定？如何從點的集合角度理解圓的概念”，問題引領(lǐng)學(xué)生用運動變化的視角認識圓.“關(guān)聯(lián)線段”源自教材又超越教材，是已有知識的延伸與生長，點線是種子，圖形（網(wǎng)格、平面直角坐標系）是載體，幾何直觀是方法.面對新問題，在沒有模型可類比、沒有經(jīng)驗可借鑒時，就要回歸研究對象的本體，教材為中考試題提供經(jīng)典素材.3?解法探究

考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力，將文字描述轉(zhuǎn)化為圖形和符號語言，讀懂“關(guān)聯(lián)線段”條件、結(jié)論、操作規(guī)則，用數(shù)學(xué)工具“做”即可.用圖形和數(shù)量去表現(xiàn)概念的物理屬性，是從“抽象到具體”的實踐過程，三種語言相互轉(zhuǎn)換，多形式演繹表現(xiàn)是概念學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié).解法1?以“形”引思：以A為圓心，分別以AB1，AC1為半徑做圓，依據(jù)概念圓環(huán)與⊙O有交點，交點構(gòu)成的弦長與B1C1相等時，即為關(guān)聯(lián)線段.B2C2、B3C3同理可得，也可以構(gòu)成圖形△AB1C1，通過整體旋轉(zhuǎn)進行判斷，兩種解法的不同在于看點、看形，共性是旋轉(zhuǎn)，“弦”在心中數(shù)相隨.解法2?以“數(shù)”明思：點A到⊙O的最小距離為2-1，最大距離2+1，依據(jù)新定義，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心A的距離范圍在2-1

第（2）問?點A從位置確定到y(tǒng)軸動點，旋轉(zhuǎn)中心從單純的點到圖形等邊三角形頂點，條件從約束到半約束，從點線關(guān)聯(lián)進入形關(guān)聯(lián)，圖形漸漸“豐滿”體現(xiàn)概念的“骨干”，等邊三角形邊長為1與⊙O半徑相同，點A在y軸上，可能的位置“正負半軸”，與圓相結(jié)合，點A在⊙O上、⊙O內(nèi)、⊙O外分類討論自然而來.

先定形再分類，直觀促邏輯，邏輯引推理，畫圖是關(guān)鍵.

解法2?轉(zhuǎn)譯顯形，化動為靜.第（2）問動態(tài)問題可以通過“轉(zhuǎn)譯”問題實現(xiàn)化動為靜.例如：“直角坐標系中半徑為1的⊙O，弦B′C′=1，y軸上點A（A不在原點），構(gòu)造等邊△AB′C′，求A的坐標”;或者“如圖，直角坐標系中半徑為1的⊙O，點A在y軸上，⊙A與⊙O半徑相等，兩圓公共弦B′C′=1，求A的坐標”.學(xué)生遇到動點問題，難免產(chǎn)生畏難心理，語言的“轉(zhuǎn)譯”讓問題變的簡單，第（2）問兩種解法實質(zhì)是相同的，著眼點在“旋轉(zhuǎn)得到⊙O的弦”，此時研究重心是點與形的關(guān)系.

第（3）問?第（3）問的解答分兩步進行，先確定OA的最值，再計算BC長.

第一步，確定OA的最值.

解法1?條件中AB=1，AC=2，隱含以A為圓心的同心圓，點A從y軸上的動點，變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺讼祪?nèi)的點，BC由確定到不確定，三角形由特殊到一般動態(tài)呈現(xiàn)，綜合性逐步上升指向數(shù)學(xué)思維，關(guān)注解題“通法”.先畫圖找到最值點，以圖啟思，用圖助思，實現(xiàn)從直覺到直觀.延續(xù)第（2）問“轉(zhuǎn)譯”，回歸關(guān)聯(lián)線段定義，“旋轉(zhuǎn)得到⊙O的弦”轉(zhuǎn)化為同心圓⊙A與⊙O的位置關(guān)系，兩圓位置關(guān)系由圓心距與兩圓半徑數(shù)量關(guān)系確定，即AO長度.兩圓相切、相交、相離，OA最值即為邊界值，數(shù)定形實現(xiàn)了一般到特殊，如圖3.

此時，兩圓之間的關(guān)系并不受點A位置的影響，所以也可以取A點為軸上點，則題目變的更容易理解.第（1）問的啟示也可以從圓環(huán)與⊙O的位置關(guān)系思考，最終轉(zhuǎn)化到圓與圓的位置關(guān)系，其實質(zhì)相同.設(shè)點A（t，0），因為大⊙A半徑為2，小⊙A半徑為1，⊙O半徑為1，所以當1

第（3）問變式2：如果將題中“線段BC繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B′C′”變?yōu)椤瓣P(guān)于以直線l對稱可以得到⊙O的弦B′C′”你還可以提出哪些問題;

概念類比，指向知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，揭示內(nèi)在聯(lián)系，理解本質(zhì)辨異同，實現(xiàn)從概念到關(guān)系到結(jié)構(gòu).策略類比，指向解法遷移，延伸經(jīng)驗強化學(xué)法，通過“變”滲透推理方法、提升推理能力.

5?教學(xué)啟示

這道中考壓軸題連續(xù)三問，起于概念又落于概念，旋轉(zhuǎn)中心從定點到區(qū)域點到任意點，最終都轉(zhuǎn)化為圖形基本元素點與點之間的關(guān)系“數(shù)量定位置”.刷題留下的模型短暫而有限，碎片的“技”不足以應(yīng)對千變?nèi)f化的“形”，有模型還要破定勢.圖形是工具，讓直觀促直覺，讓直覺引推理，由表及里協(xié)同發(fā)展，實現(xiàn)形促數(shù)定、數(shù)引形分，思想與方法不斷內(nèi)化.解題的過程即是思維爬坡的過程，考查的是思維遞進的深度，引導(dǎo)的是教學(xué)向核心處延伸，考查的是學(xué)生“真實學(xué)力”，引導(dǎo)的是教學(xué)中的視角，由題、由解題、由師生解題引發(fā)對教學(xué)的深思.

5.1?見微有為，知著尋脈，構(gòu)建單元意識

平面幾何研究基本元素及元素之間的關(guān)系，點就是基本元素，關(guān)系就在概念中，從概念出發(fā)尋找生長點、延伸點，圖形變換、結(jié)構(gòu)分析、數(shù)量刻畫、邏輯推理從“直觀”開始，見微有為動中找定從“看圖”做起.教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生有意識的看——“看元素、看位置、看結(jié)構(gòu)、看邊界”，有意識的想——“想關(guān)系、想數(shù)量、想特殊、想變換”，從基本元素“點、線、角”到基本位置“平行、相交”，從基本圖形到基本圖形之間的關(guān)系——全等、相似、圖形變換等，所有圖形的變化生長都圍繞“點、線、角”，著力點在“數(shù)與形”，策略在“特殊與一般”，滲透用概念思考問題和解決問題的意識，會看圖更會思圖.顯性的素材隱性的結(jié)構(gòu)，從系統(tǒng)的視角尋找生長的脈絡(luò)，從單元到課時系統(tǒng)化設(shè)計目標達成，從細究“點”轉(zhuǎn)向探尋“脈”，見樹更見森林，于經(jīng)驗處遷移、于結(jié)論處生長、于“內(nèi)核”處聯(lián)結(jié)，構(gòu)建單元意識，知著尋脈讓學(xué)習(xí)自然發(fā)生.

5.2?析辯養(yǎng)智，思行育識，增長數(shù)學(xué)見識

新定義題以中考試題呈現(xiàn)，考查學(xué)生真實學(xué)力和解決問題的能力.解題即解決問題，當從A點切入不能解決問題時，如何轉(zhuǎn)換視角，轉(zhuǎn)化思維，“化”的能力對學(xué)生及我們一線老師提出更高要求.學(xué)數(shù)學(xué)不僅是知識更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，解題、析題、賞題，思維隨題而縱深發(fā)展，通過解題去體會命題人的智慧，析辯養(yǎng)智.知識易得見識難求，相同情景的近遷移到陌生環(huán)境的遠遷移，逐層抽象中核心要素關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化，運用思維規(guī)律去解決問題，聚焦通性通法.從老師的解題到解題教學(xué)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效能，從核心知識的精準把握到指向核心素養(yǎng)學(xué)科育人，從“知其然、知其所以然”到“知何由以知其所以然”到“然可再然”，思行育“識”，育知識更育膽識.

5.3?技術(shù)賦能，賡續(xù)力量，識變促應(yīng)變

移動技術(shù)、“互聯(lián)網(wǎng)+”師生共享技術(shù)紅利，技術(shù)的浸潤讓教學(xué)環(huán)境更豐富，教師與學(xué)生已經(jīng)將信息技術(shù)視為學(xué)科教學(xué)的核心要素之一.用技術(shù)變革教學(xué)結(jié)構(gòu)，用技術(shù)優(yōu)化教學(xué)活動，用技術(shù)提升教學(xué)質(zhì)量，技術(shù)與學(xué)科深度融合，構(gòu)建新型教學(xué)生態(tài)環(huán)境，”互聯(lián)網(wǎng)+教育+數(shù)學(xué)+畫板”讓抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容更加靈動，技術(shù)賦能讓數(shù)學(xué)可操作探究、可大膽實驗，實現(xiàn)動靜直觀、可視呈現(xiàn)，從“隨意操作→規(guī)律發(fā)現(xiàn)→有序思考→自我建構(gòu)”，用技術(shù)的終極目的是“不用”，遷移內(nèi)化培養(yǎng)真實學(xué)力.新時代下教學(xué)有“道”有“理”還要有“術(shù)”，晰“道”學(xué)科價值、確“理”科學(xué)方法、借“術(shù)”賡續(xù)力量，識變應(yīng)變.

參考文獻

[1]《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》.中華人民共和國教育部制定

[2]娜仁格日樂.《數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與初中數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系》.[J]東北師大學(xué)報：哲學(xué)社會科學(xué)版，2019.6.118-124.

[3]陳艷.《基于類比思想進行變式訓(xùn)練培養(yǎng)初中生邏輯推理的核心素養(yǎng)》.[J]課程教育研究，2018.13.154.

[4]申海東.《對“新定義題型”的若干思考——以北京中考試題為例》.[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2020.03.66-69.

[5]王佩成.《一道高考解析幾何題的解法評析和溯源》.[J]上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2021.03.36-39.

[6]孫彬博.《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)“深度融合”：理想與現(xiàn)實》.[J]教育研究與實驗，2019.5.45-50.