趙千惠 張維忠

【摘?要】基于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要作用，挖掘勾股數(shù)與斐波那契數(shù)列之間的密切關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)了一節(jié)以勾股數(shù)的生成公式為主題的教學(xué)課例，展示了學(xué)生多角度處理同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀體驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】勾股數(shù);教學(xué)課例;數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)聯(lián)系

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，不論什么國(guó)家、什么民族，只要是具有自發(fā)的（不是外來(lái)的）古老文化，他們都會(huì)說(shuō)：我們首先認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)定理就是勾股定理[1].而勾股數(shù)作為勾股定理的子概念，不僅具有重要的應(yīng)用價(jià)值，而且其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法更有教育價(jià)值，因此備受關(guān)注.譬如，以勾股數(shù)為載體的中考題時(shí)有所見(jiàn)：

（2017年宜昌第20題）閱讀：能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù).世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其中的勾股數(shù)公式為：

其中m>n>0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù).

應(yīng)用：當(dāng)n=1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊的長(zhǎng).

此外，2005年山西臨汾、2004年福建三明等其他地區(qū)中考題中也均出現(xiàn)了該主題內(nèi)容，以探求勾股數(shù)的相關(guān)規(guī)律及凸顯其實(shí)用性.

可見(jiàn)，在初中階段學(xué)完勾股定理及其逆定理的相關(guān)內(nèi)容后，給學(xué)生拓展《勾股數(shù)的生成公式》一課，重新經(jīng)歷歷史上人們的探索過(guò)程，從而體會(huì)求勾股數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法，感受勾股數(shù)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)精神和價(jià)值就顯得十分必要[2].同時(shí)，教師在處理教學(xué)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)深入挖掘與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，并在教學(xué)中通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)是有趣的，好玩的，美妙的[3].基于此，本文給出一節(jié)筆者設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)教學(xué)課例，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要作用，同時(shí)為學(xué)生提供一次感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間密切聯(lián)系的機(jī)會(huì).

1?課例：勾股數(shù)的生成公式

1.1?提出問(wèn)題，探索勾股數(shù)的生成公式

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了勾股定理及其逆定理，把滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)，在西方則叫做畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組.從古巴比倫的數(shù)學(xué)泥板見(jiàn)證了人類歷史上最早有關(guān)勾股數(shù)的研究開(kāi)始，再到我國(guó)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《周髀算經(jīng)》中記載的“勾廣三，股修四，徑隅五”，無(wú)不彰顯了勾股數(shù)在人類探索自然的悠悠歷史長(zhǎng)河中扮演著的重要角色及古人們閃爍的智慧光芒.那么，古代數(shù)學(xué)家們究竟是如何得到這一組組神奇的勾股數(shù)的呢？為了寫出更多的勾股數(shù)，能否找到勾股數(shù)的生成公式？今天我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題.

生1：我認(rèn)為可以采用歸納推理的方法，由特殊到一般，即先列舉出幾組我們已知的勾股數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們之間的規(guī)律，再進(jìn)一步總結(jié)出一般規(guī)律.

生2：勾股數(shù)必然是和勾股定理密切相關(guān)的，而有關(guān)勾股定理最重要的一個(gè)公式就是a2+b2=c2，所以可以從這個(gè)已知的公式入手.

生3：勾股數(shù)肯定要涉及到平方的運(yùn)算，我想到我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了乘法公式，而這些式子里面就都包含了很多數(shù)或式的平方，可以此為突破口，對(duì)乘法公式進(jìn)行整合，看看是否能構(gòu)造出a2+b2=c2的形式.

……

師：這些思路都非常棒！請(qǐng)大家先自行思考再和組員交流，說(shuō)說(shuō)你們的發(fā)現(xiàn).

1.2?小組匯報(bào)，古代數(shù)學(xué)家再現(xiàn)課堂

生1（組1）：首先例舉出幾組已知的勾股數(shù)并把a(bǔ)，b，c三個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，然后把它們進(jìn)行有規(guī)律的分類.可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，c-b=1，如3，4，5;5，12，13;7，24，25等;當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，c-b=2，如6，8，10;8，15，17;12，35，37等.對(duì)于這兩種情況，分別和等式a2+b2=c2聯(lián)立，可以得到求勾股數(shù)的兩個(gè)公式：

（1）當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，a，a2-12，a2+12是一組勾股數(shù);

（2）當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，a，a24-1，a24+1是一組勾股數(shù).

生4（組1）：除此之外，我們?cè)谟懻摰倪^(guò)程中還發(fā)現(xiàn)了其他三條有關(guān)勾股數(shù)的小規(guī)律：

（1）已知a，b，c是一組勾股數(shù)，則ka，kb，kc也是一組勾股數(shù);

（2）a，b，c不能全是奇數(shù);

（3）在a，b，c中，只有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)或者三個(gè)數(shù)都是偶數(shù).

師：組1同學(xué)所推導(dǎo)出來(lái)的公式和古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的結(jié)論不謀而合！當(dāng)然，畢達(dá)哥拉斯只是給出了a為奇數(shù)時(shí)勾股數(shù)的生成公式，而同學(xué)們還充分考慮了a為偶數(shù)的情況，讓我們?yōu)榻M1的這些小小畢達(dá)哥拉斯們鼓掌！

師：今天可真是一場(chǎng)數(shù)學(xué)家歡聚一堂的盛宴呀！生2所述公式和古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給出的公式一致，只是后者進(jìn)一步限定了m，n的取值范圍（m，n都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，且mn是完全平方）.而生5則站在不同的視角，還原了我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽求勾股數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程.值得一提的是，組2同學(xué)所給出的兩種方法均是基于②式展開(kāi)的，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)②式的幾何意義是什么？

生6：②式是①式的變形，所以我認(rèn)為兩個(gè)式子的幾何意義是一樣的，都是直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：的確，①式變形得到②式，但這僅僅只能說(shuō)明二者的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果是保持一致的，它們的幾何意義必然有所不同.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》所作勾股圓方圖注中除了勾股定理這一命題外，還有與直角三角形有關(guān)的其他命題及其證明，這四條命題在《九章算術(shù)》勾股章及劉徽注文中也有所反映[4].其中前兩條命題就明確地闡述了②式的幾何意義（圖1），即通過(guò)割補(bǔ)法，得到股實(shí)之矩的面積b2=c2-a2=（c-a）（c+a）.

師：這就是歷史上古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖給出的求勾股數(shù)的公式.但是，不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式和劉徽所導(dǎo)出的公式（生5所述）一樣，沒(méi)有辦法給出諸如9，12，15;15，36，39等勾股數(shù).所以后來(lái)人們把這組公式推到了更為一般的形式，使其能表示出所有的勾股數(shù)，即2mnr，（m2-n2）r，（m2+n2）r，其中r∈Z.需要說(shuō)明的是，在運(yùn)用推廣后的公式求勾股數(shù)時(shí)，它的缺點(diǎn)是容易遺漏和重復(fù)勾股數(shù).那么，現(xiàn)在請(qǐng)大家重新審視畢達(dá)哥拉斯（生1所述）和歐幾里得（生2所述）給出的公式，你有何發(fā)現(xiàn)？

生7：雖然這兩種方法確實(shí)能夠生成勾股數(shù)，但均存在一定缺陷，會(huì)發(fā)生重解、漏解的情況.如根據(jù)生1給出的a為偶數(shù)情況下的公式，可以算出32，255，257這組勾股數(shù)，但是沒(méi)法算出32，60，68這組勾股數(shù).再如，在歐幾里得給出的公式中，取m=9，n=1或m=8，n=2時(shí)，所得勾股數(shù)均為3，4，5;取m=18，n=2或m=16，n=4時(shí)，所得勾股數(shù)均為6，8，10，存在重解的情況.

師：因此，為了不重復(fù)、不遺漏地得到勾股數(shù)且易于操作，給大家介紹一種清代算學(xué)家沈立民所創(chuàng)造的求勾股數(shù)公式的方法.將a=3，b=4，c=5作為第一組勾股數(shù)代入以下公式：

從而得到三組新的勾股數(shù)，再將三組新的勾股數(shù)代入上述公式，又得到另外九組勾股數(shù)，以此類推.其特點(diǎn)是繼承了中國(guó)傳統(tǒng)算法，通過(guò)反復(fù)迭代而得到一定數(shù)區(qū)間內(nèi)的所有勾股數(shù)，具有程序化特點(diǎn)[2].

1.3?開(kāi)闊視野，介紹斐波那契數(shù)列

師：可見(jiàn)，勾股數(shù)的生成公式一直以來(lái)都備受廣大數(shù)學(xué)研究者的關(guān)注，人們從未停止過(guò)對(duì)其的探索步伐.那么，是否還有其它生成勾股數(shù)的方式呢？接下來(lái)，老師就帶領(lǐng)著大家一起打開(kāi)數(shù)學(xué)天窗，站在一個(gè)全新的視角，繼續(xù)探索更多有關(guān)勾股數(shù)的奧秘！

（教師在此部分為學(xué)生拓展有關(guān)斐波那契數(shù)列的相關(guān)背景及基本知識(shí)，具體素材在文[1]150-154中有詳細(xì)介紹，此處不再贅述）

1.4?建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)二者的完美邂逅

師：想必大家對(duì)斐波那契數(shù)列這串神奇的數(shù)字密碼已不再陌生，現(xiàn)在請(qǐng)回到今天的課堂主題中來(lái)，你能否利用斐波那契數(shù)列推導(dǎo)出勾股數(shù)的生成公式，實(shí)現(xiàn)二者的完美邂逅呢？

生8：因?yàn)楣垂蓴?shù)必然會(huì)涉及到數(shù)的平方，所以我把斐波那契數(shù)列中的每個(gè)數(shù)依次平方后得到一串新的數(shù)字1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，…我嘗試著把前后兩個(gè)數(shù)字相加，但并未如愿得到一組勾股數(shù).不過(guò)，我對(duì)比了平方前后的兩個(gè)數(shù)列發(fā)現(xiàn)，后者任意相鄰的數(shù)字相加后的結(jié)果都屬于前者，如22+32=4+9=13，而13正是斐波那契數(shù)列的第7項(xiàng).

師：這可真是個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)！給大家劇透一下，其實(shí)在接下來(lái)的探究過(guò)程中，就會(huì)出現(xiàn)生8發(fā)現(xiàn)的這個(gè)小規(guī)律.這位同學(xué)的思路非常好，只是暫時(shí)遇到了一點(diǎn)困難而已.老師給大家一點(diǎn)小小的提示，正如生8所說(shuō)，推導(dǎo)過(guò)程中必然會(huì)涉及到數(shù)字的平方，大家可以選取斐波那契數(shù)列中任意連續(xù)的四個(gè)數(shù)進(jìn)行研究，看看有何發(fā)現(xiàn)？（用Fn，F(xiàn)n+1，F(xiàn)n+2，F(xiàn)n+3分別表示連續(xù)四個(gè)數(shù)中的第一至第四個(gè)數(shù)）

師：是否有同學(xué)可以證明生9所給出公式的正確性？

師：從這個(gè)證明中也可以發(fā)現(xiàn)，x，y的取值是任意的，也就是說(shuō)這個(gè)性質(zhì)對(duì)滿足“從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和”的任何數(shù)列都是成立的（前兩項(xiàng)不一定要為1，1）.還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：按照生9的方式構(gòu)造出兩條直角邊a，b后，根據(jù)勾股定理算出c的值，可以發(fā)現(xiàn)c其實(shí)就是斐波那契數(shù)列中的一個(gè)數(shù).采用列表法能清晰地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律（表1）[5].

1.5?教師總結(jié)，點(diǎn)明數(shù)學(xué)聯(lián)系和歷史的價(jià)值

在今天的探究過(guò)程中，同學(xué)們都進(jìn)行了積極且深入的思考，表現(xiàn)非常出色！我們一起邂逅了畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、劉徽、趙爽、丟番圖、沈立民等中外古代偉大的數(shù)學(xué)家，站在他們的視角，像他們一樣思考，深刻感知到了數(shù)學(xué)世界的豐富性和探索歷程的艱難度.當(dāng)然，數(shù)學(xué)家在歷史上作出的判斷及給出的公式也并不是百分之百毫無(wú)缺陷的，需要不斷地修改與完善，這也就是數(shù)學(xué)家堅(jiān)韌精神的最好詮釋，同時(shí)也是數(shù)學(xué)研究永不止步的動(dòng)力所在.此外，同學(xué)們也需要將腦海里存留的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，發(fā)揮知識(shí)的最大效用.正如今天所學(xué)的斐波那契數(shù)列和勾股數(shù)之間的關(guān)聯(lián)一樣，表面看似不相關(guān)的內(nèi)容，實(shí)則在碰撞時(shí)能夠迸發(fā)出巨大的能量，發(fā)現(xiàn)令人意想不到的數(shù)學(xué)規(guī)律.

2?課例簡(jiǎn)析

我國(guó)現(xiàn)行的初中教材并沒(méi)有把勾股數(shù)的生成公式作為一節(jié)單獨(dú)的課時(shí)內(nèi)容，但是其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)史教學(xué)資源及思維培養(yǎng)的素材，加之各地中考題頻頻出現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容，足以引起重視.教師可以通過(guò)開(kāi)展拓展課程或者研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的方式，給予學(xué)生一次在充滿數(shù)學(xué)史內(nèi)容及數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的課堂中體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值的機(jī)會(huì)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)創(chuàng)新.

2.1?挖掘數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，凸顯數(shù)學(xué)的多元文化意義

關(guān)于勾股數(shù)生成公式的教學(xué)，上述課例充分挖掘了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值.在課堂中，以適當(dāng)?shù)男问揭肴舾煞N勾股數(shù)生成公式的推導(dǎo)方法，通過(guò)對(duì)比不同時(shí)空的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認(rèn)知能力和思考彈性[7].同時(shí)，樹(shù)立學(xué)生的課堂主人翁意識(shí)，給予其充分的探究和發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去思考，重演歷史上的推導(dǎo)過(guò)程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，讓學(xué)生明白現(xiàn)有的簡(jiǎn)潔、明了、美觀的數(shù)學(xué)公式并不是天上掉下來(lái)的餡餅，這其中飽含著前人艱辛的付出與努力.此外，這節(jié)教學(xué)課例涉及到了中外古代數(shù)學(xué)家們的豐富研究成果，隱含了多元文化背景下的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的橫向比較.運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)并不能一味地追求所謂的民族自豪感，而應(yīng)更側(cè)重于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，學(xué)會(huì)去欣賞其他文化的閃光點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)的多元文化意義.

2.2?注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生多角度處理問(wèn)題

上述課例還有一個(gè)創(chuàng)新之處在于，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，站在與眾不同的視角看待勾股數(shù)的生成問(wèn)題.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也在教學(xué)建議部分明確指出，“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)”“引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.”[8]本課例為學(xué)生拓展了斐波那契數(shù)列的相關(guān)知識(shí)并用其生成勾股數(shù)，將頭腦中零星分散的數(shù)學(xué)知識(shí)聚合在一起，有助于學(xué)生發(fā)散思維的形成.教師在實(shí)施教學(xué)的過(guò)程中，需基于知識(shí)的延伸點(diǎn)和學(xué)生的生長(zhǎng)點(diǎn)，充分挖掘知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系并加以適當(dāng)整合、拓展，為學(xué)生搭建一個(gè)自由探索的平臺(tái)，使其在建立數(shù)學(xué)聯(lián)系時(shí)擁有良好的體驗(yàn)感和滿足感.

參考文獻(xiàn)

[1]張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化[M].上誨：上海教育出版社，2011：232.

[2]陳克勝.清代一則求勾股數(shù)的數(shù)學(xué)方法[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（10）：29-32.

[3]朱哲.余弦定理——一則體現(xiàn)數(shù)學(xué)聯(lián)系與歷史的教學(xué)案例[J].數(shù)學(xué)通訊，2005（17）：1-3.

[4]沈康身.中算導(dǎo)論[M].上海：上海教育出版社，1986：127-128.

[5]Pagni D. Fibonacci meets Pythagoras[J]. Mathematics in School， 2001， 30（4）： 39-42.

[6]de Villiers M. A further Pythagorean variation on a Fibonacci theme[J]. Mathematics in School， 2002， 31（5）： 22-22.

[7]汪曉勤，韓祥林.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社，2002：8.

[8]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：45.

作者簡(jiǎn)介?趙千惠（1997—），女，浙江余姚人，碩士研究生.主要研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，教授.主要研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.