李章呂 潘易欣

1 引言

三門(mén)問(wèn)題（Monty Hall problem）源于美國(guó)的一檔娛樂(lè)節(jié)目。該檔節(jié)目設(shè)置了A,B,C三扇門(mén)，其中一扇門(mén)后有一輛汽車(chē)，另外兩扇門(mén)后各有一頭羊。玩家若選中后面有車(chē)的那扇門(mén)即可獲得該汽車(chē)。游戲最開(kāi)始讓玩家先選一扇門(mén)，然后在尚未打開(kāi)這扇門(mén)的情況下，由主持人打開(kāi)另外兩扇門(mén)后有羊的一扇（若兩扇門(mén)后都是羊則任意打開(kāi)一扇），讓玩家看到門(mén)后的羊，并給玩家一次換門(mén)的機(jī)會(huì)。問(wèn)題是：換門(mén)是否會(huì)增加玩家贏得汽車(chē)的概率？

從直觀上看，似乎玩家選擇的那扇門(mén)后有車(chē)的概率和主持人未打開(kāi)的那扇門(mén)后有車(chē)的概率都是1/2。Krauss 和Wang 的實(shí)驗(yàn)也表明，只有29% 的人選擇換門(mén)，且即便在換門(mén)的這群人里也很少有人覺(jué)知到換門(mén)贏得汽車(chē)的概率大于不換門(mén)（[10]）。然而，Gillman 等人的研究表明，在主持人打開(kāi)那扇沒(méi)有車(chē)的門(mén)后，換門(mén)贏得汽車(chē)的概率更大。（[6,5,12,8]）這是一個(gè)非常反直觀的結(jié)果，引發(fā)了曠日持久的討論，不僅數(shù)學(xué)愛(ài)好者關(guān)注這個(gè)問(wèn)題，心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的學(xué)者也對(duì)其進(jìn)行了研究：實(shí)驗(yàn)心理學(xué)家通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)研究“害怕后悔”“錯(cuò)誤表征”等心理因素對(duì)玩家的影響，進(jìn)而解釋為什么有些玩家會(huì)選擇不換門(mén)（[14]），但沒(méi)有給出具體方案來(lái)比較換門(mén)與不換門(mén)贏得汽車(chē)的概率；經(jīng)濟(jì)學(xué)家基于玩家對(duì)主持人動(dòng)機(jī)的不信任來(lái)研究玩家與主持人之間的博弈，從而得出玩家不應(yīng)該換門(mén)的結(jié)論（[11]），但并沒(méi)有給出非博弈視角下?lián)Q門(mén)與不換門(mén)贏得汽車(chē)的概率；計(jì)算機(jī)科學(xué)家利用R 語(yǔ)言對(duì)三門(mén)問(wèn)題進(jìn)行建模并進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)模擬，表明在獲得一定信息的前提下，改變最初選擇提高了贏得汽車(chē)的可能性（[15]），但它沒(méi)有從演繹的角度向我們展現(xiàn)換門(mén)與不換門(mén)的概率分布1這里的具體做法是結(jié)合R 語(yǔ)言進(jìn)行大量的編程模擬，并對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)換門(mén)贏得汽車(chē)的概率趨向于2/3，不換門(mén)贏得汽車(chē)的概率趨向于1/3。這實(shí)際上是一種歸納的方法。；數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家主要基于貝葉斯定理，用條件概率來(lái)對(duì)先驗(yàn)概率進(jìn)行更新，并得出換門(mén)贏得汽車(chē)的概率更大（[8]），但這種方案在運(yùn)算過(guò)程和最終結(jié)果的呈現(xiàn)上不夠直觀。

為了更加直觀地呈現(xiàn)三門(mén)問(wèn)題中換門(mén)與不換門(mén)各自贏得汽車(chē)的概率，本文擬用概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯來(lái)為三門(mén)問(wèn)題建立概率認(rèn)知模型，并用概率更新模型來(lái)對(duì)其進(jìn)行更新，從而將主體認(rèn)知概率的變化過(guò)程細(xì)致地刻畫(huà)出來(lái)。

2 概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯的模型及其更新規(guī)則

概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯（Probabilistic Dynamic Epistemic Logic，簡(jiǎn)稱PDEL）是一種將概率邏輯與動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯相結(jié)合的邏輯系統(tǒng)。相比于一般的動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯，PDEL 加入了概率內(nèi)容，其表達(dá)力更加豐富；相比于一般的概率邏輯，PDEL 將事件的概率處理成認(rèn)知模型里的世界的概率，其更加直觀。

Halpern 和Tuttle（[7]）以及Fagin 和Halpern（[4]）將概率邏輯與靜態(tài)的認(rèn)知邏輯相結(jié)合，建立了靜態(tài)概率認(rèn)知邏輯；Kooi（[9]）和van Benthem（[2]）在靜態(tài)的概率認(rèn)知邏輯基礎(chǔ)上，分別在其中加入了公開(kāi)宣告和行動(dòng)模型，使概率認(rèn)知邏輯動(dòng)態(tài)化，建立了概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯；van Benthem、Gerbrandy 和Kooi（[3]）在概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯的概率更新規(guī)則中又明確區(qū)分了先驗(yàn)概率（prior probability）、發(fā)生概率（occurrence probability）和觀測(cè)概率（observation probability），明確定義了概率認(rèn)知模型、概率更新模型和概率乘積更新規(guī)則，完善了PDEL 的語(yǔ)義內(nèi)容；Achimescu、Baltag 和Sack（[1]）將[3]中的單主體推廣到了多主體，使得PDEL可以刻畫(huà)多主體之間的互動(dòng)。下面，我們?cè)赱3]的基礎(chǔ)上介紹PDEL 的模型與更新規(guī)則，在[1]的基礎(chǔ)上介紹PDEL 的語(yǔ)言和語(yǔ)義，為第三部分建立三門(mén)問(wèn)題的概率認(rèn)知模型奠定理論基礎(chǔ)。

定義1(概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯的語(yǔ)言).給定一個(gè)主體集Ag，一個(gè)原子命題集At和一個(gè)有理數(shù)集Q，概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯的語(yǔ)言可定義如下：

其中，p ∈At，i ∈Ag且α1,···,αn,β ∈Q。

根據(jù)這個(gè)定義，其它幾個(gè)概率公式可定義如下：

定義2(概率認(rèn)知模型).給定一個(gè)主體集Ag和一個(gè)原子命題集At，概率認(rèn)知模型M(S,～,P,V)定義如下：

S是一個(gè)有窮非空世界集；

～是主體i建立在S上的等價(jià)關(guān)系集；

P:Ag →(S →(S →[0,1]))，P刻畫(huà)了主體i在S中某個(gè)世界上對(duì)S中任意世界的概率指派，一般表示為Pi(sm)(sn)，其中sm,sn ∈S，m,n ∈N；V:At →?(S)，V對(duì)每個(gè)原子命題指派一個(gè)S的子集。

與一般的認(rèn)知模型相比，概率認(rèn)知模型多了概率指派P。直觀上看，概率指派函數(shù)P表示的是主體在某個(gè)世界上對(duì)另一個(gè)世界指派概率，特別地，主體在任意一個(gè)世界上對(duì)S中所有世界的概率指派總和為1。[3] 將概率認(rèn)知模型中的P指派的概率命名為先驗(yàn)概率。

定義3(概率更新模型).給定一個(gè)主體集Ag和一個(gè)原子命題集At，概率更新模型A(E,～,Φ,pre,P)定義如下：

E是一個(gè)有窮非空事件集；

～是主體i建立在E上的等價(jià)關(guān)系集；

Φ 是E中事件發(fā)生的前提條件集，Φ?At，Φ 是兩兩不一致的公式集；

pre:Φ→(E →[0,1])，指前提條件p為真的情況下，事件e發(fā)生的概率，一般表示為pre(p,e)，其中p ∈Φ，e ∈E，特別地，若M,s?p，則可以用pre(s,e)表示pre(p,e)；

P:Ag →(E →(E →[0,1]))，P刻畫(huà)了主體i在E中某個(gè)事件上對(duì)E中任意事件指派概率，一般表示為Pi(em)(en)，其中em,en ∈E，m,n ∈N。

其中，[3]將概率更新模型中pre運(yùn)算出來(lái)的結(jié)果命名為發(fā)生概率，將P指派的概率命名為觀測(cè)概率。主體在任意一個(gè)事件上對(duì)E中所有事件的概率指派（觀測(cè)概率）總和為1。

定義4(概率乘積更新規(guī)則).令M 是一個(gè)概率認(rèn)知模型，A 是一個(gè)概率更新模型。概率更新模型A 對(duì)概率認(rèn)知模型M 的更新規(guī)則如下：

更新后的概率認(rèn)知模型M′M×A(S′,～′,P′,V ′)。

定義5(概率認(rèn)知邏輯的語(yǔ)義).

上述PDEL 的語(yǔ)言和語(yǔ)義（定義1 和5）之所以借鑒[1]中的定義，是因?yàn)閇3]采用的是帶等號(hào)的概率公式，但帶不等號(hào)的概率公式的表達(dá)力更為豐富。模型和更新規(guī)則（定義2、3、4）之所以借鑒[3]中的定義，是因?yàn)槿T(mén)問(wèn)題只涉及單主體，這樣可以保持語(yǔ)義的簡(jiǎn)潔性。

3 三門(mén)問(wèn)題的概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯解

我們將三門(mén)問(wèn)題里的玩家視為認(rèn)知主體?；诘诙糠纸o出的PDEL，首先建立三門(mén)問(wèn)題的初始概率認(rèn)知模型，然后根據(jù)主持人可能采取的行動(dòng)來(lái)建立概率更新模型，最后求出更新后的概率認(rèn)知模型，并將這個(gè)模型里概率賦值最高的世界作為主體的最優(yōu)選擇。

3.1 三門(mén)問(wèn)題的概率認(rèn)知模型

根據(jù)定義2，用a,b,c分別表示原子命題“車(chē)在A門(mén)后”“車(chē)在B門(mén)后”“車(chē)在C門(mén)后”。三門(mén)問(wèn)題最初的概率認(rèn)知模型M(S,～,P,V)如圖1 所示，其中S{sa,sb,sc}。根據(jù)無(wú)差別原則，在獲取更多信息之前，主體對(duì)命題a,b,c指派的概率是相等的，故對(duì)于sm,sn ∈S（m,n ∈{a,b,c}），都有Pi(sm)(sn)1/3。由于在同一個(gè)世界上，命題a,b,c有且只有一個(gè)為真，所以V(a){sa}，V(b){sb}，V(c){sc}。

圖1:三門(mén)問(wèn)題的概率認(rèn)知模型

3.2 三門(mén)問(wèn)題的概率更新模型

根據(jù)定義3，在主體選擇A門(mén)的情況下，主持人打開(kāi)B門(mén)或C門(mén)的概率更新模型A(E,～,Φ,pre,P)，其中E{open B,open C}，open B和open C分別表示“主持人打開(kāi)了B門(mén)”和“主持人打開(kāi)了C門(mén)”，Φ{a,b,c}。函數(shù)pre和概率指派函數(shù)P的值可以用全概率規(guī)則來(lái)計(jì)算。

令P(a)、P(b)、P(c)分別表示汽車(chē)在A門(mén)后的概率、汽車(chē)在B門(mén)后的概率、汽車(chē)在C門(mén)后的概率，則P(a)P(b)P(c)1/3；P(open B |a)，P(open B |b)，P(open B |c)分別表示汽車(chē)在A門(mén)后主持人打開(kāi)B門(mén)的概率、汽車(chē)在B門(mén)后主持人打開(kāi)B門(mén)的概率、汽車(chē)在C門(mén)后主持人打開(kāi)B門(mén)的概率；P(open C | a)、P(open C |b)、P(open C |c)分別表示汽車(chē)在A門(mén)后主持人打開(kāi)C門(mén)的概率、汽車(chē)在B門(mén)后主持人打開(kāi)C門(mén)的概率、汽車(chē)在C門(mén)后主持人打開(kāi)C門(mén)的概率。汽車(chē)所在的位置及主持人相應(yīng)的行動(dòng)共有如下三種情況：

(1) 當(dāng)汽車(chē)在A門(mén)后時(shí)，按照無(wú)差別原則，主持人打開(kāi)B門(mén)和C門(mén)的概率是相等的，即P(open B |a)P(open C |a)1/2。

(2) 當(dāng)汽車(chē)在B門(mén)后時(shí)，因?yàn)锳門(mén)已經(jīng)被主體選中，所以主持人不可能打開(kāi)A門(mén)，即P(open A | b)0；又因?yàn)橹鞒秩艘蜷_(kāi)一扇沒(méi)有車(chē)的門(mén)，所以他也不會(huì)打開(kāi)B門(mén)，即P(open B | b)0；因此，主持人只能打開(kāi)C門(mén)，即P(open C |b)1。

(3) 當(dāng)汽車(chē)在C門(mén)后時(shí)，同理，P(open A|c)P(open C |c)0；因此，主持人只能打開(kāi)B門(mén)，即P(open B |c)1。

根據(jù)全概率規(guī)則，在主體選擇A門(mén)的情況下，open B和open C發(fā)生的概率分別為：

根據(jù)[3]，對(duì)于任意的p ∈Φ 和任意的e ∈E，PDEL 中pre(p,e)的值就等于概率邏輯中P(e|p)的值。因此，

根據(jù)[3]，對(duì)于任意的em,en ∈E，PDEL 中Pi(em)(en)的值就等于概率邏輯中P(en)的值，因此，

概率更新模型A 可以用圖2 直觀地表示：

圖2:三門(mén)問(wèn)題的概率更新模型

其中，虛線表示函數(shù)pre，分別表示在命題a,b,c為真的情況下，主體對(duì)事件open B和open C的概率指派，虛線上的數(shù)字是發(fā)生概率；實(shí)線表示主體對(duì)事件open B和open C的認(rèn)知不可區(qū)分關(guān)系，實(shí)線右側(cè)的數(shù)字是觀測(cè)概率。

3.3 三門(mén)問(wèn)題更新后的概率認(rèn)知模型

三門(mén)問(wèn)題最初的概率認(rèn)知模型M，在經(jīng)過(guò)概率更新模型A 更新后為M′(S′,～′,P′,V ′)，該模型本來(lái)共有六個(gè)世界（如圖3 所示）：

圖3:三門(mén)問(wèn)題更新后的概率認(rèn)知模型1

其中，世界(sa,open B)表示“車(chē)在A門(mén)后并且主持人打開(kāi)了B門(mén)”，其余世界類似。

根據(jù)定義4 的第一條規(guī)則，需要?jiǎng)h去概率指派為0 的世界。由于pre(sb,open B)0 且pre(sc,open C)0，因此，應(yīng)該在世界集中刪去(sb,open B)和(sc,open C)。

再根據(jù)定義4 的第三條規(guī)則，世界(sa,open B)的概率為1/6，計(jì)算過(guò)程如下：

另外三個(gè)世界(sa,open C)，(sb,open C)，(sc,open B)的概率計(jì)算方法類似，它們的概率分別為1/6，1/3，1/3。

三門(mén)問(wèn)題刪去概率指派為0 的世界后的概率認(rèn)知模型M′(S′,～′,P′,V ′)如圖4 所示：

圖4:三門(mén)問(wèn)題更新后的概率認(rèn)知模型2

在主體選擇A門(mén)并且主持人打開(kāi)B門(mén)的情況下，比較車(chē)在A門(mén)后和車(chē)在C門(mén)后的概率，就是比較(sa,open B)和(sc,open B)的概率。由圖4 可知，(sc,open B)的概率更高，因此主體應(yīng)該換為C門(mén)；同理，在主體選擇A門(mén)并且主持人打開(kāi)C門(mén)的情況下，主體應(yīng)該換為B門(mén)。總之，在主體選中A門(mén)后，無(wú)論主持人打開(kāi)哪一扇門(mén)，換門(mén)贏得汽車(chē)的概率都更高。

上述是在模型層面直觀地比較模型M′中各個(gè)世界的概率，下面我們基于語(yǔ)義定義來(lái)證明公式Pi(a)＜Pi(?a)在模型M′中有效。

根據(jù)定義4 的第四條規(guī)則，V ′(a){(sa,open B),(sa,open C)}，V ′(b){(sb,open C)}，V ′(c){(sc,open B)}。又由于a，b，c在任意一個(gè)世界上有且只有一個(gè)為真，因此，

再根據(jù)定義5中關(guān)于概率公式的語(yǔ)義解釋，在模型M′中的任意一個(gè)世界(s,e)∈S′上，都有：

M′,(s,e)?Pi(a)1/3；

M′,(s,e)?Pi(?a)2/3。2其中，Pi(a)的值就是主體對(duì)(sa,open B)和(sa,open C)的概率指派之和，即1/6+1/6=1/3；Pi(?a)的值就是主體對(duì)(sb,open C)和(sc,open B)的概率指派之和，即1/3+1/3=2/3

因此，在主體最初選擇了A門(mén)且主持人打開(kāi)了一扇沒(méi)有汽車(chē)的門(mén)后，汽車(chē)在A門(mén)后的概率要小于汽車(chē)不在A門(mén)后的概率，也就是說(shuō)，主體選擇換門(mén)能提高贏得汽車(chē)的概率。

從三門(mén)問(wèn)題最初的概率認(rèn)知模型（圖1）到更新后的概率認(rèn)知模型（圖4），清晰地刻畫(huà)了以下過(guò)程：在主持人沒(méi)有開(kāi)門(mén)之前，任何一扇門(mén)后有車(chē)的概率都是1/3，所以主體選中的A門(mén)后有車(chē)的概率是1/3，而未被選中的那兩扇門(mén)后有車(chē)的概率是2/3，也就是P(A)1/3 和P(B)+P(C)2/3。當(dāng)主持人打開(kāi)一扇沒(méi)有汽車(chē)的門(mén)時(shí)，也就是確認(rèn)了要么P(B)0 要么P(C)0。因此，要么P(B)2/3要么P(C)2/3，即換門(mén)會(huì)增加主體贏得汽車(chē)的概率。

4 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合[3]和[1]，給出了PDEL 的語(yǔ)言和語(yǔ)義，并為三門(mén)問(wèn)題建立了概率認(rèn)知模型，清晰呈現(xiàn)了換門(mén)與不換門(mén)各自贏得汽車(chē)的概率（主體的認(rèn)知概率分布），全面展現(xiàn)了三門(mén)問(wèn)題的概率認(rèn)知模型在概率更新模型下的變化過(guò)程，幫助我們更加直觀地理解了三門(mén)問(wèn)題。這不僅體現(xiàn)了概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯強(qiáng)大的表達(dá)力，亦為分析彩票悖論、睡美人難題等概率問(wèn)題提供了借鑒方案。以彩票悖論為例（關(guān)于彩票悖論的邏輯結(jié)構(gòu)可參見(jiàn)[13]），可以利用本文所給的PDEL 語(yǔ)言和語(yǔ)義，為其建立初始概率認(rèn)知模型M0，該模型里共有100 萬(wàn)個(gè)世界，這些世界刻畫(huà)的都是它所對(duì)應(yīng)的那張彩票會(huì)中獎(jiǎng)。然后將“否認(rèn)第一張彩票會(huì)中獎(jiǎng)”作為概率更新模型A0對(duì)M0進(jìn)行更新，得到概率認(rèn)知模型M1。M1刪除了刻畫(huà)“第一張彩票會(huì)中獎(jiǎng)”的世界。接著將“否定第二張彩票會(huì)中獎(jiǎng)”作為概率更新模型A1來(lái)更新M1，得到概率認(rèn)知模型M2。如此更新下去，概率認(rèn)知模型Mn?1（n100 萬(wàn)）將只有一個(gè)世界，它刻畫(huà)的是“最后這張彩票會(huì)中獎(jiǎng)”。這就表明，主體在否認(rèn)其它彩票會(huì)中獎(jiǎng)之后，不能再否認(rèn)最后這一張彩票會(huì)中獎(jiǎng)，否則會(huì)導(dǎo)致矛盾。