尹承利
當(dāng)今高考對(duì)知識(shí)點(diǎn)覆蓋面和對(duì)數(shù)學(xué)能力考查要求較高,高考命題日趨綜合化,往往在一個(gè)題目中考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn),而數(shù)列與不等式的結(jié)合正是這方面命題的最好素材.下面就數(shù)列與不等式結(jié)合的幾種常見題型舉例解析.
一、數(shù)列不等式恒成立問題
例1 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=14a2n+p.
(1)若數(shù)列{an}是常數(shù)列,求p的值;
(2)求最大的正數(shù)p,使得an<2對(duì)一切整數(shù)n恒成立,并證明你的結(jié)論.
解析 (1)若數(shù)列{an}是常數(shù)列,則a2=14a1+p=14+p=1,p=34.
(2)因?yàn)閍k+1-ak=14a2k-ak+p=14(ak-2)2+p-1≥p-1,
所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)>1+(n-1)(p-1),
這說明,當(dāng)p>1時(shí),an越來越大,不滿足an<2,所以要使得an<2對(duì)一切整數(shù)n恒成立,只可能p≤1.
下面證明當(dāng)p=1時(shí),an<2恒成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)n=1時(shí),a1=1顯然成立;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立,即ak<2,則當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1=14a2k+1<14×22+1=2成立,由上可知對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,因此,正數(shù)p的最大值是1.
點(diǎn)評(píng) 求解數(shù)列不等式恒成立問題的常用方法有:先利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等知識(shí)化簡(jiǎn)不等式,再通過解不等式解得,或轉(zhuǎn)化利用最值法解得.本題是在數(shù)列不等式恒成立的條件下,求參數(shù)p的最大值問題,首先將數(shù)列作差遞推,利用累差法得到數(shù)列通項(xiàng)的不等關(guān)系,然后在討論范圍的基礎(chǔ)上確定出參數(shù)p的最大值,進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法給出證明的.
二、數(shù)列不等式證明問題
例2 已知數(shù)列{an]的前n項(xiàng)和記為Sn,且滿足Sn=2an-n,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:n2-13 解析 (1)因?yàn)镾n=2an-n(n∈N+),所以Sn-1=2an-1-n+1(n≥2),兩式相減得:an=2an-1+1,變形可得:an+1=2(an-1+1). 又因?yàn)閍1=2a1-1,即a1=1,所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列,所以an+1=2·2n-1=2n,an=2n-1.(2)由akak+1= 2k-12k+1-1<2k-12k+1-2=12,(k=1,2,…n), ∴a1a2+a2a3+…+anan+1<12×n=n2, 由akak+1= 2k-12k+1-1=12-12(2k+1-1)=12-13·2k+2k-2≥12-13·2k,(k=1,2,…,n),得a1a2+a2a3+…+anan+1>n2-13(12+122+…+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13. 綜上,n2-13 點(diǎn)評(píng) 對(duì)于數(shù)列不等式證明問題,常用方法是:在利用數(shù)列知識(shí)的基礎(chǔ)上,利用比較法、分析法、綜合法或放縮法,尤其放縮法是應(yīng)用的最主要方法.本題(2)就是在分離的基礎(chǔ)上,通過對(duì)分母的處理,利用放縮法證明的. 例3 已知函數(shù)fn(x)=13x3-12(n+1)x2+x(n∈N*),數(shù)列an滿足an+1=fn′(an),a1=3. (1)求a2,a3,a4; (2)根據(jù)(1)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并證明; (3)求證:1(2a1-5)2+1(2a2-5)2+…+1(2an-5)2<32. 解析 (1)fn′(x)=x2-(n+1)x+1(n∈N*),所以an+1=a2n-(n+1)an+1. 由a1=3,所以a2=a21-(1+1)a1+1=4,a3=a22-(2+1)a2+1=5,a4=a23-(3+1)a3+1=6. (2)猜想an=n+2,用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=1時(shí),顯然成立. 假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),ak=k+2,則當(dāng)n=k+1(k∈N*)時(shí),ak+1=a2k-(k+1)ak+1=(k+2)2-(k+1)(k+2)+1=k+3=(k+1)+2,所以當(dāng)n=k+1(k∈N*)時(shí),猜想成立. 故對(duì)n∈N*,an=n+2都成立. (3)當(dāng)k≥2時(shí),有1(2ak-5)2=1(2k-1)2<1(2k-1)(2k-3)=12(12k-3-12k-1),所以1(2a1-5)2+1(2a2-5)2+…+1(2an-5)2=1+1(2a2-5)2+…+1(2an-5)2<1+ 12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-3-12n-1)]=1+12(1-12n-1)<1+12=32. 又當(dāng)n=1時(shí),1(2a1-5)2=1<32. 故對(duì)n∈N*,有1(2a1-5)2+1(2a2-5)2+…+1(2an-5)2<32. 點(diǎn)評(píng) 本題首先求解數(shù)列的前幾項(xiàng),由此作出猜想,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式,最后運(yùn)用裂項(xiàng)和放縮的方法技巧證明數(shù)列不等式,考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透與應(yīng)用. 三、數(shù)列中的最值問題 例4 已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=3, a2n+1+an+1=2an,n∈N*. (1)求證:1 (2)若對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有 an+1-1an-1 解析 (1)證明:由正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=3, a2n+1+an+1=2an,n∈N*,得a2n+2+an+2=2an+1. 兩式相減得 (an+2-an+1)(an+2+an+1+1)=2(an+1-an), ∵an>0,∴an+2-an+1與an+1-an同號(hào). ∵a22+a2=2a1=6,∴a2=2,則a2-a1<0, ∴an+1-an<0,即數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,則an≤a1=3. 另一方面:由正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=3, a2n+1+an+1=2an,n∈N*. 可得: a2n+1+an+1-2=2an-2,得(an+1+2)(an+1-1)=2(an-1), 由an+1+2>0,易知an+1-1與an-1同號(hào), 由于a1-1=2>0,可知an-1>0,即an>1. 綜上可得:1 (2)由(1)知: an+1-1an-1=2an+1+2,而3<an+1+2≤a2+2=4,則 12≤an+1-1an-1<23,∴M≥23. 故M的最小值為23. 點(diǎn)評(píng) 求解數(shù)列中的最值問題,常結(jié)合不等式來求解.求解方法有:建立目標(biāo)函數(shù),通過不等式確定變量范圍,進(jìn)而求得最值;或先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性,然后確定最值;或利用條件中的不等關(guān)系確定最值.本題(2)就是利用(1)的不等式結(jié)論求得最值的. 四、數(shù)列不等式探索性問題 例5 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(x∈R),滿足f(0)=f(-1)=0,且f(x)的最小值是-14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)一切n∈N*,點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)f(x)的圖像上. (1)求f(x)的函數(shù)解析式; (2)設(shè)An為數(shù)列{an-1an}的前n項(xiàng)積,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式An an+1<a對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析 (1)因?yàn)閒(0)=f(-1)=0,所以f(x)的對(duì)稱軸x=0+(-1)2=-12. 又因?yàn)閒(x)的最小值是-14,由二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性可設(shè)f(x)=a(x+12)2- 14. 又f(0)=0,所以a=1,所以f(x)=(x+12)2-14=x2+x. (2)由題意得 An=(1-1a1)(1-1a2)…(1-1an). 設(shè)g(n)=Anan+1 =An2n+1 =(1-1a1)(1-1a2)…(1-1an)2n+1. 因?yàn)間(n+1)g(n)=(1-1an+1)·2n+32n+1= (1-12n+2)· 2n+32n+1= 2n+12n+2·2n+32n+1= 4n2+8n+34n2+8n+4<1,所以g(n)>g(n+1). 所以g(n)單調(diào)遞減,[g(n)]max=g(1)= 32. 要使不等式Anan+1<a對(duì)一切n∈N*都成立,只需要滿足a>[g(n)]max=32即可. 點(diǎn)評(píng) 數(shù)列不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型,求解的方法是:先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立,以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或推理,若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立,從而得到“否定”的結(jié)論,即不存在;若推理得不出矛盾,能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值,則得到肯定的結(jié)論,即得到存在的結(jié)果.本題(2)利用了最值法探索求解.對(duì)于含有參數(shù)的數(shù)列(函數(shù))問題,常利用以下結(jié)論求解:①若 a≥(或>)f(x)對(duì)x∈D恒成立,則a≥(或>)f(x)max;②若a≤(或<)f(x)對(duì)x∈D恒成立,則a≤(或<)f(x)min. (收稿日期:2021-09-21)