畢亭亭
問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,解題作為數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié),在解題教學(xué)時(shí),應(yīng)注重傳授學(xué)生解決問(wèn)題的方法,用解題策略打開(kāi)思維的大門(mén),不要使學(xué)生沉溺在“題?!敝?,題千變?nèi)f化,是“量”的變化,但是問(wèn)題的“質(zhì)”卻沒(méi)有變化,量變質(zhì)不變,教學(xué)應(yīng)緊緊抓住問(wèn)題的“質(zhì)”,問(wèn)起于題,疑源于思,要逐步培養(yǎng)學(xué)生敢于、勇于、善于提出問(wèn)題的意識(shí),從數(shù)學(xué)角度不斷探索、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的“質(zhì)”.
在近年的高考題或模擬題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)解三角形的最值問(wèn)題,此類問(wèn)題與其他知識(shí)聯(lián)系密切,學(xué)生在面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)不免會(huì)感到困惑,如果學(xué)生頭腦中儲(chǔ)存著一套科學(xué)的解題方法,領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法,注意分析問(wèn)題的內(nèi)在的結(jié)構(gòu),具備解決一類問(wèn)題的能力,那么學(xué)生就會(huì)在解題時(shí)感到輕松、愉悅,與片面強(qiáng)調(diào)“問(wèn)題—算法”的傳統(tǒng)做法相比而言更強(qiáng)調(diào)思維的重要性.
一、利用均值不等式求最值
在求解三角形最值問(wèn)題時(shí),如果利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化之后出現(xiàn)包含形如“ab”、“a2+b2”或“λyx+μxy”的形式,則可選擇均值不等式求解,借助重要不等式a2+b2≥2ab或基本不等式λyx+μxy≥2λμ,可以求出ab積的最大值,a2+b2和的最小值,或λyx+μxy的最小值,注意應(yīng)用時(shí)需要考慮“一正,二定,三相等”的條件.
例1 (2014江蘇卷,理數(shù))若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+2sinB=2sinC,求cosC的最小值.
思路探求 這道題考察正弦定理、余弦定理的邊角互化及基本不等式求最值的簡(jiǎn)單應(yīng)用,將已知sinA+2sinB=2sinC利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系a+2b=2c得到關(guān)于c的關(guān)系,將c代入到cosC=a2+b2-c22ab中,整理得到cosC=3a2+2b2-22ab8ab其中有a2+b2,ab的形式,利用基本不等式得到3a2+2b2≥26ab,由于ab≠0,約分得到cosC的最小值6-24.
解 根據(jù)正弦定理將已知轉(zhuǎn)化為a+2b=2c,又cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=
3a2+2b2-22ab8ab≥26ab-22ab8ab=6-24,當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時(shí)取等號(hào),所以cosC的最小值為6-24.
方法點(diǎn)睛 高考題中基本不等式常常與函數(shù)、數(shù)列、向量、解三角形、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)建立聯(lián)系綜合考察,用于解決最值或范圍的問(wèn)題,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用可以使求解過(guò)程變得簡(jiǎn)潔,利用不等式求最值可以靈活地利用一些解題技巧,如湊項(xiàng)、湊系數(shù)、分離、換元、整體代換等.
二、利用函數(shù)求最值
數(shù)學(xué)中習(xí)慣“化繁為簡(jiǎn)”將復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單,如果解題時(shí)出現(xiàn)多個(gè)變量通常先轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量得到某種類型的函數(shù),由函數(shù)的圖像或性質(zhì)得到最值.函數(shù)是高中的核心概念之一,教學(xué)中應(yīng)建立以函數(shù)為“核”的知識(shí)群,發(fā)揮函數(shù)的強(qiáng)大生長(zhǎng)力,建立以函數(shù)為“核”的輻射狀知識(shí)網(wǎng)絡(luò),會(huì)用函數(shù)的思想分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.
例2 (2016年江蘇卷)在銳角△ABC中,若sinA=2sinBsinC,求tanAtanBtanC的最小值.
思路探求 嘗試從結(jié)論入手建立條件中關(guān)于正切的關(guān)系,把sinA=2sinBsinC變?yōu)檎芯鸵杂嘞?,利用三角形?nèi)角和定理A+B+C=π得sinA=sin(B+C)=2sinBsinC,同除以cosBcosC,得
到1tanB+1tanC=2,整理得tanB+tanC=2tanBtanC,由于結(jié)論中有三個(gè)未知量,為了減少未知量可以把tanA用tanBtanC來(lái)表示,得到函數(shù)解析,再利用配方法求出最值.
解 tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC·tanBtanC=-2(tanBtanC)21-tanBtanC,令tanBtanC=x,已知三角形為銳角三角形有tanAtanBtanC>0,則1-tanBtanC<0,即x>1,得到tanAtanBtanC=2x2x-1=21x-1x2=2-(1x-12)2+14≥8,當(dāng)且僅當(dāng)1x=12,x=2,即tanA=4,tanB=2+2,tanC=2-2或tanB=2-2,tanC=2+2時(shí)等號(hào)成立.
方法點(diǎn)睛 通過(guò)減少未知量找到了函數(shù)關(guān)系,構(gòu)建了函數(shù)模型,對(duì)于函數(shù)可以利用基本不等式、配方法、導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值,同時(shí)要考慮定義域,值得思考的是,上述函數(shù)方法的關(guān)鍵在于“換元”,這啟示利用函數(shù)求最值問(wèn)題時(shí)要靈活“換元”,將解析式轉(zhuǎn)變?yōu)樗煜さ姆较騺?lái)求解.
三、利用解析法求最值
對(duì)于有些求最值的問(wèn)題,可以利用函數(shù)的方法,入手簡(jiǎn)單但有時(shí)計(jì)算量卻較大,對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力提出不小的挑戰(zhàn).如果三角形有一邊為定值,而另外兩邊存在某種數(shù)量關(guān)系,這種數(shù)量關(guān)系可以是比例、數(shù)量積或邊的平方和或差等等,都可以由解析法來(lái)探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡,由幾何圖形的性質(zhì)求得三角形面積的最大值.解析法具體來(lái)說(shuō)是“兩化”,圖形問(wèn)題代數(shù)化,從而轉(zhuǎn)化到代數(shù)形式,通過(guò)代數(shù)計(jì)算,得到代數(shù)結(jié)果,然后代數(shù)結(jié)果幾何化,得到幾何結(jié)論,幫助問(wèn)題解決.
例3 (2008年江蘇)在△ABC中,AB=2,AC=2BC,求△ABC面積的最大值.
思路探求 這一問(wèn)題通常利用余弦定理來(lái)處理?xiàng)l件中的數(shù)量關(guān)系,將三角形面積表示為某一邊為自變量的函數(shù),再利用配方法求最值.
解法1 設(shè)BC=x,則AC=2x,由余弦定理得
cosA=2x2+4-x242x=x2+442x,
所以sinA=1-(x2+442x)2=-x4+24x2-1632x2,
所以S=12·22x·-x4+24x2-1632x2=14·-(x2-12)2+128,當(dāng)x2=12即x=23時(shí),面積取得最大值為22.
可見(jiàn)上述的計(jì)算量較大,若換個(gè)角度考慮AB是定值,那么面積的最大值就轉(zhuǎn)化為邊AB上的高h(yuǎn)的最大值,可以嘗試判斷滿足條件AC=2BC的動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡,建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)等式關(guān)系得到圓的方程,由圓的幾何特征找到高的最大值,求得面積的最大值.
解法2 建立以AB所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系,由AB=2,得到A(-1,0),B(1,0),設(shè)C(x,y),由AC=2BC得(x+1)2+y2=2·(x-1)2+y2,x≠0,化簡(jiǎn)得:(x-3)2+y2=8,(x≠0),所以點(diǎn)C在圓(x-3)2+y2=8上運(yùn)動(dòng)(不含與x軸的兩交點(diǎn)),由圖1可知AB邊上高的最大值即為圓的半徑22,故三角形△ABC面積的最大值S=12·AB·h≤12·2·22=22.
圖1
方法點(diǎn)睛 若將所列問(wèn)題進(jìn)行一般化,如果平面上給定兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB(λ>0且λ≠1),則P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓,該圓稱為阿波羅尼斯圓.阿波羅尼斯圓來(lái)源于高中課本(求曲線方程),而例3以三角形為包裝,實(shí)際上考察的卻是阿波羅尼斯圓的知識(shí),這說(shuō)明教材是教學(xué)的有效資源,在新課程改革之際教師應(yīng)勿忘“根本”,守住“初心”,更好地開(kāi)發(fā)、利用教材,用新課改理念對(duì)已有教材進(jìn)行整合,符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,才能更好地促進(jìn)學(xué)生能力的不斷提升.
四、利用向量求最值
面對(duì)一些求邊長(zhǎng)的最值問(wèn)題,可以嘗試從向量的角度進(jìn)行運(yùn)算,因?yàn)槿切芜叺拈L(zhǎng)度實(shí)際上是向量的模長(zhǎng),在正弦定理、余弦定理證明時(shí)就使用過(guò)向量法將幾何問(wèn)題代數(shù)化,并且平面向量的數(shù)量積將模長(zhǎng)和角聯(lián)系起來(lái),在解三角形問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)用數(shù)量積進(jìn)行邊角之間的相互表示.
例4 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,D 為AC邊的中點(diǎn),且B=60°,a+c=4,求線段BD長(zhǎng)的最小值.
思路探求 如圖2所示,因?yàn)镈為AC邊的中點(diǎn),則
圖2
A,C,D三點(diǎn)共線,由于邊a,c已知,根據(jù)平行四邊形法則,可以把BA,BC作為基底表示出BD=12(BA+BC),想要得到向量的模長(zhǎng),則需將等式兩邊平方轉(zhuǎn)化為向量的模和數(shù)量積的運(yùn)算,利用均值不等式求出BD的最小值.
解 因?yàn)镈為AC邊的中點(diǎn),所以BD=12(BA+BC),從而B(niǎo)D2=14(BA+BC)2=14(BA2+2BA·BC+BC2)=14(c2+2accosB+a2)=14[(a+c)2-ac]=4-14ac≥4-14(a+c2)2=3.
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào),所以線段BD長(zhǎng)的最小值為3.
方法點(diǎn)睛 向量作為溝通代數(shù)與幾何的工具,提高了解題效率,但學(xué)生很少?gòu)睦孟蛄康慕嵌确治鰡?wèn)題、解決問(wèn)題,這就說(shuō)明有一部分學(xué)生沒(méi)有明確學(xué)習(xí)向量的目的,認(rèn)為原來(lái)的知識(shí)已經(jīng)足夠了,又或者新舊知識(shí)之間沒(méi)有很好的進(jìn)行融合,這些都啟示著我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行縱橫聯(lián)系,發(fā)揮向量在解決問(wèn)題時(shí)的工具價(jià)值,體現(xiàn)向量解題的簡(jiǎn)潔美.
達(dá)爾文說(shuō)“世界上最有價(jià)值的知識(shí)就是關(guān)于方法的知識(shí).避開(kāi)問(wèn)題的最佳途徑,偏是運(yùn)用方法將它解決”.思想方法的正確運(yùn)用才能有效解決問(wèn)題,可見(jiàn)思想方法的重要,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)思想方法的滲透要“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”,體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)方面,教師應(yīng)以“思維”為中心,以“觀察”為主線,以“問(wèn)題”為載體,以“能力”為目標(biāo),在教學(xué)中結(jié)合高考題或典型例題,暴露解決問(wèn)題的思維過(guò)程,引發(fā)學(xué)生思考,合理創(chuàng)設(shè)情境,引領(lǐng)學(xué)生探究,觀察對(duì)象特征,把握問(wèn)題的本質(zhì),讓學(xué)生自己感受、體驗(yàn)、思考、反思和總結(jié),把頭腦中的知識(shí)化作鑰匙去開(kāi)啟未來(lái)知識(shí)寶庫(kù)的大門(mén),《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“教育不僅要重視結(jié)果,還要重視過(guò)程,不僅要重視學(xué)會(huì),還要重視會(huì)學(xué)”,這些都有賴于學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法、思維能力的提升,從而核心素養(yǎng)才能得到培養(yǎng)和達(dá)成.
(收稿日期:2021-09-12)