劉軼煒, 陳蕙心, 蔡 猛, 吳思源, 陸子劼

(上海無線電設備研究所,上海 201109)

0 引言

物體超音速飛行,前方空氣被急劇壓縮產生音障,當物體突破該音障時,由于前方空氣無法傳播而累積成為激波面。這種激波在波面前方形成一個突然的超壓邊界,在后方形成一個欠壓面,壓力隨時間變化的形狀如字母N,稱之為N形波。目前通常采用Whitham方程[1]對略超音速細長尖頭彈體進行沖擊波仿真,對仿真結果中超壓振幅及周期等參數進行分析,進而研究飛行過程中沖擊波[2]對彈體的影響。彈體沖擊波仿真通常選用經驗常數作為Whitham方程的形狀系數。由于不同類型導彈的形狀系數具有較大差異,采用上述方法得到的仿真結果與實際情況存在較大偏差,不具有普遍適用性。本文提出了一種基于Whitham方程的導彈沖擊波仿真優(yōu)化方法,根據彈體頭部橫截面形狀和彈體長寬比計算形狀系數,提升超音速導彈彈體沖擊波仿真的準確性。

1 Whitham方程與導彈形狀系數

以彈體頭部頂點為坐標原點,沿彈軸方向自頭向尾為x軸正方向,建立oxyz直角坐標系,彈體幾何模型如圖1所示。其中,S(x)為彈體的橫截面面積函數,R為彈體最寬處半徑,H為彈體前端弧度部分長度,L為彈體整體長度。

利用Whitham方程可計算出距彈體一定距離的某點的沖擊波振幅及周期,同時彈體的形狀和尺寸等參數也被引入到Whitham方程中?；赪hitham方程改寫的彈體橫截面的函數表達式為

式中:s為橫截面位置;S″(x)表示對彈體橫截面面積S x（）二次求導,即彈體橫截面的函數表達式。對式(1)中的變量s進行積分,可得到Whitham積分慣性矩[3]

定義彈體形狀系數Fw,Fw與Whitham積分慣性矩的關系可表示為

利用形狀系數Fw可以計算某觀測點處沖擊波的振幅[4-5]

式中:P0為環(huán)境氣壓;γ為比熱容;Ma為觀測點處馬赫數;r為觀測點與彈體的垂直距離。

以小型導彈為研究對象,若形狀系數

式中:D為導彈直徑。根據式(4)可得到常用的沖擊波振幅計算公式[6-7]

同時,依據Whitham方程,N形波的周期可以表示為

式中:c0為觀測點處的音速。

由式(5)和式(7)可知,沖擊波周期與彈長成負相關。由于天線罩參與后激波的形成,故上述負相關關系不符合氣動原理,因此給出了另一種關系式[8]

式(8)未引入形狀系數Fw,計算過程較簡單,但該公式無法反映導彈形狀對沖擊波的影響。

通過分析可知,當導彈彈徑一定時,若彈體的圓柱體部分長度發(fā)生改變,沖擊波振幅基本保持不變,不同彈體長度下振幅的相對誤差僅為±2%,而周期受彈體長度影響改變較大。

對于圖1所示的彈體幾何模型,彈體的形狀可以用函數f(x)來表示,且基于 Whitham方程的F(s)為關于彈體橫截面的函數,而ks為關于彈整體的函數,故計算ks時需對F(s)沿彈軸,即x軸進行積分求解。根據式(1),可以得到ks的表達式

圖1中S(x)=π(f(x))2,則S″(x)=f(x)。取彈長L=1 m,根據不同的彈體橫截面函數y=f(x),可計算得到不同的比例系數ks,如表1所示。

表1 不同彈體橫截面函數對應的比例系數

由表1分析可知,不同彈體橫截面函數對應的比例系數ks取值為1.00±0.15。

2 彈體形狀對沖擊波的影響

為了驗證彈體形狀對N形波參數的影響,設導彈飛行高度為海拔8.8 km,飛行馬赫數為1.7,使用CFD軟件[9]對不同尺寸及半徑長度比的彈體進行沖擊波仿真。用els A工具計算彈體附近氣動尾跡的速度場及壓力場。在標準大氣中,平行于彈體的壓力分布會傳播到海平面,此條件下選用非線性傳播TRAPS代碼[10]計算N形波。仿真結果如表2所示。

表2 不同尺寸彈體氣動尾跡的速度場及壓力場CFD仿真結果

經上述推導可知,綜合使用els A工具和TRAPS代碼計算所得的N形波是不對稱的。

設彈體的半徑長度比δ=R/L,則式(5)的形狀系數可以表示為

當δ一定時,ΔP,ΔT與L0.75成正比。對照表2可以發(fā)現(xiàn):對于同一δ,超壓部分增長為L0.72,周期部分增長為L0.80;若給定彈體半徑R,其沖擊波振幅相對誤差僅為±2%。

3 非均勻大氣下沖擊波

根據式(3)和式(8)對彈體進行沖擊波影響的仿真分析時,假設前提是大氣為均勻的。而大型導彈沖擊波發(fā)生在一定的海拔z處,通常采樣點在海平面處,故如采用上述理論對大型導彈的沖擊波影響進行分析,存在一定的困難。

對于距彈體同樣距離r的兩個點M0和Mz,其中Mz位于與導彈相同海拔的位置z處,M0位于其他海拔位置,設這兩個點的大氣壓力分別為P0和Pz,音速分別為c0和cz。已知導彈飛行馬赫數,由式(4)和式(7)可以得到Mz處的沖擊波振幅和周期為ΔPz和ΔTz。設M0處沖擊波的振幅和周期為ΔP0和ΔT0,若M0和Mz兩處的N形波聲能相等,則有

上述公式已在標準大氣環(huán)境下通過TRAPS傳播代碼進行測試驗證。

結合某地空導彈[11]實際情況,對在地面提取的導彈飛行試驗沖擊波數據進行仿真。設導彈飛行海拔8 km,飛行馬赫數1.7,推導可得其水平飛行時M0處的沖擊波振幅ΔP0以及周期ΔT0,表達式為

式中:CL為升力系數;FwΔP和FwΔT分別為N形波振幅和周期對應的的彈體形狀系數。

FwΔP和FwΔT可表示為

考慮到導彈飛行過程中的自體旋轉,計算時將升力系數設為1。使用三種仿真方法對地空導 彈沖擊波數據進行仿真,結果如表3所示。

表3 不同仿真方法下地空導彈的沖擊波數據

由表3可知,充分考慮彈體形狀和大氣的不均勻性,采用相應的形狀系數計算沖擊波振幅和周期,可以明顯提高沖擊波仿真的準確性,得到的沖擊波仿真結果相比Whitham方程更貼近CFD軟件仿真結果。根據研究的導彈目標采用相應的形狀系數,可以明顯提高沖擊波仿真的準確性;相應的仿真變化式也能夠更準確地反映不同大氣情況下的導彈沖擊波,提高了仿真的普遍適用性。

4 結論

本文針對采用Whitham方程進行導彈沖擊波仿真時,由于經驗形狀系數影響致使仿真結果與實際情況不符的問題,提出了一種基于Whitham方程的導彈沖擊波仿真優(yōu)化方法。該方法考慮不均勻大氣環(huán)境,結合彈徑和彈體長度比計算形狀參數,并利用其進行沖擊波參數仿真計算。與CFD軟件的仿真結果對照表明,該優(yōu)化方法大幅度減小了使用Whitham方程仿真導彈沖擊波時由于彈體形狀導致的誤差,在沒有精確的CFD模型的前提下,能夠針對不同類型的導彈給出更加準確的沖擊波振幅以及周期仿真結果。