任玉波，邊維東，馬耀陽(yáng)，宛 瑞

(燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

傳統(tǒng)電機(jī)都是以高速旋轉(zhuǎn)的，這種高轉(zhuǎn)速狀態(tài)有時(shí)不能直接滿足工業(yè)設(shè)備運(yùn)行的要求，大部分的電機(jī)需要與減速機(jī)構(gòu)配套使用。為了降低傳動(dòng)系統(tǒng)的體積、重量以及累計(jì)間隙誤差，筆者提出了一種新型的復(fù)合傳動(dòng)系統(tǒng)——電磁諧波活齒傳動(dòng)系統(tǒng)，它同時(shí)兼有電機(jī)和減速器的功能，多齒嚙合，大減速比運(yùn)動(dòng)傳遞，電流調(diào)控，由于該傳動(dòng)系統(tǒng)中沒(méi)有高速旋轉(zhuǎn)的機(jī)械部件，因此可以獲得更快的響應(yīng)能力[1]。

該傳動(dòng)系統(tǒng)是利用柔輪的變形來(lái)推動(dòng)活齒與中心輪嚙合來(lái)傳遞動(dòng)力的，而柔輪是在電磁力作用下發(fā)生變形，因此，柔輪不可避免地會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)[2-3]。2009年，劉彥琦等人[4]建立了存在線性外阻尼的加速黏性傳動(dòng)帶空間橫向振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用多尺度法與Galerkin離散原理求解方程并分析了系統(tǒng)的1∶1內(nèi)共振現(xiàn)象與分岔、混沌動(dòng)力學(xué)特性。2013年，王延慶等人[5]對(duì)薄壁圓柱殼內(nèi)共振和運(yùn)動(dòng)分岔進(jìn)行了分析，表明軸向運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料薄壁圓柱殼的幅頻特性曲線表現(xiàn)出硬特性，系統(tǒng)能量在兩個(gè)模態(tài)之間相互傳遞，產(chǎn)生了內(nèi)共振。2014年，黃慧春、張艷雷等人[6]利用Euler-Bernoulli模型簡(jiǎn)化了平面內(nèi)橫向振動(dòng)的彈性管路模型，采用多尺度法對(duì)該系統(tǒng)在固支邊界條件下的2∶1內(nèi)共振進(jìn)行了分析。2015年，張宇飛等人[7]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)層合薄壁圓柱殼內(nèi)共振進(jìn)行了數(shù)值分析，表明激振力對(duì)內(nèi)共振的影響較大。2019年，胡宇達(dá)等人[8]分析了在外激勵(lì)力與磁場(chǎng)作用下軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁的磁彈性非線性內(nèi)共振現(xiàn)象，并利用數(shù)值的方法進(jìn)行了證明。這些文獻(xiàn)對(duì)于柔輪的非線性振動(dòng)特性研究大多都在模態(tài)相差比較大的范圍內(nèi)，當(dāng)兩模態(tài)的激振頻率相靠近時(shí)，模態(tài)之間會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)烈的耦合作用，對(duì)柔輪的非線性振動(dòng)形態(tài)會(huì)產(chǎn)生很大的影響。

本文根據(jù)Donnell非線性簡(jiǎn)化殼理論，建立了系統(tǒng)存在阻尼、動(dòng)態(tài)彈性模量、結(jié)構(gòu)幾何非線性情況下的柔輪非線性振動(dòng)微分方程，采用Galerkin理論和Lyapunov一次近似理論對(duì)微分方程中的空間和時(shí)間變量進(jìn)行拆分，分析柔輪在內(nèi)共振時(shí)的受迫振動(dòng)及穩(wěn)態(tài)周期不同參數(shù)對(duì)模態(tài)振幅幅頻特性的影響。掌握電磁諧波活齒傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為，在避免出現(xiàn)較大振動(dòng)方面可為柔輪參數(shù)設(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)。

1 柔輪的非線性振動(dòng)方程

如圖1所示，在柔輪上取一個(gè)微元，u、v、w分別表示柔輪在電磁力作用下x、θ、r方向位移，qx、qθ、qr為在x、θ、r方向上作用在中面微元的外載力分量，3個(gè)方向?qū)?yīng)的慣性力項(xiàng)分別為(-ρh?2u/?t2)、(-ρh?2v/?t2)、(-ρh?2w/?t2)，R為柔輪半徑，ρ為柔輪材料密度，h為柔輪厚度，t為時(shí)間函數(shù)。

圖1 柔輪微元變形與單元受力情況Fig.1 Micro element deformation and stress of flexspline

由于柔輪一方面受到電磁力的作用，另一方面又受到活齒相反的力的作用，但活齒作用力在一定程度上抑制柔輪的振動(dòng)，本文分析柔輪振動(dòng)最不利的情況，因此忽略活齒作用力。利用柔輪幾何方程的非線性部分[9]，建立柔輪非線性徑向振動(dòng)微分方程：

(1)

式中，Dij(ω)為柔輪彎曲剛度；Bij(ω)為磁場(chǎng)-柔輪耦合剛度；c為阻尼系數(shù);F(t)為柔輪受到的徑向電磁激振力[10];Anonl為微分方程的非線性項(xiàng)，表達(dá)式為

(2)

式中，Aij(ω)為柔輪拉伸剛度。

由于柔輪的軸向振動(dòng)對(duì)整個(gè)激波器的影響較小，而影響較大的是徑向振動(dòng)，根據(jù)Donnell理論，為了提高運(yùn)算效率且不影響精度，本文取兩個(gè)相近的徑向模態(tài)(M=2,N=n=6)對(duì)柔輪的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析。柔輪的徑向位移函數(shù)為

Bm,n(t)cos(nθ)]，

(3)

式中,Am,n(t)、Bm,n(t)為柔輪的廣義模態(tài)變量；Wm(x)為柔輪的徑向振型函數(shù)；m為徑向半波數(shù)；n為節(jié)徑數(shù)。

根據(jù)Galerkin理論，對(duì)式(1)離散化，并定義柔輪徑向位移的加權(quán)函數(shù)為

(4)

將柔輪的位移表達(dá)式(3)代入柔輪的非線性振動(dòng)微分方程(1)中，并且乘以柔輪徑向位移加權(quán)函數(shù)有

(5)

利用MATLAB軟件對(duì)式(5)進(jìn)行積分求解，選取參數(shù)：θ=π/24、F(t)=20 N、R=34.5 mm、L=120 mm、h=0.2 mm。

將式(5)中復(fù)雜的積分常數(shù)去除，經(jīng)整理變換得到4個(gè)系數(shù)僅含1個(gè)廣義坐標(biāo)的二階模態(tài)方程如下：

以上4式中，A1,6、A2,6、B1,6、B2,6是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)模態(tài)振幅；Si、Hi(i=1,2,…,15)為整理變換以后的積分系數(shù)，且其中的S15、H15是與電磁力F(t)的大小有關(guān)的系數(shù)；S1、S3、H1、H3是與柔輪的阻尼系數(shù)有關(guān)的系數(shù)。

2 多尺度法求解非線性方程組

根據(jù)前述，選擇第一、二階模態(tài)進(jìn)行分析，令A(yù)1,6=B1,6、A2,6=B2,6，由于S3、H3、S4、H4的值相比其他系數(shù)小得多，可將其忽略不計(jì)，故將模態(tài)方程式(6)簡(jiǎn)化為

(7)

x1=A1,6=B1,6,x2=A2,6=B2,6,

F1=S15(6θ0),F2=H15(6θ0)，

a0=S5+S9,a1=S6+S10+S11,

a2=S7+S12+S13,a3=S8+S14，

b0=H8+H14,b1=H7+H12+H13,

b2=H6+H10+H11,b3=H5+H9。

采用多尺度法對(duì)模態(tài)方程式(7)進(jìn)行攝動(dòng)分析，令其一致漸進(jìn)解為

(8)

式中，xij(i,j=0,1,2)為攝動(dòng)未知函數(shù)，T0=t，T1=εt為時(shí)間變量，且尺度不同；T0為柔輪圓柱殼第i階固有頻率ωi引起的快時(shí)間尺度；T1是由三相繞組激勵(lì)、阻尼以及徑向振動(dòng)微分方程的非線性項(xiàng)導(dǎo)致的相位、振幅的慢時(shí)間尺度。

為了分析柔輪圓柱殼兩階模態(tài)在三相繞組磁場(chǎng)力激勵(lì)下發(fā)生1∶1內(nèi)共振的情形，則產(chǎn)生這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要滿足的條件有

ω?ω1，ω?ω2，ω1?ω2。

(9)

引入解諧參數(shù)σ1、σ2可更方便地分析1∶1內(nèi)共振的情形，并且可以準(zhǔn)確地表示上述頻率之間的關(guān)系。用σ1表示二階頻率向一階頻率的靠近程度，σ2表示三相繞組激振頻率向一階頻率的靠近程度，則令各階頻率與解諧參數(shù)之間的關(guān)系為

(10)

則，當(dāng)ω1和ω2相接近時(shí)，σ1近似為0。

將尺度不同的時(shí)間變量定義為獨(dú)立變量，引入微分算子，在式(8)中分離虛部與實(shí)部，得幅值dn和相位αn的關(guān)系式為

(11)

當(dāng)幅值dn和相位θn為常數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，則在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)存在下，幅值dn與新相位θn需要滿足如下條件：

(12)

本文只對(duì)初相角γ=0時(shí)進(jìn)行分析，當(dāng)γ=0時(shí)，sinγ=0、cosγ=1、γ=θ1-θ2=0，將其代入式(11)，得到關(guān)于d1、d2的二元六次方程組：

(13)

3 柔輪1∶1內(nèi)共振下的幅頻特性曲線分析

選取參數(shù)γ=0、ε=0.01、c=12.25、ω1=1 082.92 Hz，ω2=1 086.09 Hz，根據(jù)式(13)，利用MATLAB軟件繪制出激振力F(t)=20 N時(shí)振幅d1、d2的幅頻特性曲線如圖2所示。

圖2 激振力F(t)=20 N時(shí)振幅d1、d2的幅頻特性曲線
Fig.2 Amplitude frequency characteristic curve ofd1andd2amplitude when excitation forceF(t)=20 N

由圖2可看出，在電磁激勵(lì)力頻率與一階固有頻率靠近時(shí)，系統(tǒng)的兩階模態(tài)均被激發(fā)，幅頻特性曲線表現(xiàn)為軟特性并且有多個(gè)解分支，兩階模態(tài)的響應(yīng)幅值大小相近，且均有4個(gè)解分支和較大的分支①，一階模態(tài)有②、③、④半橢圓形狀分支，二階模態(tài)有一個(gè)包含封閉環(huán)的分支③，和②、④半橢圓形狀分支。當(dāng)σ2/ω1=0時(shí)，兩階模態(tài)的響應(yīng)幅值均增加；當(dāng)σ2/ω1=4時(shí)，兩階模態(tài)的響應(yīng)幅值變化差異變大，一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的解支①逐漸減小，二階模態(tài)對(duì)應(yīng)的解支①逐漸增大；當(dāng)σ2/ω1=5.1時(shí)，幅頻特性曲線出現(xiàn)多個(gè)解分支，也即解支③，一階模態(tài)中解支③的兩個(gè)分支隨著頻率比的增大而增大，二階模態(tài)則出現(xiàn)了封閉環(huán)解；當(dāng)σ2/ω1=8.4和σ2/ω1=9.2時(shí)，兩階模態(tài)又依次出現(xiàn)半橢圓形分支②、④，兩個(gè)分支的上下兩分支隨著頻率比的增大，變化相反。兩階模態(tài)的變化存在跳躍性，一階模態(tài)在上半支，二階模態(tài)則在下半支，反之亦然。

根據(jù)式(13)，將d1、d2轉(zhuǎn)換成模態(tài)振幅，令σ2/ω1=5，得ω=1 137.07 Hz，并繪制出兩組模態(tài)振幅的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 激振力F(t)=20 N時(shí)兩組模態(tài)振幅的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.3 Time response curves of two groups of modal amplitudes when excitation force F(t)=20 N

從圖3中可以看出，在激振力相等的情況下，兩階模態(tài)的響應(yīng)幅值是連續(xù)變化的，系統(tǒng)的響應(yīng)在兩階模態(tài)中不停地跳躍。由于兩階模態(tài)頻率與固有頻率十分接近，說(shuō)明系統(tǒng)存在1∶1內(nèi)共振現(xiàn)象。

4 性能參數(shù)對(duì)模態(tài)振幅幅頻特性的影響

4.1 小參數(shù)對(duì)模態(tài)振幅幅頻特性的影響

由式(8)可知，小參數(shù)ε的變化會(huì)影響振幅d1、d2向模態(tài)振幅A1,6、A2,6的轉(zhuǎn)化，由于以振幅d1、d2為縱坐標(biāo)的幅頻特性曲線不能準(zhǔn)確地表達(dá)出小參數(shù)的變化帶來(lái)的影響，因此需要用模態(tài)振幅A1,6、A2,6為縱坐標(biāo)。根據(jù)式(8)、式(13)，選取參數(shù)ω1=1 082.92 Hz、ω2=1 086.09 Hz、c=12.25 Nsm-3，則可繪制穩(wěn)態(tài)解在頻率比σ2/ω1變化下，激勵(lì)力F(t)=25 N時(shí)，由于小參數(shù)ε的改變帶來(lái)的幅頻特性響應(yīng)曲線的改變(廣義坐標(biāo)下)，如圖4所示。

由圖4可看出，當(dāng)ε=0.001時(shí)，響應(yīng)曲線的一條解支接近直線，另外的半圓形解分支也較小，曲線較為簡(jiǎn)單；當(dāng)ε=0.02時(shí)，曲線開(kāi)始變彎曲，共振區(qū)間變大，半圓形解分支也開(kāi)始變大；當(dāng)ε=0.04時(shí)，曲線復(fù)雜，非線性較強(qiáng)，兩階模態(tài)的解分支比較完整，模態(tài)響應(yīng)值不停地在不同解支中跳躍，說(shuō)明模態(tài)間能量傳遞的不規(guī)律性較強(qiáng)。因此，小參數(shù)ε越大，響應(yīng)曲線越復(fù)雜，響應(yīng)模態(tài)振幅值越大，二階模態(tài)響應(yīng)曲線的環(huán)解變大，共振區(qū)間變小，動(dòng)力學(xué)行為越復(fù)雜；隨著小參數(shù)ε的減小，兩階模態(tài)響應(yīng)曲線越平滑，系統(tǒng)非線性性質(zhì)越弱，逐漸接近線性，說(shuō)明能量在模態(tài)間傳遞平穩(wěn)。

圖4 小參數(shù)ε變化時(shí)模態(tài)振幅A1,6、A2,6的幅頻特性曲線Fig.4 Amplitude frequency characteristic curve of A1,6 and A2,6modal amplitudes when small parameters change

4.2 阻尼系數(shù)對(duì)模態(tài)振幅幅頻特性的影響

選取參數(shù)ε=0.01、ω1=1 082.92 Hz、ω2=1 086.09 Hz、F(t)=25 N，阻尼系數(shù)選取c=125 Nsm-3、c=12.25 Nsm-3、c=300 Nsm-3。根據(jù)式(8)、式(13)可繪制穩(wěn)態(tài)解在頻率比σ2/ω1變化下模態(tài)振幅A1,6、A2,6的幅頻特性曲線(廣義坐標(biāo)下)，如圖5所示。

圖5 阻尼系數(shù)c改變時(shí)模態(tài)振幅A1,6、A2,6的幅頻特性曲線Fig.5 Amplitude frequency characteristic curve of A1,6 and A2,6 modal amplitudes when damping coefficient c change

由圖5可看出，模態(tài)響應(yīng)振幅在阻尼系數(shù)c變大后變化不大，響應(yīng)曲線略向左移動(dòng)，共振區(qū)間變化不大。隨著阻尼系數(shù)的增大，從剛開(kāi)始的重合到逐漸偏離，但偏離的距離較小，一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的半橢圓形解分支從剛開(kāi)始的分離到逐漸重合，二階模態(tài)對(duì)應(yīng)的封閉環(huán)解略變小。因此，改變阻尼系數(shù)大小(即改變阻尼項(xiàng))，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值變化不大，故系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為對(duì)阻尼不敏感，主要原因在于柔輪圓柱殼的質(zhì)量較小、彈性模量較大。于是，在設(shè)計(jì)柔輪參數(shù)與研究柔輪的非線性振動(dòng)特性時(shí)，阻尼可以忽略不計(jì)。

4.3 初相角對(duì)模態(tài)振幅幅頻特性的影響

選取參數(shù)為ε=0.01、c=12.25 Nsm-3、ω1=1 082.92 Hz、ω2=1 086.09 Hz、F(t)=20 N，根據(jù)式(11)，初相角選取γ=0、γ=π/2，繪制出在不同初相角γ下系統(tǒng)模態(tài)振幅A1,6、A2,6穩(wěn)態(tài)解在頻率比σ2/ω1變化下的幅頻特性曲線(廣義坐標(biāo)下)，如圖6所示。

由圖6可看出，在初相角變化時(shí)，兩階模態(tài)的共振區(qū)間變化較大，響應(yīng)振幅幅值變化較小。在初相角γ=π/2時(shí)，相比γ=0時(shí)的響應(yīng)，兩階模態(tài)的共振區(qū)間均變小，一階模態(tài)的響應(yīng)曲線向右移動(dòng)，二階模態(tài)的響應(yīng)曲線向左移動(dòng)；由于二階模態(tài)的響應(yīng)曲線左移，使得二階模態(tài)的半橢圓形解分支與封閉環(huán)解匯合，在區(qū)間σ2/ω1=4.1～7.2內(nèi)，系統(tǒng)振動(dòng)特性較為復(fù)雜；在區(qū)間σ2/ω1>4后，兩階模態(tài)的響應(yīng)幅值在不同解分支上不停地跳躍，系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象比較明顯。

圖6 不同初相角γ下模態(tài)振幅A1,6、A2,6的幅頻特性曲線Fig.6 Amplitude frequency characteristic curve of A1,6 and A2,6 modal amplitudes under different initial phase anglesr

5 結(jié)論

本文將電磁諧波活齒傳動(dòng)系統(tǒng)激波器中的柔輪近似為一端固定、一端自由的薄壁圓柱殼，將動(dòng)態(tài)特性模量、阻尼、柔輪的幾何非線性等因素考慮進(jìn)去，建立柔輪的非線性振動(dòng)微分方程，將其離散化后得到模態(tài)方程組，利用多尺度法求解能反應(yīng)系統(tǒng)1∶1內(nèi)共振現(xiàn)象的主共振，研究存在1∶1內(nèi)共振時(shí)系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換過(guò)程，分析了小參數(shù)、阻尼系數(shù)、初相角改變時(shí)對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性的影響程度，結(jié)果表明：

1)兩階模態(tài)的固有頻率很接近，柔輪在受到一階固有頻率附近電磁激勵(lì)力的激勵(lì)時(shí)，兩階模態(tài)之間的耦合特性較為強(qiáng)烈，兩模態(tài)之間的能量傳遞迅速，彼此相互影響約束，產(chǎn)生了1∶1內(nèi)共振，表明內(nèi)共振下系統(tǒng)的模態(tài)耦合特性。

2)考慮存在1∶1內(nèi)共振的電磁諧波活齒傳動(dòng)系統(tǒng)柔輪主共振的幅頻特性曲線表現(xiàn)出軟特性，共振區(qū)間存在多個(gè)解分支，在不同的解支中，響應(yīng)多次跳躍。

3)小參數(shù)越大，系統(tǒng)響應(yīng)曲線越復(fù)雜，響應(yīng)振幅值越大，系統(tǒng)非線性越強(qiáng)；小參數(shù)越小，系統(tǒng)響應(yīng)曲線越平滑，系統(tǒng)非線性越弱并接近線性，說(shuō)明能量在模態(tài)間傳遞平穩(wěn)。

4)系統(tǒng)阻尼系數(shù)變化后，響應(yīng)幅值變化不大，系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為對(duì)阻尼不敏感。于是，研究柔輪的非線性振動(dòng)特性時(shí)，阻尼可以忽略不計(jì)。

5)改變初相角大小，兩階模態(tài)響應(yīng)曲線的共振區(qū)間變化較大，響應(yīng)振幅幅值變化較小。因此，初相角的不同選取，對(duì)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為影響較大。