張國勖

（重慶交通大學經(jīng)濟與管理學院，重慶 400074）

鯡魚群在每年由南至北的大遷徙中，為了對抗沿途強大的捕食者聯(lián)盟，會自發(fā)地聚集成一個個直徑達數(shù)十米的近乎完美球形的“魚球”，且個體能在遇到威脅時快速地傳遞威脅信號給其它個體而及時退避，使得強大數(shù)倍的捕食者們難以得逞。本文通過建立數(shù)學模型來模擬鯡魚群的集群運動行為，探索鯡魚群中的信號傳遞機制。分析鯡魚在自然狀態(tài)下和捕食狀態(tài)下的運動規(guī)律，并基于鯡魚的感知范圍建立兩種狀態(tài)下的鯡魚三維空間運動數(shù)學模型和海豚在捕食狀態(tài)下的三維空間運動數(shù)學模型。其次，結合鯡魚群的“六大運動規(guī)則”和數(shù)學模型，給出相應的數(shù)學模型公式。最后，利用MATLAB 對數(shù)學模型進行仿真。

1 模型建立

1.1 捕食狀態(tài)下魚群運動模型

在空間三維坐標系中，將鯡魚群中每條鯡魚看做為一個一個具有空間坐標和運動方向的矢量點。假定初始時刻t=0 時鯡魚之間無任何感知，初始運動速度相同且大小不變，初始運動方向隨機給定。研究鯡魚群t 時刻在捕食狀態(tài)下的運動規(guī)律，就相當于研究鯡魚Si在t 時刻的空間坐標和運動方向。鯡魚魚群在捕食狀態(tài)下主要分為兩大魚群：一類是直接感應到海豚的威脅并接收到其它鯡魚傳來的警告信號；另外一類是只接收到其它鯡魚傳來的警告信號。這兩大類鯡魚的運動遵守Reynolds 模型的六大規(guī)則：慣性運動規(guī)則、排斥運動規(guī)則、吸引運動規(guī)則、平行運動規(guī)則、逃避運動規(guī)則、警告運動規(guī)則，其中第二類鯡魚不具有逃避運動規(guī)則。

圖2 捕食狀態(tài)下鯡魚運動規(guī)則

（M1-慣性運動；M2-排斥運動；M3-吸引運動；M4-平行運動；M5-逃避運動；M6-警告運動）

如圖1 所示，取四個運動規(guī)則下的運動方向的合方向為鯡魚Si在t 時刻的運動方向，則鯡魚si在t 時刻的運動方向可以表示為

圖1 自然狀態(tài)下的鯡魚運動規(guī)則

1.2 捕食狀態(tài)下海豚運動模型

在空間三維坐標系中，將海豚作為一個具有空間坐標和運動方向的矢量點。假定t=0 時海豚的初始運動速度大小不變方向隨機給定。如圖3 所示，取二個運動規(guī)則下的運動方向的合方向為海豚在t 時刻的運動方向，則海豚在t 時刻的運動方向可以表示為

圖3 捕食狀態(tài)下海豚運動規(guī)則

式中，H0為海豚在初始時刻t=0 時的運動方向；Ht為海豚在t 時刻的運動方向；H1t為海豚的慣性運動方向；H2t為海豚的吸引運動方向。

2 模型求解與仿真分析

2.1 自然狀態(tài)下鯡魚群仿真

利用MATLAB 軟件對無外界威脅自然狀態(tài)下的魚群進行運動模型仿真。在三維空間坐標系下通過MATLAB 函數(shù)隨機生成700 個自由分布的鯡魚，如圖4 所示，初始運動方向隨機設定。

2.2 捕食狀態(tài)下鯡魚群仿真

利用MATLAB 軟件對有外界捕食威脅狀態(tài)下的魚群進行運動模型仿真。對魚群進行無外界威脅狀態(tài)模型迭代500 次，迭代后的魚群狀態(tài)作為有外界捕食威脅狀態(tài)模型的初始狀態(tài)。

通過對捕食狀態(tài)下魚群空間分布的仿真發(fā)現(xiàn)：當捕食者逐漸逼近于鯡魚群時，靠近捕食者一側的鯡魚呈現(xiàn)出以捕食者為中心，以威脅范圍為半徑的球面的分布狀態(tài)，不同迭代次數(shù)下的魚群空間分布狀態(tài)如圖5 所示，仿真結果與實際情況相符合。

3 結論

本文針對鯡魚運動規(guī)律提出了優(yōu)化算法。在無外界干擾的自然狀態(tài)下，鯡魚群具有趨于集群抱團現(xiàn)象，形成一個“魚團”，魚群系統(tǒng)保持一個相對平穩(wěn)的狀態(tài)。當遇到海豚捕食的威脅時，外部魚群最先發(fā)現(xiàn)來自捕食者的威脅信息，并將信息迅速向魚群內(nèi)部傳遞，從而使整個魚群遠離捕食者。通過MATLAB對魚群兩種狀態(tài)下的運動模型進行仿真，得出的結果和實際情況相吻合，從而驗證了該運動規(guī)律模型的合理性。