賀慧霞， 苑 佳

(北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100191)

0 引言

多元函數(shù)的條件極值是數(shù)學(xué)分析重要的研究內(nèi)容，它不僅在經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)和現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，還在物理學(xué)、生物工程、化學(xué)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域有著重要的作用.但它的求解方法一直是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，條件極值問題除了一小部分可以通過消元法求解之外，絕大多數(shù)是通過Lagrange乘數(shù)法求解的[1-2].目前使用的大多數(shù)教材中,Lagrange函數(shù)的引入都是從極值的必要條件入手，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龅玫降腫3].但因?yàn)槿鄙賻缀沃庇^，函數(shù)的引入顯得不是很自然，我們將從一個(gè)具體例子入手[4]，借助幾何直觀，自然地引入Lagrange函數(shù)，給出Lagrange乘數(shù)法，并通過實(shí)例總結(jié)Lagrange乘數(shù)法的解題思路及解題步驟.

1 條件極值

下面我們通過一個(gè)例子來探索這類題目的求解方法.

例1求雙曲線xy=3上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離(如圖1).

圖1

我們稱解題的方法為消元法，然而,在一般情形下條件組中解出m個(gè)變?cè)⒉豢偸强赡艿?，因此我們有必要探索新的、不直接依賴消元而求解條件極值問題的有效方法.

2 條件極值的幾何求解

回到上例，我們來看一下其中蘊(yùn)含的幾何直觀.

分析：目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y)=x2+y2，約束條件φ(x,y)=xy-3=0,由等高線的定義可知，函數(shù)z=x2+y2的等高線是x2+y2=c，是xOy平面的一系列同心圓.

圖2

目標(biāo)：求雙曲線xy=3上的點(diǎn)，使得過該點(diǎn)的同心圓的半徑最小.

圖2

原問題轉(zhuǎn)化為求f(x,y)=c與φ(x,y)=xy-3=0相切時(shí)x,y的大小(見圖3).

圖3

等高線與雙曲線在切點(diǎn)處的法向量是平行的，即nf(P)//nφ(P),平面曲線g(x,y)=0的法向量為ng=(gx,gy)[5]，所以可知向量(fx,fy)與向量(φx,φy)線性相關(guān),即存在非零實(shí)數(shù)λ,使得

(fx,fy)|P+λ(φx,φy)|P=0.

即切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)滿足方程組

(1)

3 Lagrange乘數(shù)法

觀察方程組(1)，可知它是多元函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)的駐點(diǎn)方程組.上面的方法是否具有一般性呢？我們斷言：

【斷言】設(shè)函數(shù)f(x,y),φ(x,y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的極值點(diǎn)滿足三元函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)的駐點(diǎn)方程組.

(2)

稱函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)為Lagrange函數(shù)，其中λ為Lagrange乘數(shù)，利用Lagrange函數(shù)求解條件極值的方法稱為Lagrange乘數(shù)法[6].

在上面的證明中，我們只用到了隱函數(shù)定理、函數(shù)極值的必要條件和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，因此求三元及三元以上的多元函數(shù)在多個(gè)約束條件下的極值時(shí)，只要目標(biāo)函數(shù)和條件函數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，也可構(gòu)造出Lagrange函數(shù).以三元函數(shù)u=f(x,y,z)在兩個(gè)約束條件φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0下的極值問題為例,可構(gòu)造Lagrange函數(shù)

L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z).

4 用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問題的一般步驟

4.1 根據(jù)問題意義確定目標(biāo)函數(shù)與條件組，作拉格朗日函數(shù)

其中，m為條件組的個(gè)數(shù).

4.3 判定所得駐點(diǎn)是否為所求的條件極值點(diǎn).

判定所得的駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)有以下的一個(gè)充分條件[7]：

則當(dāng)方陣H(P0)正定(負(fù)定)時(shí)，P0為f的條件極小(大)值點(diǎn)，因此f(P0)為滿足約束條件的條件極小(大)值.

注記：當(dāng)H(P0)不定時(shí)，并不能說明f(P0)不是極值.

在實(shí)際問題中往往遇到的是求最值問題，這時(shí)可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)判定最值的存在性，而不必驗(yàn)證[5,8].

解:設(shè)拉格朗日函數(shù)為

將(3)(4)(5)三式分別乘以x,y,z,然后相加可得

x2+y2+z2=-μ，即u(x,y,z)=-μ.可知要求的函數(shù)的最值由參數(shù)μ確定.

由式(3)、式(4)、式(5)可解得

代入式(6)可得

即

[a2cos2α+b2cos2β+c2cos2γ]μ2+[(b2+c2)a2cos2α+(a2+c2)b2cos2β+(a2+b2)c2cos2γ]μ+a2b2c2=0.

于是橢圓的面積為

拉格朗日乘數(shù)法是優(yōu)化問題中一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件限制的多元函數(shù)的極值的方法.這種方法將一個(gè)有n個(gè)變量與k個(gè)約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n+k個(gè)變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束.這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù).此方法的證明牽涉偏微分、全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值即為滿足約束條件的極值.但是拉格朗日乘數(shù)法只能求極值，不能精確到極小值或極大值(像求導(dǎo)求極值一樣)，所以求最值時(shí)要代入驗(yàn)證.本文從幾何的角度解釋了拉格朗日函數(shù)的構(gòu)造思路，讓讀者在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)更加容易接受和理解.