夏玉寧,王釗,張?jiān)?沈法華,2*,仇成群,2*,徐華,2

(1鹽城師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,江蘇省智能光電器件與測控工程研究中心,江蘇 鹽城 224002;2江蘇省大氣探測激光雷達(dá)技術(shù)軍民融合創(chuàng)新平臺,江蘇 鹽城 224002)

0 引言

馬赫-曾德爾干涉儀(MZI)以分振幅法產(chǎn)生雙光束從而實(shí)現(xiàn)干涉。與基于多光束干涉原理的法布里-珀羅干涉儀(FPI)相比,MZI干涉頻譜的銳度較低,但是也有其獨(dú)特的優(yōu)勢。首先,在忽略吸收損耗的情況下,MZI能夠方便地實(shí)現(xiàn)對入射光能的全部利用,光學(xué)效率高。其次,它的結(jié)構(gòu)簡單,易于通過對其中一個(gè)干涉臂調(diào)控以實(shí)現(xiàn)各種物理量測量。由于傳感臂(光程受待測物理量調(diào)控的干涉臂)中的光相比參考臂(光程固定干涉臂)中的光產(chǎn)生新的相位差,可以通過觀察干涉條紋的移動來確定待測物理量的變化。目前,基于MZI的干涉型傳感器已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于溫度、壓力等物理量測量。此外,MZI便于進(jìn)行視場展寬,從而放寬對入射光束準(zhǔn)直性的要求。由于MZI具有光學(xué)效率高、結(jié)構(gòu)簡單、便于視場展寬等優(yōu)勢,其不僅在傳統(tǒng)的光學(xué)通信、傳感和檢測等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛,而且被作為重要的光學(xué)鑒頻器之一應(yīng)用于高光譜分辨率激光雷達(dá)和多普勒激光雷達(dá)系統(tǒng)中。Bruneau[1,2]于2001和2002年先后提出了基于MZI的邊緣技術(shù)和條紋成像技術(shù)的多普勒激光雷達(dá)技術(shù),并于2013年搭建了一套基于MZI的多縱模測風(fēng)激光雷達(dá)系統(tǒng)[3]。Wang等[4-7]對上述技術(shù)做了進(jìn)一步研究,并于2018年研制出了基于光纖MZI的多普勒激光雷達(dá)[8]。Hong等[9,10]也對該技術(shù)做了理論跟蹤研究和視場展寬實(shí)驗(yàn)。2015年至2017年,Jin等[11,12]和Ristori等[13]提出了基于可調(diào)諧MZI多縱模高光譜分辨率激光雷達(dá)技術(shù)。2018年至2019年,華燈鑫課題組對該技術(shù)做了進(jìn)一步研究[14,15]。

隨著MZI的應(yīng)用越來越廣泛,對其頻譜特性的深入研究就顯得十分必要。目前一般教科書中僅給出了在理想的單色平行光入射條件下MZI的頻譜理論公式。而實(shí)際應(yīng)用中,入射光源是具有一定發(fā)散角和譜寬的,這必然會造成MZI的實(shí)際頻譜特性與理想條件下得到的結(jié)果有較大偏差。Bruneau[1]在對MZI頻譜特性的理論分析中考慮了入射光譜寬的影響,但沒有做深入的定量研究;Hong等[10]將發(fā)散角對MZI條紋干涉對比度的影響用附加干涉對比度表示,但沒有給出該附加干涉對比度與發(fā)散角的定量關(guān)系式。因此,為了更好地設(shè)計(jì)和應(yīng)用MZI,有必要對此時(shí)的MZI實(shí)際頻譜特性進(jìn)行深入研究。

本文首先從理論上嚴(yán)格導(dǎo)出了在考慮入射光發(fā)散角和譜寬情況下MZI干涉頻譜的解析表達(dá)式;然后,以干涉條紋對比度為主要評價(jià)指標(biāo),利用依據(jù)解析式編寫的軟件程序進(jìn)行仿真并詳細(xì)分析了入射光發(fā)散角和譜寬對MZI干涉頻譜的影響;其次,為減小入射光發(fā)散角對MZI頻譜的影響,深入研究了傳統(tǒng)的棱鏡式視場展寬技術(shù)并分析指出了其在大發(fā)散角情況下的補(bǔ)償效果不佳,提出了依據(jù)不同光束發(fā)散角選取不同最佳棱鏡厚度的視場展寬方法,與傳統(tǒng)的棱鏡式視場展寬技術(shù)相比明顯提升了在大發(fā)散角情況下的視場補(bǔ)償效果。

1 理想情況下的MZI干涉頻譜函數(shù)

如圖1所示,假定入射光為理想的單色平行光,忽略反射鏡M1、M2以及分束棱鏡BS1、BS2的表面缺陷和吸收損耗,并且BS1和BS2的透反比為50/50,則MZI兩個(gè)通道的干涉頻譜可分別表示為

圖1 馬赫-曾德爾干涉儀雙光束干涉原理圖Fig.1 Principle diagram of MZI double beam interference

式中:I0、I1和I2分別入射光強(qiáng)、通道1出射光強(qiáng)和通道2出射光強(qiáng),ν=c/λ為入射光頻率,c為真空中光速,λ為入射光波長,l為MZI兩干涉臂的光程差。MZI的兩個(gè)出射通道干涉互補(bǔ)。

2 考慮入射光譜寬和發(fā)散角后的MZI干涉頻譜函數(shù)

2.1 考慮入射光譜寬

在實(shí)際應(yīng)用中,特別是在高光譜分辨激光雷達(dá)和多普勒激光雷達(dá)應(yīng)用中,通常采用單縱模激光作為MZI的入射光源(即使采用多縱模激光,其頻譜也可等效為多個(gè)單縱模激光譜的疊加,下述分析同樣有意義),而單縱模激光不是嚴(yán)格的單色光源,有一定譜線寬度。單縱模激光譜通?？山茷楦咚狗植甲V,可表示為

其中:Δνe=Δν/(4ln2)1/2,Δν為入射光譜寬(FWHM)。由此,中心頻率為ν的高斯光譜入射MZI后兩個(gè)出射通道頻譜函數(shù)為

式中符號“?”表示卷積。將(1)～(3)式代入(4)式計(jì)算得到

2.2 考慮入射光發(fā)散角

在實(shí)際應(yīng)用中,入射至MZI的光束無論是激光器直接發(fā)出還是通過光纖耦合等方式得到,都要先經(jīng)過準(zhǔn)直鏡準(zhǔn)直再進(jìn)入MZI。然而,經(jīng)過準(zhǔn)直鏡準(zhǔn)直后的光束仍存在一定的發(fā)散角(一般為幾至幾十mrad),需要考慮其對MZI干涉頻譜的影響。假定入射到MZI的光束為光強(qiáng)分布均勻且半發(fā)散角為θ0,則MZI的干涉頻譜函數(shù)為

式中:H1,2(ν,θ)為光束入射角為θ時(shí)兩個(gè)出射通道頻譜函數(shù),可由(5)式將l替換為l/cosθ得到。將H1,2(ν,θ)代入 (6)式積分得

深入分析可以發(fā)現(xiàn)由于θ0很小,(7)式中exp指數(shù)項(xiàng)可不參與積分,同時(shí)有sinθ≈θ和1/cosθ≈1+θ2/2,所以有

即

3 入射光譜寬和發(fā)散角對MZI干涉頻譜的影響分析

為了更好地分析入射光譜寬和發(fā)散角對MZI干涉頻譜的影響,定義MZI干涉條紋頻譜對比度為

此外,為了仿真結(jié)果更具參考價(jià)值,以文獻(xiàn)[1,2]得到的基于MZI分子散射多普勒激光雷達(dá)最優(yōu)參數(shù)(λ=355 nm,l=3 cm)和文獻(xiàn)[13]給出的基于MZI多縱模高光譜分辨率激光雷達(dá)參數(shù)(λ=532 nm,l=59 cm)作為兩組工作波長和MZI光程差參數(shù)值進(jìn)行仿真,并分別記為(a)組和(b)組。

3.1 入射光譜寬的影響

利用(7)式并假定θ0=0,采用(a)組(λ=355 nm,l=3 cm)參數(shù)值得到入射光譜寬分別為0、1、2 GHz的MZI干涉頻譜曲線如圖2(a)所示;采用(b)組(λ=532 nm,l=59 cm)參數(shù)值,得到入射光譜寬分別為0、100、200 MHz的MZI干涉頻譜曲線,如圖2(b)所示?？梢钥闯?隨著入射光譜寬增大,干涉條紋頻譜對比度K逐漸減小。此外,由Mν=exp(-π2Δν2el2/c2)可知,光程差l越大,干涉頻譜曲線受入射光譜寬增大的影響越明顯。圖3(a)、(b)分別給出了取(a)組和(b)組參數(shù)時(shí),干涉條紋頻譜對比度K隨入射光譜寬的變化曲線。由圖3(a)可見,當(dāng)入射光譜寬增大至10 GHz時(shí),K將降至2.8%;由圖3(b)可見,當(dāng)入射光譜寬增大至500 MHz時(shí),K將降至3.2%。

圖2 不同光譜寬度入射光的MZI干涉光譜曲線。 (a)θ0=0,λ=355 nm,l=3 cm;(b)θ0=0,λ=532 nm,l=59 cmFig.2 The interference spectrum curve of MZI with different spectral widths of incident light when(a)θ0=0,λ =355 nm and l=3 cm;(b)θ0=0,λ =532 nm and l=59 cm

圖3 MZI干涉條紋對比度隨入射光譜寬度變化曲線。(a)θ0=0,λ=355 nm,l=3 cm;(b)θ0=0,λ=532 nm,l=59 cmFig.3 Variation curve of MZI interference fringe contrast with incident spectral width when(a)θ0=0,λ =355 nm and l=3 cm;(b)θ0=0,λ =532 nm and l=59 cm

3.2 入射光發(fā)散角的影響

利用(7)式并假定Δν=0,采用(a)組(λ=355 nm,l=3 cm)參數(shù)值,得到入射光半發(fā)散角分別為0、2、4 mrad的MZI干涉頻譜曲線,如圖4(a)所示;采用(b)組(λ=532 nm,l=59 cm)參數(shù)值,得到入射光半發(fā)散角分別為0、0.5、1 mrad的MZI干涉頻譜曲線,如圖4(b)所示?？梢钥闯?隨著入射光發(fā)散角增大,干涉條紋頻譜對比度K逐漸減小,同時(shí)干涉條紋也逐漸向低頻偏移。此外,由Mθ=sinc(lθ20/2λ0)可知,光程差l與λ0的比值越大,干涉頻譜曲線受入射光發(fā)散角增大的影響越明顯。圖5(a)、(b)分別給出了取(a)組和(b)組參數(shù)時(shí)K隨入射光半發(fā)散角的變化曲線。由圖5(a)可見,當(dāng)入射光半發(fā)散角增大至4.5 mrad時(shí),K將降至16.3%;由圖5(b)可見,當(dāng)入射光譜寬增大至1.25 mrad時(shí),K將降至15.0%。同時(shí),從圖5(a)、(b)還可以看出,隨著入射光半發(fā)散角增大,K出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象,且振蕩幅度越來越小。

圖4 不同入射光發(fā)散角下的MZI干涉光譜曲線。 (a)Δν=0,λ=355 nm,l=3 cm;(b)Δν=0,λ=532 nm,l=59 cmFig.4 The interference spectrum curve of MZI with different divergence angles of incident light when(a)Δν=0,λ=355 nm and l=3 cm;(b)Δν=0,λ=532 nm and l=59 cm

圖5 MZI干涉條紋對比度曲線隨入射光半發(fā)散角變化曲線。(a)Δν=0,λ=355 nm,l=3 cm;(b)Δν=0,λ=532 nm,l=59 cmFig.5 Variation curve of MZI interference fringe contrast with semi divergence angle of incident light when(a)Δν=0,λ=355 nm and l=3 cm;(b)Δν=0,λ=532 nm and l=59 cm

4 視場展寬技術(shù)

通過3.2節(jié)的分析,可以發(fā)現(xiàn)入射光發(fā)散角對MZI干涉頻譜的影響非常大。為了減小發(fā)散角對MZI頻譜的影響,需要對MZI進(jìn)行視場展寬,此處對棱鏡式視場展寬技術(shù)進(jìn)行了深入研究。棱鏡式視場展寬方案的原理圖如圖1所示,即在MZI干涉臂中的長臂插入一個(gè)折射率為n、厚度為d的補(bǔ)償棱鏡。此時(shí),入射角為θ的光線經(jīng)過MZI的兩個(gè)干涉臂后的光程差為

式中:θr為光線進(jìn)入棱鏡后的折射角,有sinθ=nsinθr,因此

由于θ很小,故對(12)式進(jìn)行泰勒展開得到

由(13)式可見,忽略sin4θ項(xiàng)及更高階項(xiàng),若要lθ與θ無關(guān),需滿足d/n+l-d=0,即

此式即為棱鏡式視場展寬條件,此時(shí)不同θ入射角光線的光程差將相同。若補(bǔ)償棱鏡采用石英玻璃材料,而石英的折射率與波長的關(guān)系近似為

式中波長λ的單位取μm。根據(jù)(14)、(15)式,可以求得補(bǔ)償棱鏡厚度d與入射波長λ的關(guān)系。圖6給出了d與λ的關(guān)系曲線,圖中假定光程差l=3 cm。

圖6 補(bǔ)償棱鏡厚度曲線隨工作波長變化曲線Fig.6 Variation curve of compensation prism thickness with operating wavelength

用(12)式lθ表達(dá)式替換(5)式中的l,并進(jìn)一步代入(6)式,得到加入補(bǔ)償棱鏡后MZI兩個(gè)出射通道干涉頻譜函數(shù)為

假定補(bǔ)償棱鏡采用石英玻璃材料,采用(a)組(λ=355 nm,l=3 cm)參數(shù)值和n=1.4761@355 nm,代入(14)式得補(bǔ)償棱鏡厚度d=0.093 m;采用(b)組(λ=532 nm,l=59 cm)參數(shù)值和n=1.4607@532 nm,代入(14)式得補(bǔ)償棱鏡厚度d=1.8707 m(僅為理論分析結(jié)果,實(shí)際上此厚度的補(bǔ)償棱鏡加工難度很大,可采用高折射率材料或結(jié)合使用直角反射棱鏡增加穿過棱鏡的次數(shù)等方法加以實(shí)現(xiàn))。將上述兩組參數(shù) (a)組 (λ=355 nm,l=3 cm,n=1.4761,d=0.093 m)和 (b)組(λ=532 nm,l=59 cm,n=1.4607,d=1.8707 m)代入(16)式及(10)式,不考慮入射光譜寬,得到滿足(14)式的視場展寬條件時(shí)的視場展寬效果曲線分別如圖7(a)、(b)所示。由圖7(a)可見:取(a)組參數(shù),當(dāng)入射光半發(fā)散角增大至50 mrad時(shí),K仍能保持在93.1%;當(dāng)入射光半發(fā)散角增大至70 mrad時(shí),K將降至33.3%。由圖7(b)可見,當(dāng)取(b)組參數(shù),入射光半發(fā)散角增大至25 mrad時(shí),K仍能保持在94.0%;當(dāng)入射光半發(fā)散角增大至35 mrad時(shí),K將降至37.6%。

圖7 加入場補(bǔ)償棱鏡后,MZI干涉條紋對比度隨入射光半發(fā)散角變化曲線。(a)Δν=0,λ=355 nm,l=3 cm,n=1.4761,d=0.093 m;(b)Δν=0,λ=532 nm,l=59 cm,n=1.4607,d=1.8707 mFig.7 Variation curve of MZI interference fringe contrast with semi divergence angle of incident light after adding field compensation prism when(a)Δν=0,λ=355 nm,l=3 cm,n=1.4761 and d=0.093 m;(b)Δν=0,λ=532 nm,l=59 cm,n=1.4607 and d=1.8707 m

當(dāng)發(fā)散角較大時(shí),為了更好地實(shí)現(xiàn)視場補(bǔ)償,在(11)式中保留sin4θ項(xiàng),并令

則有

由(17)式可知,補(bǔ)償棱鏡厚度d與θ有關(guān)。進(jìn)一步推理可知,不同的入射光發(fā)散角應(yīng)有不同的最佳d值,而不是(14)式所列的與發(fā)散角無關(guān)的固定量。

設(shè)定入射光半發(fā)散角θ0,利用(14)、(8)式,分別代入(a)組(λ=355 nm,l=3 cm,n=1.4761)和(b)組(λ=532 nm,l=59 cm,n=1.4607)參數(shù)值,得到K隨d的變化曲線分別如圖8(a)、(b)所示。由圖8(a)可見:取(a)組參數(shù),當(dāng)θ0分別取50、60、70 mrad時(shí),補(bǔ)償棱鏡的最佳厚度分別為0.09280、0.09272、0.09262 m,此時(shí)對應(yīng)的對比度分別達(dá)到了99.4%、97.6%、92.1%,明顯優(yōu)于圖7(a)所示結(jié)果。由圖8(b)可見:取(b)組參數(shù),當(dāng)θ0分別取25、35、45 mrad時(shí),補(bǔ)償棱鏡的最佳厚度分別為1.8697、1.8687、1.8674 m,此時(shí)對應(yīng)的對比度分別達(dá)到了99.6%、94.4%、63.9%,明顯優(yōu)于圖7(b)所示結(jié)果。

圖8 在設(shè)定入射光半發(fā)散角的情況下,MZI干涉條紋對比度曲線隨補(bǔ)償棱鏡的厚度而變化。(a)λ=355 nm,l=3 cm,n=1.4761;(b)λ=532 nm,l=59 cm,n=1.4607Fig.8 Variation curve of MZI interference fringe contrast with the thickness of compensating prism under the condition of setting semi divergence angle of incident light when(a)λ=355 nm,l=3 cm and n=1.4761;(b)λ=532 nm,l=59 cm and n=1.4607

5 結(jié)論

研究了有一定發(fā)散角和譜寬的光束入射至MZI時(shí)的干涉頻譜特性。以干涉條紋對比度作為主要的評價(jià)指標(biāo)參數(shù),分別討論了在入射光波長355 nm、MZI光程差為3 cm(對應(yīng)分子散射多普勒激光雷達(dá)最優(yōu)參數(shù))和入射光波長532 nm、MZI光程差為59 cm(對應(yīng)多縱模高光譜分辨率激光雷達(dá)參數(shù))兩種情形下,入射光發(fā)散角和譜寬對MZI干涉頻譜的影響。通過分析發(fā)現(xiàn):入射光發(fā)散角和譜寬對MZI干涉頻譜的影響大小與MZI的光程差有關(guān),光程差越大頻譜受入射光譜寬的影響就越顯著;光程差與發(fā)射光波長的比值越大,頻譜受入射光發(fā)散角的影響就越顯著;很小的入射光發(fā)散角(mrad量級)都會對MZI干涉頻譜造成很大的影響。由此,進(jìn)一步研究了棱鏡式視場展寬技術(shù)。研究表明:在發(fā)散角較大的情況下,滿足傳統(tǒng)的棱鏡式視場展寬條件的補(bǔ)償棱鏡不能很好地實(shí)現(xiàn)視場展寬;而依據(jù)特定發(fā)散角選取對應(yīng)的最佳補(bǔ)償棱鏡厚度的方法則可以更好地實(shí)現(xiàn)視場展寬。