藺海曉，劉志紅，岳高偉

(河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院，焦作 454000)

0 引 言

鋼化真空玻璃作為新一代節(jié)能環(huán)保玻璃，具有其他種類玻璃無法比擬的隔熱、隔聲等優(yōu)越性能[1-2]，此外鋼化真空玻璃充分利用了鋼化玻璃強度高的優(yōu)點，極大改善了真空玻璃的力學(xué)性能，還具有破碎后危害小等優(yōu)點[3-5]，成為國內(nèi)外最具發(fā)展?jié)摿Φ墓?jié)能玻璃[6]。

鋼化真空玻璃抽真空后，在玻璃外表面大氣壓的作用下，兩片玻璃將向內(nèi)變形，為防止兩片玻璃中部貼在一起，在兩片玻璃之間按一定規(guī)則布置了一系列支撐物，這些支撐物將兩片鋼化玻璃隔離，形成有效的真空層。而支撐物的排布方式(間距、排布形狀等)對鋼化玻璃的力學(xué)性能影響顯著，繆宏等[7]、張瑞宏等[8]、鄒惠芬等[9]、馮毅等[10]研究了不同支撐物在真空玻璃上的力學(xué)效應(yīng)，并利用數(shù)值分析研究真空玻璃支撐柱的應(yīng)力場，優(yōu)化支承物的分布。劉小根等[11-12]對鋼化真空玻璃的表面壓痕做了深入研究，提出了真空玻璃在不產(chǎn)生壓痕時的最大臨界支撐力計算公式，并對真空玻璃支撐物缺失以及缺失量的應(yīng)力及變形進行了分析。李彥兵等[6,13]利用數(shù)值分析研究了鋼化真空玻璃支撐點排布方式和支撐間距對鋼化玻璃力學(xué)性能的影響。以上研究雖然對鋼化真空玻璃制造中支撐物排布方式和間距選取提供了理論依據(jù)，但是均未分析支撐物對玻璃產(chǎn)生的應(yīng)力場，這會影響對玻璃使用壽命的準(zhǔn)確分析。

因此，本文通過建立球形-玻璃板的壓載模型，推導(dǎo)出赫茲壓痕的應(yīng)力場方程，計算分析鋼化真空玻璃支撐物對玻璃的壓痕及應(yīng)力特征，以便更好地對鋼化真空玻璃的使用壽命進行推測。

1 鋼化真空玻璃受力分析及壓痕

鋼化真空玻璃是由兩片平板鋼化玻璃、封接焊料和支撐物組成(見圖1)，其中支撐物按一定序列排布在兩片玻璃之間。

圖1 鋼化真空玻璃結(jié)構(gòu)、支撐物及試件Fig.1 Toughened vacuum glass structure, support and specimens

在建立鋼化真空玻璃模型分析時，對其作如下假設(shè)[13]：

(1)邊界無位移假設(shè)。鋼化真空玻璃邊界采用固支約束，即邊界無位移。

(2)彈性體假設(shè)。鋼化玻璃所受荷載未超出極限時(90 MPa)，表現(xiàn)出理想彈性的特性；當(dāng)分析中應(yīng)力超出這個極限時，即認(rèn)為鋼化玻璃破碎。

建立厚度4 mm、尺寸400 mm×400 mm的鋼化真空玻璃模型，支撐物間距為50 mm×50 mm(見圖2(a))，支撐物距玻璃邊部距離25 mm，支撐物直徑0.5 mm；封接焊料寬度0.7 mm，厚度0.5 mm。鋼化玻璃彈性模量為72 GPa，泊松比為0.2，密度為2 500 kg/m3；封接焊料為合金材料(SnAgCu合金)，經(jīng)過試驗確定，其彈性模量為29.04 GPa，泊松比為0.35，密度為7 340 kg/m3;支撐物為低碳鋼材質(zhì)的球體，直徑0.5 mm，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3，密度為7 900 kg/m3。

在鋼化真空玻璃抽真空后(小于10-5Pa)，玻璃板面外側(cè)受到一個大氣壓(101 kPa)的作用，此時，采用Abaqus工程軟件對鋼化真空玻璃進行受力分析，玻璃上的應(yīng)力云圖如圖2(b)所示。從圖2(b)可以看出，鋼化玻璃上受力最大位置集中在球形支撐處，其最大應(yīng)力可達到24.87 MPa(小于90 MPa)，玻璃處于彈性狀態(tài)。

由于支撐物強度高、體積小，抽真空后支撐物與鋼化玻璃的作用力較大，進而支撐物對鋼化玻璃產(chǎn)生一定的壓痕，即玻璃出現(xiàn)微損傷(見圖3)。受鋼化玻璃的品質(zhì)和鋼球作用力的影響，鋼化玻璃上的壓痕形態(tài)略有不同，但總體來說，在壓力作用下鋼球?qū)︿摶ＡМa(chǎn)生一個壓應(yīng)力區(qū)域，在接觸圓的邊緣產(chǎn)生一個拉應(yīng)力區(qū)域，這種拉應(yīng)力將會導(dǎo)致錐形斷裂。同時，統(tǒng)計了50個壓痕的掃描圖，球體與玻璃接觸的圓形直徑約為0.193 7 mm，玻璃內(nèi)部微損傷直徑約為0.427 3 mm。

圖2 鋼化真空玻璃支撐物排布及受力圖Fig.2 Arrangement and force diagram of tempered vacuum glass supports

圖3 壓痕掃描(部分)(a)200倍放大(b)3D掃描面(c)壓痕變形曲線Fig.3 Indentation scanning (part) (a) 200 times magnification (b) 3D scanning surface (c) indentation deformation curves

2 玻璃受力應(yīng)力場理論

假設(shè)鋼化玻璃(半無限大)的楊氏模量為E，泊松比為ν;球形支撐物半徑r0，楊氏模量為E0，泊松比為ν0。當(dāng)球形支撐物以法向力F作用在玻璃表面上時(見圖4)，采用赫茲接觸力學(xué)表示的接觸半徑a為[14]：

圖4 赫茲壓痕示意圖Fig.4 Hertz indentation schematic diagram

(1)

式中：k為無量綱系數(shù)。

(2)

在此，采用簡化柱坐標(biāo)，并令R=r/a和Z=z/a，r為玻璃內(nèi)距z軸的距離，z為玻璃受壓面到玻璃內(nèi)的距離。用隱式方程定義量L為：

(3)

因為L≥0，因此可以解出：

(4)

利用上述關(guān)系，可得柱坐標(biāo)下的全應(yīng)力場為：

2006年，我考入中央戲劇學(xué)院編導(dǎo)專業(yè)。畢業(yè)后，我留在北京，交了一個男朋友，他叫周磊，也是個編劇。媽媽專門來了一趟北京見周磊，周磊做了一桌飯菜，雖然談不上多好吃，但那份用心和誠意，卻讓媽媽對他非常滿意。

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

基于此，主正應(yīng)力和最大主剪應(yīng)力可表示為：

(10)

σ2=σθ

(11)

(12)

(13)

錐形裂紋沿著與最大主拉應(yīng)力σ1正交的線傳播，因此沿著以σ2和σ3應(yīng)力軌跡與表面夾角α為特征的面?zhèn)鞑?，即?/p>

(14)

式中：σr為徑向應(yīng)力；σθ為環(huán)向應(yīng)力；σmax為最大應(yīng)力；σz為軸向應(yīng)力；τzr為軸向剪應(yīng)力；τrθ為徑向剪應(yīng)力；τzθ為環(huán)向剪應(yīng)力；σ1、σ2、σ3分別為第1，2，3主應(yīng)力；τ13為最大主剪應(yīng)力。

3 玻璃應(yīng)力場計算結(jié)果與分析

對于尺寸為400 mm×400 mm的鋼化真空玻璃，因為玻璃邊部支撐受封接焊料影響，為了描述支撐物對玻璃的力學(xué)性能，取中部位置受邊部影響較小的區(qū)域(200 mm×200 mm，見圖2(b))，在大氣壓作用下，每個支撐物上所受力大約為250 N。采用式(1)和式(2)及支撐物和鋼化玻璃的參數(shù)，計算可得到接觸圓面直徑2a為0.199 0 mm，與圖3(a)中內(nèi)圓(玻璃接觸圓面)直徑的平均值0.193 7 mm基本一致。

根據(jù)上述推導(dǎo)的應(yīng)力場分布方程，采用Matlab對上述方程進行數(shù)值計算，進而獲得應(yīng)力的變化及應(yīng)力場分布,如圖5所示，這是典型的脆性材料應(yīng)力變化圖。從圖5(a)可以看出，在接觸區(qū)域內(nèi)，除了非常接近接觸邊緣處，所有的主應(yīng)力都是壓應(yīng)力，而且σ1>σ2>σ3；在接觸區(qū)域之外，σ3= 0，σ1成為拉應(yīng)力，但σ2仍然是壓應(yīng)力。徑向應(yīng)力σ1是裂紋萌生的主要原因，而環(huán)向應(yīng)力σ2是導(dǎo)致玻璃形成環(huán)形裂紋的主要原因。同時，從圖5(b)可以看出，在表面處，σr和σz達到最大，而剪切應(yīng)力τ13在壓痕正下方某位置達到最大。

圖5 玻璃表面應(yīng)力變化Fig.5 Changes in surface stress of glass

圖6 主應(yīng)力的等值線圖Fig.6 Contour map of principal stress

在包含加載軸的平面上，主應(yīng)力的輪廓如圖6所示。在玻璃表面擠壓的正下方，有一個水滴狀的區(qū)域，在這個區(qū)域內(nèi)所有的主應(yīng)力都表現(xiàn)為壓應(yīng)力。在這個區(qū)域之外，σ1變成了拉應(yīng)力，而其他應(yīng)力仍然是壓應(yīng)力。然而，σ2在直接接觸區(qū)域下方z=0.130 7 mm(即z/a=1.3處)也轉(zhuǎn)變?yōu)槔瓚?yīng)力。此外，σ3處為壓應(yīng)力，在接近表面的區(qū)域，它的方向朝著非常接近徑向變化。

與Mouginot等[15]所給的算法及結(jié)果相比，雖然算法的一般形式是相似的，但應(yīng)力等值線的大小實質(zhì)上是不同的。表面處和表面以下的拉應(yīng)力變化情況可以總結(jié)為：(1)拉應(yīng)力在接觸邊緣處達到最大，在玻璃表面沿接觸邊緣徑向距離增大，拉應(yīng)力下降相對緩慢；(2)拉應(yīng)力隨著玻璃表面以下深度的增加而迅速減??；(3)最小主應(yīng)力的軌跡開始與玻璃表面正交，并迅速從接觸邊緣向外偏離，形成一系列近似平行的曲線，這些曲線緊密地再現(xiàn)了錐形裂紋的形狀。最大拉應(yīng)力總是垂直于這些軌跡。因此，在最大主拉應(yīng)力σ1的作用下，可以合理地假設(shè)圓球加載后裂紋遵循最小主應(yīng)力σ3的軌跡。在本文研究中，方程(13)給出了最大主應(yīng)力軌跡與玻璃表面之間的夾角，對于玻璃泊松比v=0.2，與玻璃受壓面的夾角α=35°。

4 斷裂韌性

(15)

長度為2c0的內(nèi)裂紋在法向應(yīng)力σ1(c)作用下的應(yīng)力強度因子為：

(16)

在此，采用歸一化應(yīng)力強度因子，即：

(17)

式中：σij為裂紋尖端應(yīng)力；fij為與環(huán)向角度θ相關(guān)的函數(shù)；c為裂紋長度；c0為內(nèi)裂紋長度(圖3)；K和K0為應(yīng)力強度因子，K0=σ0a1/2；由于σ0是壓痕載荷和接觸面積半徑的函數(shù)，而接觸面積半徑a也是壓痕載荷的函數(shù)，K0只是壓痕載荷的函數(shù)。這意味著式(17)給出了一系列隨著壓痕載荷變化的曲線。

當(dāng)考慮錐形裂紋在建立的應(yīng)力場作用下的擴展時，將作出以下假設(shè)：(1)存在的裂紋不干擾應(yīng)力場；(2)赫茲錐裂紋的形成來源于最大主拉應(yīng)力σ1，且該應(yīng)力始終垂直于裂紋路徑；(3)初始向下裂紋相對于整個錐裂紋長度較小，可以忽略不計。可以用式(17)計算給定歸一化裂紋長度c0/a和壓痕載荷F時的應(yīng)力強度因子。

對式(17)進行數(shù)值求解，可表示為：

(18)

式中：c*

(19)

圖7 不同壓痕載荷下歸一化強度因子Fig.7 Normalized strength factor under different indentation loads

采用式(18)計算不同載荷下歸一化圓錐裂紋路徑處的歸一化應(yīng)力強度因子其結(jié)果如圖7所示。

圖7表明了從現(xiàn)有環(huán)形裂紋發(fā)展成錐形裂紋，曲線表示計算的應(yīng)力強度在圓錐裂紋尖端的長度增加。對于已知的圓錐裂紋長度，在給定的壓痕載荷F作用下，可以求出臨界應(yīng)力強度。隨著裂紋的擴展，應(yīng)力強度因子減小，在離表面一定距離后，應(yīng)力強度因子達到臨界值，裂紋停止。因此，裂紋尖端的應(yīng)力強度因子決定了斷裂韌性。由于式(17)中的歸一化因子K0僅與壓痕載荷F有關(guān)，不同載荷下的歸一化應(yīng)力強度因子曲線形狀相同，但會發(fā)生偏移。然而，在不同的載荷作用下，裂紋尖端的應(yīng)力強度因子是恒定的。

5 結(jié) 論

(1)在壓力作用下鋼球?qū)︿摶ＡМa(chǎn)生一個壓應(yīng)力區(qū)域，在接觸圓的邊緣產(chǎn)生一個拉應(yīng)力區(qū)域，這種拉應(yīng)力將會導(dǎo)致錐形斷裂。

(2)在接觸區(qū)域內(nèi)，所有的主應(yīng)力都是壓應(yīng)力，而在接觸區(qū)域之外，第1主應(yīng)力σ1變?yōu)槔瓚?yīng)力，第2主應(yīng)力σ2仍然是壓應(yīng)力。第1主應(yīng)力是裂紋萌生的主要原因，第2主應(yīng)力是導(dǎo)致玻璃形成環(huán)形裂紋的主要原因。

(3)在最大主拉應(yīng)力的作用下，圓球加載后裂紋遵循最小主應(yīng)力的軌跡。

(4)不同壓痕載荷下的歸一化應(yīng)力強度因子曲線形狀相似，但有偏移，表明臨界應(yīng)力強度因子與壓痕載荷和裂紋尺寸無關(guān)。因此，赫茲壓痕法可以直接用來估算斷裂韌性。