李武超，梅 杰，陳 鵬,，郭 政，陳定方，張慧明，吳俊峰

(1.武漢理工大學物流工程學院，湖北 武漢，430063；2.湖北科峰智能傳動股份有限公司，湖北 黃岡，438000)

諧波減速器具有輕量化、傳動比高等優(yōu)點，在醫(yī)療器械、航空航天、機器人等精密傳動領域被廣泛應用。我國對諧波減速器的研究起步較晚，雖然近幾年國內(nèi)企業(yè)經(jīng)過經(jīng)驗積累和技術沉淀，已經(jīng)逐步獲得國際市場認可，但是國內(nèi)企業(yè)生產(chǎn)的諧波減速器在傳動精度、傳動效率、平均壽命等方面與國外企業(yè)仍有一定差距，目前我國在精密減速機領域主要依賴進口[1]。

諧波減速器的柔輪在運動時會發(fā)生空間變形，將其視為剛體進行設計得到的剛輪齒廓在傳動過程中會產(chǎn)生嚙合干涉或嚙合不足等情況，同時，考慮到實際工作中齒側間隙存在的必要性，為了能夠兼顧傳動精度以及潤滑散熱的需要，有必要對剛輪齒廓進行進一步優(yōu)化。目前關于齒側間隙的計算大多是建立在對共軛齒廓的形狀及其相對位置研究的基礎上，研究的重點主要是通過改進計算方法從而提高結果的精度方面[2]。為此，本文基于ANSYS有限元仿真數(shù)據(jù),采用包絡法對諧波減速器的剛、柔輪共軛齒廓進行設計和初步優(yōu)化;在對剛輪空間齒廓進一步優(yōu)化時,在剛輪與柔輪齒廓之間設定一個齒側間隙常數(shù)，建立諧波傳動系統(tǒng)的動力學模型，采用PID控制補償方法對諧波傳動系統(tǒng)的齒側間隙誤差控制補償進行研究，以期為諧波傳動系統(tǒng)綜合性能的提高提供參考。

1 諧波傳動共軛齒廓設計

1.1 諧波傳動平面幾何運動學分析

在不影響諧波傳動性能的情況下，對諧波齒輪嚙合系統(tǒng)進行簡化處理，做出如下平面運動學假設[3]：(1)柔輪中線形狀與波發(fā)生器一致，且周長始終不變；(2)波發(fā)生器在運動時始終不產(chǎn)生變形；(3)柔輪和剛輪的輪齒形狀始終不變；(4)柔輪中線和特征圓始終保持等距關系。

本文將波發(fā)生器簡化為余弦凸輪，在波發(fā)生器塞入柔輪之后，柔輪的中性層曲線變化情況如圖1中的實線所示。

圖1 柔輪中性層變形曲線

柔輪中性層曲線對應的變化方程為：

ρ(φ)=rm+w0cos2φ

(1)

式中，rm為柔輪中性層曲率半徑，mm；w0為柔輪最大徑向變形量，mm；φ為柔輪輸出端轉角,rad。

根據(jù)文獻[3]可得，在塞入余弦凸輪之后，柔輪產(chǎn)生的變形可以分為以下三個部分。

(1)柔輪徑向變形量(w)：

w=w0cos2φ

(2)

(2)柔輪周向變形量(v)：

(3)

(3)柔輪法向轉角變形量(μ)：

(4)

1.2 柔輪齒廓設計

采用公切線式雙圓弧齒廓作為柔輪齒廓，其基本齒形曲線如圖2所示。從圖2中可以看出，該齒形由凸圓弧AB、凹圓弧CD以及連接二者的一段公切線BC組成[4]。

圖2 公切線式雙圓弧齒廓的齒形曲線

參考文獻[4]，以弧長(s)作為變量建立柔輪的齒形方程分別為：

(1)凸齒廓AB的曲線方程

(5)

式中，s∈(0,l1)；α=sin-1[(ha+e1)/r1]；xo1=-c1；yo1=hf+ds-e1；l1=r1(α-δ)。

(2)公切線段齒廓BC的曲線方程

(6)

(3)凹齒廓CD的曲線方程

(7)

上述公式中柔輪齒形參數(shù)取值如表1所示。將表1中的參數(shù)值代入公式(5)、公式(6)和公式(7)，計算得到柔輪齒形如圖3所示。由于輪齒在工作時總是繞著原點做旋轉運動，因此在進行完整齒廓繪制時，可以按照平面坐標系下點繞原點的變換公式進行計算，即：

(8)

表1 柔輪齒形參數(shù)取值

式中，θ為點(x,y)繞原點旋轉到點(x＇，y＇)所經(jīng)過的角度。

圖3 柔輪齒形

由公式(8)計算得到柔輪完整齒廓如圖4所示。

圖4 柔輪完整齒廓

1.3 基于包絡法的剛輪平面齒廓設計

圖5 諧波傳動機構簡圖

基于包絡理論求解剛輪齒廓時，具體可分為以下三個步驟。

第一步，轉換坐標系。根據(jù)圖5，可將柔輪齒形坐標數(shù)據(jù)通過轉換矩陣M轉化到剛輪坐標系下[6]。包絡理論共軛方程為：

Xg=MXr

(9)

其中，柔輪齒廓方程為：

Xr=[xr(s,φ)yr(s,φ) 1]T

(10)

剛輪齒廓方程為：

Xg=[xg(s,φ)yg(s,φ) 1]T

(11)

剛柔輪坐標變換矩陣為：

(12)

式中，γ為φ1與φ2之間的夾角,rad。

在柔輪坐標系中，柔輪齒形的參數(shù)方程為：

(13)

根據(jù)圖5中的幾何關系，可以得到：

(14)

γ=φ1-φ2

(15)

考慮傳動比可以得到：

(16)

由中線不伸長假設可以得到：

(17)

第二步，繪制曲線族。對柔輪運動轉角φ進行離散化處理，可以繪制出不同轉角對應的柔輪齒廓在剛輪坐標系中的位置變化圖，如圖6所示。

(a)局部圖

(a)剛輪單個齒廓線

2 諧波減速器剛輪空間齒廓建立

2.1 ANSYS有限元分析

本文所研究的諧波傳動系統(tǒng)傳動比為50，柔輪齒數(shù)為100，剛輪齒數(shù)為102，余弦凸輪的最大徑向變形量為0.50 mm。首先，根據(jù)上述所設計的柔輪齒廓線，使用SolidWorks軟件分別建立柔輪和余弦凸輪的三維模型，柔輪與余弦凸輪的裝配體如圖8所示。在實際裝配過程中，余弦凸輪依靠外力塞入柔輪時，會導致柔輪發(fā)生彈性變形，內(nèi)部產(chǎn)生預應力，而使用SolidWorks建立的三維模型不存在預應力，直接裝配會使余弦凸輪和柔輪發(fā)生干涉[7]，因此，考慮到柔輪和余弦凸輪均為對稱模型，各取其二分之一進行裝配，使余弦凸輪外表面和柔輪內(nèi)表面接觸但不重疊。在余弦凸輪截面與柔輪截面之間添加平行配合，使用SolidWorks裝配體視圖中的測量工具，測量可得兩截面之間的距離為4.69 mm。

圖8 柔輪與余弦凸輪的裝配體

柔輪和余弦凸輪的網(wǎng)格劃分如圖9所示。在ANSYS Workbench軟件中，使用掃掠劃分方法對余弦凸輪進行網(wǎng)格劃分，掃掠單元大小設置為1 mm，使用自動劃分方法對柔輪進行網(wǎng)格劃分，最終得到的網(wǎng)格模型節(jié)點數(shù)為108 619，單元數(shù)為54 832，單元最小邊長為0.134 260 mm。

圖9 柔輪和余弦凸輪的網(wǎng)格劃分

設余弦凸輪與柔輪內(nèi)表面的接觸為摩擦接觸，設摩擦系數(shù)為0.1。在柔輪截面處添加法向位移約束，在法蘭處添加固定約束；對余弦凸輪添加一個Y軸方向大小為4.69 mm的位移，以此來模擬余弦凸輪塞入柔輪的過程。使用在柱坐標系上建立路徑的方法，得到柔輪輪齒前端和后端中性層曲線的位移云圖如圖10所示。從圖10中可以看出，前端中性層曲線位移的最大值為0.53756 mm，后端中性層曲線位移的最大值為0.49105 mm。柔輪輪齒前端和后端中性層曲線位移變化趨勢相同，最大變形量與余弦凸輪的最大徑向變形理論值0.50 mm接近，柔輪輪齒的前端最大變形量略大于后端最大變形量。

(a) 柔輪輪齒前端中性層曲線1

2.2 仿真數(shù)據(jù)的提取和函數(shù)擬合

(a) 徑向變形

借助Matlab中的CFtool工具箱，對仿真得到的曲線1和曲線2位移變形曲線進行函數(shù)擬合，得到其徑向位移和周向位移變化方程，其中，曲線1和曲線2徑向變形擬合方程w1和w2分別為：

(18)

曲線1和曲線2周向變形擬合方程v1和v2分別為：

(19)

與理論變形方程公式(2)和公式(3)相比，仿真得到的輪齒前后端中性層曲線的變形方程公式(18)和公式(19)更加貼合實際，更好地反映了柔輪前后端中性層曲線的變化差異。

2.3 剛輪空間齒廓建立

根據(jù)擬合仿真得到的輪齒前后端中性曲線變形方程，繪制出剛輪輪齒前端和后端的齒廓如圖12所示。

圖12 調(diào)整后剛輪輪齒前端和后端齒廓

通過更改柱坐標系上路徑的位置，采用同樣的數(shù)據(jù)處理方法，可以得到剛輪輪齒前、后端之間各個截面處的齒廓，擬合可得修正后的剛輪空間完整齒廓模型如圖13所示。采用包絡法求解共軛齒廓，初步優(yōu)化后的剛輪齒廓與柔輪運動軌跡能夠較好貼合，從而使剛輪和柔輪的嚙合率大幅提升，但是這樣設計的齒輪在實際使用過程中，剛輪齒廓與柔輪齒廓之間難以存儲潤滑油，會加劇輪齒的磨損，同時輪齒容易因摩擦發(fā)熱而出現(xiàn)膨脹卡死的現(xiàn)象，因此，在上述齒廓設計的基礎上，還應該考慮齒側間隙在整個傳動系統(tǒng)中的影響。

圖13 剛輪空間齒廓模型

3 考慮側隙的諧波齒輪系統(tǒng)動力學模型建立

齒側間隙是指可能接觸的嚙合齒面上點對間的最小間隙，通常以周向側隙表示[8]。如果側隙為零，則諧波減速器運動傳遞精確，但是存在磨損大、散熱難的問題，而側隙過大，又會加大諧波傳動系統(tǒng)的誤差，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。為了解決這個矛盾，對諧波減速器的剛輪空間齒廓進行改進，在剛輪齒廓與柔輪齒廓之間設定一個側隙常數(shù)，對其進行動力學建模，然后使用PID調(diào)整器進行誤差補償。齒側間隙會影響柔輪的彈性變形，進而影響到傳動系統(tǒng)的運動傳遞?？紤]彈性變形和扭轉剛度在傳動系統(tǒng)中的作用，建立諧波齒輪傳動系統(tǒng)力學模型[9]如圖14所示。圖14中，θs(t)為電機輸出端轉角，rad ;Ts為輸入端轉矩，N·m;Id為電機轉子連同波發(fā)生器的轉動慣量，kg·m2;θi(t)為減速器輸出端理想轉角，rad;Δe(t)為減速器彈變扭轉角，rad;K為減速器扭轉剛度，N·m/rad;Tz為減速器輸出端轉矩，N·m;Iz為減速器輸出端負載的轉動慣量，kg·m2;θ0(t)為減速器輸出端實際轉角,rad。

圖14 諧波齒輪傳動系統(tǒng)力學模型

系統(tǒng)的傳動誤差E=θi(t)-θ0(t)，為了更好地反映諧波傳動過程中的動力傳遞情況，將Ts折算到輸出軸上記為Ti，Id折算到輸出軸上記為Ii，Tgi記為輸入端集中質量的慣性力矩，Tg0記為輸出端集中質量的慣性力矩，Tp(t)記為彈變扭矩，建立諧波齒輪傳動系統(tǒng)力矩平衡模型如圖15所示。

圖15 諧波齒輪傳動系統(tǒng)力矩平衡模型

根據(jù)力矩平衡關系，可列出減速器傳動系統(tǒng)的動力學方程為：

(20)

式中，Tp(t)為減速器彈變扭矩，N·m，表示為：

Tp(t)=KΔe(t)

(21)

針對從電動機到負載的整個傳動系統(tǒng)，可建立減速器彈變扭轉角Δe(t)的數(shù)學模型：

Δe(t)=

(22)

式中，jt為齒側間隙常數(shù)，μm。

4 諧波齒輪系統(tǒng)傳動誤差的補償控制

將PID控制模塊引入諧波傳動系統(tǒng)，以達到對齒側間隙引起的傳動誤差進行控制補償?shù)哪康?。PID調(diào)整器通過比較實際值與設計值得到系統(tǒng)偏差，然后將偏差通過比例、積分、微分的組合進行調(diào)整，從而得到補償量。PID調(diào)節(jié)的微分方程式為：

(23)

式中，u(t)為補償量，rad；e(t)為系統(tǒng)彈變扭轉角的偏差值，rad；kp為比例系數(shù)；Ti為積分系數(shù)；Td為微分系數(shù)。

4.1 系統(tǒng)控制方框圖

將公式(21)代入公式(20)中，可得：

(24)

由此得到減速器傳動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(25)

圖16 不包含補償?shù)南到y(tǒng)方框圖

在圖16中添加PID控制模塊之后的方框圖如圖17所示。

圖17 加入補償后的系統(tǒng)方框圖

4.2 傳動誤差仿真分析

本文所研究的諧波傳動模型輸出端轉動慣量為0.000 19 kg·m2，輸入軸轉速為2000 r/min，輸入轉矩為24 N·m，負載力矩為50 N·m，扭轉剛度為55000 N·m/rad，經(jīng)查齒輪側隙表，側隙應設置為105 μm。

將公式(21)代入公式(20)中的第二式可得：

(26)

根據(jù)公式(22)和公式(26)，結合圖16中的系統(tǒng)方框圖，對補償前傳動系統(tǒng)進行simulink仿真。用斜坡輸入代表減速器輸出端理想角位移函數(shù)，該函數(shù)以時間為自變量、角位移值為因變量，由減速器輸入軸轉速(n)和減速器的傳動比(i)可得：

(27)

本次仿真中的諧波減速器處于單向勻速轉動狀態(tài)，設置仿真時間為4 s，斜坡輸入函數(shù)圖像如圖18所示。

圖18 斜坡輸入函數(shù)圖像

仿真時用Dead Zone模塊表示側隙模型，計算側隙對應的弧度，設置Dead Zone參數(shù)范圍為[-0.0021,0.0021]，其輸出即為彈變扭轉角Δe(t)，仿真模型及仿真結果如圖19所示。從圖19中可以看出，在0～4 s內(nèi)，傳動誤差在-0.010～0.010 rad范圍內(nèi)變化，且有逐漸增大的趨勢。

(a)未加PID模塊的simulink仿真模型

設置PID控制器中的控制系數(shù)分別為：Proportional(P)=1、Integral(I)=1、Derivative(D)=0.005，得到控制補償之后的傳動誤差變化曲線如圖20所示。從圖20中可以看出，PID補償模塊能夠較好地調(diào)節(jié)傳動誤差，在0～0.2 s內(nèi)，誤差范圍明顯縮小，在0.2～1.5 s內(nèi)，誤差逐漸向0值靠攏，之后在0值附近做小幅度擺動。

(a) 加入PID模塊的simulink仿真模型

5 結論

(1)在對諧波減速器的剛、柔輪共軛齒廓進行設計和初步優(yōu)化時，將ANSYS有限元仿真數(shù)據(jù)代入剛輪空間齒廓設計中，能得到與柔輪空間變形相一致的剛輪齒廓，進而改善剛輪與柔輪局部嚙合干涉和嚙合不足的情況。

(2)與未加PID控制模塊的諧波傳動系統(tǒng)相比，PID控制補償方法能在1.5 s內(nèi)使誤差趨近于0，該方法對齒側間隙造成的系統(tǒng)誤差具有較好的調(diào)節(jié)作用。

(3)相比于通過改進計算方法以提高傳動精度的方法，在進行齒廓設計時預留一定數(shù)值的齒側間隙，然后通過PID調(diào)整器進行側隙誤差補償?shù)姆椒軌驅X側間隙從未知變?yōu)榇_定，從而提高諧波傳動系統(tǒng)模型建立的準確性，有利于提高諧波系統(tǒng)的傳動精度。