劉春芳, 于 婷

(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

精密化、高速化、智能化是數(shù)控機床等加工制造業(yè)發(fā)展的必然趨勢[1]。永磁直線同步電動機(PMLSM)具有功率密度大、控制精度高、響應速度快、可重復性好等性能特點，其在高精尖直線進給系統(tǒng)中有著旋轉電動機無可比擬的優(yōu)勢[2]。但是PMLSM直接驅動負載和結構上的端部效應等問題均限制了其控制系統(tǒng)的魯棒性。

近些年，國內外學者對PMLSM采用自適應控制、反饋線性化、滑?？刂?SMC)、反步法、模糊控制法等控制策略[3-4]。其中，SMC具有算法簡單、魯棒性好和可靠性高等優(yōu)點，經常用于非線性系統(tǒng)的控制。在PMLSM的實際控制中，希望系統(tǒng)狀態(tài)能夠在控制器的作用下盡可能快地到達目標位置，實現(xiàn)系統(tǒng)的快速收斂。要實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂，關鍵在于設計合適的滑模面[5]。文獻[6]將動態(tài)面與反步控制相結合, 為實現(xiàn)PMLSM位移跟蹤誤差在固定時間內收斂，提出了一種基于固定時間干擾觀測器的動態(tài)面反步控制方法，該方法通過構造固定時間收斂觀測器對系統(tǒng)的非匹配不確定項和匹配不確定項進行觀測估計。文獻[7]提出了一種改進快速終端SMC方法，解決了線性SMC PMLSM不能實現(xiàn)有限時間控制以及終端SMC不能實現(xiàn)快速收斂的問題。文獻[8]中提出了全局滑?？刂?GSMC)方法，該方法通過設計一個動態(tài)非線性滑模面來消除SMC的趨近模態(tài)，使系統(tǒng)在響應的全過程中均具有魯棒性、快速性。

GSMC中的動態(tài)滑模面是由線性滑模面方程和非線性函數(shù)項組成，非線性函數(shù)項一般設計為單調的指數(shù)衰減形式。當系統(tǒng)狀態(tài)靠近零點時，收斂時間主要由線性滑模面決定;當系統(tǒng)狀態(tài)遠離零點時，收斂時間主要由非線性函數(shù)項決定。因此可通過調節(jié)指數(shù)衰減參數(shù)來改變滑模面演化速度，但參數(shù)的調節(jié)能力有限[9]。本文提出改進快速收斂的GSMC方法，該方法中非線性滑模面衰減函數(shù)由3個指數(shù)函數(shù)項組成一階可導函數(shù)，動態(tài)滑模面可在有限時間內演化為線性滑模面, 從而加快系統(tǒng)的響應速度。最后，通過MATLAB/Simulink軟件建立的仿真試驗系統(tǒng)對PMLSM伺服系統(tǒng)進行試驗驗證，結果表明所提方法具有良好的控制性能。

1 PMLSM數(shù)學模型

假設PMLSM的反電動勢是正弦的，不考慮磁飽和，忽略磁滯損耗、渦流損耗和阻尼作用等影響。在同步參考坐標系下，PMLSM的電壓方程和磁鏈方程表示為[10]

(1)

(2)

式中:ud、uq、id、iq、Ψd、Ψq、Ld、Lq分別為d、q軸的電壓、電流、磁鏈和電感；Rs為電阻；v為線速度；Ψf為永磁體磁鏈。

電磁推力方程表示為

(3)

式中:Fe為電磁推力；p為磁極對數(shù)。

在表貼式PMLSM中，有Ld=Lq，則Fe簡化為

Fe=Kfiq

(4)

其中，電磁推力系數(shù)為

(5)

PMLSM的運動方程為

(6)

式中:M為動子總質量；F為系統(tǒng)總擾動，包括參數(shù)變化、外部擾動和摩擦力等；B為黏性摩擦因數(shù)。

由式(1)～式(6)整理得系統(tǒng)數(shù)學模型表達式為

(7)

PMLSM的控制系統(tǒng)結構圖如1所示。

圖1 PMLSM控制系統(tǒng)結構圖

2 改進GSMC設計

2.1 GSMC設計

對于PMLSM伺服系統(tǒng)而言，所設計的速度控制器需要在系統(tǒng)不確定性因素存在的情況下，仍能實現(xiàn)對參考速度精準跟蹤控制。為此定義vm為理想速度，v為實際速度，速度跟蹤誤差為e=vm-v。

PMLSM狀態(tài)變量為[11]

(8)

(9)

(10)

(11)

為使系統(tǒng)在響應全過程均具有魯棒性,全局滑模面函數(shù)設計為

(12)

其中c>0, 滿足Hurwitz條件[12]。h(t)應滿足的3個條件為

(2)t→∞時，h(t)→0；

(3)h(t)具有一階導數(shù)。

根據(jù)上述條件,將h(t)設計為按指數(shù)單調衰減的函數(shù)形式,即:

(13)

式中:α>0。

由此可得系統(tǒng)的動態(tài)滑模面為

(14)

其中，c必須滿足Hurwitz條件，即c>0。這樣,當t=0時,s=0，即可保證所設計的動態(tài)非線性滑模面可通過系統(tǒng)的任意初始狀態(tài),由此消除了SMC中的趨近模態(tài)。只有當t→∞時，h(t)→0，系統(tǒng)的動態(tài)非線性滑模面才能最終演變?yōu)榫€性滑模面，并通過原點。

式(13)兩邊同時對時間t求導可得：

(15)

即有：

(16)

將式(9)代入式(15)得:

(17)

采用等速趨近律時，有：

(18)

式中：ε為等速趨近律的參數(shù),ε>0。

綜上求得等速趨近律GSMC的控制律為

(19)

PMLSM速度跟蹤伺服系統(tǒng)的原理框圖如圖2所示。

圖2 PMLSM速度跟蹤伺服系統(tǒng)的原理框圖

2.2 改進GSMC設計

為了進一步加快演變速度，實現(xiàn)系統(tǒng)快速響應，將h(t)改進為

(20)

式中:tz為動態(tài)滑模面演變?yōu)榫€性滑模面的時間。

由此可得系統(tǒng)的動態(tài)滑模面為

(21)

對式(21)求導得:

(22)

式中：A,B和C為常系數(shù)。

通過選取合適的參數(shù),可使h(t)能夠在有限時間內快速衰減至0,由此可使動態(tài)滑模面快速演化為線性滑模面。

所設計的動態(tài)滑模面仍然需要滿足上述3個約束條件。根據(jù)條件(1), 衰減函數(shù)的初值應滿足A+B+C=1。為使所設計的動態(tài)滑模面能夠在有限時間tz內演化為線性滑模面可令h(tz)=0，由此求得

(23)

(24)

為了滿足條件(3)，h(t)在點t=tz的左導數(shù)必須等于右導數(shù)，即h′-(tz)=h′+(tz)=0,由此可得:

h′-(tz)=h(0)[C(α2-α)e-(α+α2)tz+

C(α-α1)e-(α+α1)tz+

(1-C)(α2-α1)e-(α1+α2)tz]×

[e-α2tz-e-α1tz]-1=0

(25)

這樣，式(25)中的參數(shù)應滿足:

(1-C)(α2-α1)e-(α1+α2)tz+

C(α-α1)e-(α+α1)tz+

C(α2-α)e-(α+α2)tz=0

(26)

(Aα1e-α1t+Bα2e-α2t+Cαe-αt)]

(27)

選取Lyapunov函數(shù)為

(28)

對式(28)求導，并化簡得:

s(-εsgn(s))≤-εs2<0

(29)

3 仿真研究

為了驗證本文設計的改進GSMC的有效性，采用MATLAB/Simulink軟件建立的仿真試驗系統(tǒng)。將SMC、GSMC與改進GSMC的性能進行了對比。仿真采用美國Kollmorgen公司生產的IC11-050系列PMLSM，具體參數(shù)為,Ld=Lq=41.4 mH，M=16.4 kg，τ=32 mm，Rs=2.1 Ω，Kf=50.7 N/A，p=3，Ψf=0.09 Wb，B=8.0 N·s/m。滑模參數(shù)設置：c=30，ε=25，全局滑模參數(shù)設置：x1(0)=0.35，x2(0)=-9，c=25，α=1 000，ε=27。改進全局滑模參數(shù)設置：x1(0)=1.3，x2(0)=-10，α=1 300，α1=20，α2=10，c=7.5，ε=26，tz=0.004 5，A=1.026,B=-0.526，C=0.5。

PMLSM空載起動，初始線速度為0.3 m/s，d軸電流給定值為0 A。PMLSM動子質量為額定值，SMC、GSMC和改進GSMC方法下的速度響應曲線如圖3所示，SMC上升時間為0.05 s,GSMC上升時間為0.04 s,改進GSMC上升時間為0.013 s，改進GSMC比SMC和GSMC上升時間短，說明改進GSMC具有更好的動態(tài)響應性能。

由圖3中三種控制策略下加入擾動時系統(tǒng)速度響應曲線的局部放大圖可知，在t=0.5 s時對系統(tǒng)突加階躍負載阻力FL=200 N，與另外兩種控制策略相比，改進GSMC的魯棒性更強，系統(tǒng)跟蹤誤差波動更小，恢復穩(wěn)態(tài)的時間更短，證明改進GSMC具有更強的抗干擾能力。因此，改進GSMC控制策略對負載干擾和系統(tǒng)參數(shù)變化的魯棒性更強，系統(tǒng)能在更短時間內恢復穩(wěn)定，且超調很小，滿足了直接進給伺服系統(tǒng)對抗干擾能力的要求。

圖3 階躍信號下基于負載擾動的PMLSM速度響應曲線

圖4是基于SMC的速度誤差曲線，速度誤差約在-40～30 μm/s之間；圖5是基于GSMC的速度誤差曲線，速度誤差約在-20～20 μm/s之間；圖6是基于改進GSMC速度誤差曲線，速度誤差約在-16～18 μm/s之間。對比以上三種控制方法策略，說明在只用SMC控制下有一定的控制效果，而GSMC的控制效果相對于SMC有明顯提高，跟蹤誤差進一步減小。很明顯可以看出在改進GSMC的控制下，速度跟蹤誤差的最大值以及達到穩(wěn)態(tài)下的誤差比SMC和GSMC均要小，且曲線更為平滑，說明改進GSMC在有限時間內，能更快速地收斂。

圖4 基于SMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖5 基于GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖6 基于改進GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

電動機給定變速信號起動，初始加速度為2 m/s2，在0.15 s時達到0.3 m/s后勻速，直到0.85 s,再次以2 m/s2勻減速直到速度變?yōu)?，觀察系統(tǒng)的運行情況。系統(tǒng)的速度響應曲線的局部放大圖如圖7所示，三種控制策略速度響應曲線幾乎重合，但改進GSMC曲線與給定信號更接近。并且，采用SMC控制的速度響應誤差曲線如圖8所示，系統(tǒng)速度的穩(wěn)態(tài)誤差在-60～80 μm/s范圍內變化；采用GSMC控制的速度響應誤差曲線如圖9所示，速度的穩(wěn)態(tài)誤差在-40～30 μm/s范圍內波動；采用改進GSMC控制的速度響應誤差曲線如圖10所示，產生的速度的穩(wěn)態(tài)誤差最小，范圍是-20～20 μm/s ，說明無論給定信號是階躍信號，還是變速信號，改進GSMC對PMLSM系統(tǒng)都有更為突出的跟蹤精度和響應速度。

圖7 基于變速信號的PMLSM速度響應曲線

圖8 基于SMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖9 基于GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖10 基于改進GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

4 結 語

針對PMLSM伺服系統(tǒng)受不確定因素影響，而不能快速收斂問題，采用一種改進GSMC方法，動態(tài)滑模面中的非線性滑模面的衰減函數(shù)由三個指數(shù)函數(shù)項組成一階可導函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)一個指數(shù)函數(shù)項, 并能在有限時間內衰減為零。仿真結果表明，與傳統(tǒng)GSMC相比，改進全局控制方法明顯提高了系統(tǒng)的動態(tài)響應速度并保證了系統(tǒng)全局魯棒性，可滿足高精度快響應的伺服加工性能要求。