不確定分布時(shí)滯系統(tǒng)的全局魯棒滑?？刂?/h1>
2021-12-18 08:16:00田柳青
系統(tǒng)仿真技術(shù) 2021年3期
田柳青
（呂梁職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息系，山西孝義 032300）
在工程控制系統(tǒng)中，常存在影響控制性能的因素。如時(shí)滯、外加干擾等。從被控對(duì)象建模來看，存在分布時(shí)滯，與事物的本質(zhì)更加接近。如文獻(xiàn)［1］提出的材料熱加工采用的是具有分布時(shí)滯的拋物型系統(tǒng)。近幾年，針對(duì)分布時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制等問題，各國學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了廣泛的研究［2-7］。
滑模“結(jié)構(gòu)”是不固定的非線性控制（SMC），具有設(shè)計(jì)簡單、抗干擾、無需在線辨識(shí)等優(yōu)點(diǎn)。所以經(jīng)常用于控制分布時(shí)滯系統(tǒng)中。文獻(xiàn)［8］中，分布時(shí)滯系統(tǒng)沒有考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響及設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂破鞫墩駠?yán)重。文獻(xiàn)［9］討論的是含有分布時(shí)滯的2-型模糊系統(tǒng)，針對(duì)參數(shù)抖動(dòng)設(shè)計(jì)了帶有容錯(cuò)功能的滑?？刂破?。文獻(xiàn)［10］所涉及的中立型系統(tǒng)，含有分布時(shí)滯，設(shè)計(jì)的滑?？刂破鳑]有涉及外部干擾的問題。
通常，傳統(tǒng)SMC 中包含趨近和滑動(dòng)兩種模態(tài)。為消除趨近模態(tài)易受到不確定性的干擾，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動(dòng)模態(tài)上，眾多學(xué)者針對(duì)全局滑?？刂七M(jìn)行了研究［11-14］。同時(shí)為了更好地解決被控對(duì)象外部干擾引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題，文獻(xiàn)［15-17］引入自適應(yīng)方法，通過自適應(yīng)律實(shí)時(shí)估計(jì)外部干擾，自適應(yīng)與滑?？刂频慕Y(jié)合改進(jìn)了控制性能。
本文針對(duì)在狀態(tài)時(shí)滯和分布時(shí)滯中同時(shí)存在不確定性因素以及外部干擾的一類復(fù)雜分布時(shí)滯系統(tǒng)，為實(shí)現(xiàn)整個(gè)控制過程都處在滑動(dòng)模態(tài)階段，設(shè)計(jì)了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動(dòng)模態(tài)上，實(shí)現(xiàn)全局滑模。為證明滑模穩(wěn)定，其充分條件由Lyapunov 泛函結(jié)合Jensen 不等式與Schur 補(bǔ)，轉(zhuǎn)換成LMI 的形式，方便求解。為解決外部干擾引入自適應(yīng)方法，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破鳎抡妫?8］說明了控制方法有效可行并降低了抖振。
1 系統(tǒng)描述及相關(guān)引理
考慮以下一類在狀態(tài)時(shí)滯和分布時(shí)滯中同時(shí)存在不確定性因素和外加干擾的分布時(shí)滯系統(tǒng)：
其中，x(t) ∈Rn是狀態(tài)變量，u(t) ∈Rm是控制輸入。h1＞0為狀態(tài)時(shí)滯，h2＞0為分布時(shí)滯。A0，A1，A2∈Rn×n為已知狀態(tài)矩陣，B∈Rn×m為已知輸入矩陣。ΔA0，ΔA1，ΔA2為不確定的系統(tǒng)參數(shù)矩陣。f(x，t) ∈Rn為系統(tǒng)外部擾動(dòng)。φ(t) ∈Rn為連續(xù)的任意初始狀態(tài)向量函數(shù)。
在全文做如下假設(shè)：
假設(shè)1對(duì)于被控系統(tǒng)（1），所有狀態(tài)可直接測(cè)量。其中矩陣B列滿秩，(A0，B)是完全可控的。
假設(shè)2不確定項(xiàng)ΔA0，ΔA1，ΔA2，f(x，t) 滿足ΔA0=BE0，ΔA1=BE1，ΔA2=BE2，f=BF的匹配性條件。因此，記F]，則系統(tǒng)（1）可化簡為
假設(shè)3存在未知正常數(shù)q1，q2，滿足
為證明滑模穩(wěn)定性，需要下面的引理：
引理1［19］（Jensen不等式）
給定實(shí)數(shù)α，β且α＞β及正定矩陣S，則下列不等式成立，即
引理2［20］（Schur補(bǔ)定理）對(duì)于對(duì)稱矩陣：
則下面三個(gè)條件等價(jià)。
2 全局魯棒滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
2.1 積分型滑模面設(shè)計(jì)
對(duì)于系統(tǒng)（1），構(gòu)造如下的帶初始狀態(tài)條件的滑模面：
其中，D∈Rm×n為滿秩常數(shù)矩陣，D的選擇不唯一且滿足DB是非奇異。待定常數(shù)矩陣K∈Rm×n。
對(duì)于任意初始條件x(0)，消除了控制到達(dá)階段，滑模面（4）都可以滿足S(x(0)，0) = 0。對(duì)式（4）求導(dǎo)并代入式（2）得
令S= 0，= 0，解出等效控制律為
將式（5）代入式（2），符合假設(shè)1 的理想滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為
令
即理想滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的簡化形式為
2.2 滑模穩(wěn)定性分析及主要結(jié)論
定理1為證明滑模漸進(jìn)穩(wěn)定，使得下列LMI成立：
其中正定矩陣W，W1，W2是對(duì)稱的，Q是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，K=QW-1是狀態(tài)反饋控制增益。
且
證明：設(shè)計(jì)Lyapunov-Krasovskii泛函數(shù)為
其中，
由引理1得：
其中，
由引理2得公式∑＜0，則＜0
等價(jià)于：
針對(duì)滑動(dòng)模態(tài)，為滿足其漸進(jìn)穩(wěn)定，令P-1=W，用分別左乘、右乘公式，則V·＜0。證畢。
2.3 自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂?/h3>
對(duì)于系統(tǒng)（1）設(shè)計(jì)自適應(yīng)全局滑?？刂破?，即
控制律包括兩部分，其中，ucon是連續(xù)部分，udis是不連續(xù)部分。則對(duì)于任意初始狀態(tài)，在控制律（9）作用下系統(tǒng)（1）始終處在滑模面上。首先設(shè)計(jì)ucon，它等于原系統(tǒng)（1）對(duì)應(yīng)的標(biāo)稱系統(tǒng)（2）在滑模面上的等效控制，即
下面設(shè)計(jì)udis。由系統(tǒng)的假設(shè)3，其中q1和q2是不確定性的上界，是未知的，取和為q1和q2的估計(jì)值，參數(shù)偏差為
根據(jù)滑模面選擇適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)律為
不連續(xù)控制律為
其中，ε為正常數(shù)。
將式（10）和（12）代入（9）即可得到完整的自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡桑?/p>
定理2對(duì)于在狀態(tài)時(shí)滯和分布時(shí)滯中同時(shí)存在不確定性因素以及外部干擾的分布時(shí)滯系統(tǒng)（1），在有限時(shí)間內(nèi)，控制律（13）能保證狀態(tài)保持在積分滑模面（4）上。
證明取Lyapunov函數(shù)
沿著式（2）對(duì)其求導(dǎo)，得
所以
證畢，即滿足有限時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)（1）在控制律（13）的作用下到達(dá)并穩(wěn)定于滑模面（4）上。
由于控制律（13）中符號(hào)函數(shù)可能導(dǎo)致嚴(yán)重的抖振，飽和函數(shù)為
代替符號(hào)函數(shù)可以得到降低抖振的自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡?，即
3 仿真實(shí)例
考慮系統(tǒng)（1），參數(shù)如下：
通過MATLAB工具箱，求解LMI（7）-（8），得
解得
滑模面為
控制律（13）為
控制律（15）為
設(shè)初始條件為x(t) = [ 0.5 1]T，t∈[ -0.6，0 ]
在控制律（13）的作用下自適應(yīng)參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結(jié)果如圖1-5。
圖1 控制律(13)作用下的xFig.1 x with control law(13)
圖2 控制律(13)作用下的SFig.2 S with control law(13)
圖3 控制律(13)作用下的uFig.3 u with control law(13)
圖4 控制律(13)作用下的q1Fig.4 q1 with control law(13)
圖5 控制律(13)作用下的q2Fig.5 q2 with control law(13)
在自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡桑?5）的作用下自適應(yīng)參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結(jié)果如圖6-圖10。
圖6 控制律(15)作用下的xFig.6 x with control law(15)
圖10 控制律(15)作用下的q2Fig.10 q2 with control law(15)
由圖1-5 仿真結(jié)果表明，在控制律（13）的控制下，狀態(tài)x、滑模面S、控制律u抖振嚴(yán)重，控制性能差。通過對(duì)比，圖6-10 所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)全局魯棒滑模控制器（15）減小了控制抖振，圖6 中系統(tǒng)狀態(tài)曲線更加平滑，響應(yīng)速度更快。圖7 表明在響應(yīng)的全過程，消除了控制的到達(dá)階段，改善了動(dòng)態(tài)性能。圖8 表明控制律降低了抖振。通過MATLAB 仿真，結(jié)果顯示控制方法有效可行。
圖7 控制律(15)作用下的SFig.7 S with control law(15)
圖8 控制律(15)作用下的uFig.8 u with control law(15)
圖9 控制律(15)作用下的q1Fig.9 q1 with control law(15)
4 結(jié)論
針對(duì)在狀態(tài)時(shí)滯和分布時(shí)滯中同時(shí)存在不確定性因素以及外部干擾的一類復(fù)雜分布時(shí)滯系統(tǒng)，本文采用全局滑模的思想，設(shè)計(jì)了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，消除了傳統(tǒng)滑模控制器中的到達(dá)模態(tài)，提高了魯棒性能。通過合理構(gòu)造自適應(yīng)律解決了外部干擾的問題。用飽和函數(shù)降低系統(tǒng)抖振，曲線更加平滑，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的全局魯棒滑模有效可行。但分布時(shí)滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，控制起來比較困難，其實(shí)際的控制方法與穩(wěn)定性能需進(jìn)一步研究。
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田柳青
（呂梁職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息系，山西孝義 032300）
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其中，x(t) ∈Rn是狀態(tài)變量，u(t) ∈Rm是控制輸入。h1＞0為狀態(tài)時(shí)滯，h2＞0為分布時(shí)滯。A0，A1，A2∈Rn×n為已知狀態(tài)矩陣，B∈Rn×m為已知輸入矩陣。ΔA0，ΔA1，ΔA2為不確定的系統(tǒng)參數(shù)矩陣。f(x，t) ∈Rn為系統(tǒng)外部擾動(dòng)。φ(t) ∈Rn為連續(xù)的任意初始狀態(tài)向量函數(shù)。
在全文做如下假設(shè)：
假設(shè)1對(duì)于被控系統(tǒng)（1），所有狀態(tài)可直接測(cè)量。其中矩陣B列滿秩，(A0，B)是完全可控的。
假設(shè)2不確定項(xiàng)ΔA0，ΔA1，ΔA2，f(x，t) 滿足ΔA0=BE0，ΔA1=BE1，ΔA2=BE2，f=BF的匹配性條件。因此，記F]，則系統(tǒng)（1）可化簡為
假設(shè)3存在未知正常數(shù)q1，q2，滿足
為證明滑模穩(wěn)定性，需要下面的引理：
引理1［19］（Jensen不等式）
給定實(shí)數(shù)α，β且α＞β及正定矩陣S，則下列不等式成立，即
引理2［20］（Schur補(bǔ)定理）對(duì)于對(duì)稱矩陣：
則下面三個(gè)條件等價(jià)。
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其中，D∈Rm×n為滿秩常數(shù)矩陣，D的選擇不唯一且滿足DB是非奇異。待定常數(shù)矩陣K∈Rm×n。
對(duì)于任意初始條件x(0)，消除了控制到達(dá)階段，滑模面（4）都可以滿足S(x(0)，0) = 0。對(duì)式（4）求導(dǎo)并代入式（2）得
令S= 0，= 0，解出等效控制律為
將式（5）代入式（2），符合假設(shè)1 的理想滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為
令
即理想滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的簡化形式為
2.2 滑模穩(wěn)定性分析及主要結(jié)論
定理1為證明滑模漸進(jìn)穩(wěn)定，使得下列LMI成立：
其中正定矩陣W，W1，W2是對(duì)稱的，Q是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，K=QW-1是狀態(tài)反饋控制增益。
且
證明：設(shè)計(jì)Lyapunov-Krasovskii泛函數(shù)為
其中，
由引理1得：
其中，
由引理2得公式∑＜0，則＜0
等價(jià)于：
針對(duì)滑動(dòng)模態(tài)，為滿足其漸進(jìn)穩(wěn)定，令P-1=W，用分別左乘、右乘公式，則V·＜0。證畢。
2.3 自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂?/h3>
對(duì)于系統(tǒng)（1）設(shè)計(jì)自適應(yīng)全局滑?？刂破?，即
控制律包括兩部分，其中，ucon是連續(xù)部分，udis是不連續(xù)部分。則對(duì)于任意初始狀態(tài)，在控制律（9）作用下系統(tǒng)（1）始終處在滑模面上。首先設(shè)計(jì)ucon，它等于原系統(tǒng)（1）對(duì)應(yīng)的標(biāo)稱系統(tǒng)（2）在滑模面上的等效控制，即
下面設(shè)計(jì)udis。由系統(tǒng)的假設(shè)3，其中q1和q2是不確定性的上界，是未知的，取和為q1和q2的估計(jì)值，參數(shù)偏差為
根據(jù)滑模面選擇適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)律為
不連續(xù)控制律為
其中，ε為正常數(shù)。
將式（10）和（12）代入（9）即可得到完整的自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡桑?/p>
定理2對(duì)于在狀態(tài)時(shí)滯和分布時(shí)滯中同時(shí)存在不確定性因素以及外部干擾的分布時(shí)滯系統(tǒng)（1），在有限時(shí)間內(nèi)，控制律（13）能保證狀態(tài)保持在積分滑模面（4）上。
證明取Lyapunov函數(shù)
沿著式（2）對(duì)其求導(dǎo)，得
所以
證畢，即滿足有限時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)（1）在控制律（13）的作用下到達(dá)并穩(wěn)定于滑模面（4）上。
由于控制律（13）中符號(hào)函數(shù)可能導(dǎo)致嚴(yán)重的抖振，飽和函數(shù)為
代替符號(hào)函數(shù)可以得到降低抖振的自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡?，即
3 仿真實(shí)例
考慮系統(tǒng)（1），參數(shù)如下：
通過MATLAB工具箱，求解LMI（7）-（8），得
解得
滑模面為
控制律（13）為
控制律（15）為
設(shè)初始條件為x(t) = [ 0.5 1]T，t∈[ -0.6，0 ]
在控制律（13）的作用下自適應(yīng)參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結(jié)果如圖1-5。
圖1 控制律(13)作用下的xFig.1 x with control law(13)
圖2 控制律(13)作用下的SFig.2 S with control law(13)
圖3 控制律(13)作用下的uFig.3 u with control law(13)
圖4 控制律(13)作用下的q1Fig.4 q1 with control law(13)
圖5 控制律(13)作用下的q2Fig.5 q2 with control law(13)
在自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡桑?5）的作用下自適應(yīng)參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結(jié)果如圖6-圖10。
圖6 控制律(15)作用下的xFig.6 x with control law(15)
圖10 控制律(15)作用下的q2Fig.10 q2 with control law(15)
由圖1-5 仿真結(jié)果表明，在控制律（13）的控制下，狀態(tài)x、滑模面S、控制律u抖振嚴(yán)重，控制性能差。通過對(duì)比，圖6-10 所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)全局魯棒滑模控制器（15）減小了控制抖振，圖6 中系統(tǒng)狀態(tài)曲線更加平滑，響應(yīng)速度更快。圖7 表明在響應(yīng)的全過程，消除了控制的到達(dá)階段，改善了動(dòng)態(tài)性能。圖8 表明控制律降低了抖振。通過MATLAB 仿真，結(jié)果顯示控制方法有效可行。
圖7 控制律(15)作用下的SFig.7 S with control law(15)
圖8 控制律(15)作用下的uFig.8 u with control law(15)
圖9 控制律(15)作用下的q1Fig.9 q1 with control law(15)
4 結(jié)論
針對(duì)在狀態(tài)時(shí)滯和分布時(shí)滯中同時(shí)存在不確定性因素以及外部干擾的一類復(fù)雜分布時(shí)滯系統(tǒng)，本文采用全局滑模的思想，設(shè)計(jì)了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，消除了傳統(tǒng)滑模控制器中的到達(dá)模態(tài)，提高了魯棒性能。通過合理構(gòu)造自適應(yīng)律解決了外部干擾的問題。用飽和函數(shù)降低系統(tǒng)抖振，曲線更加平滑，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的全局魯棒滑模有效可行。但分布時(shí)滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，控制起來比較困難，其實(shí)際的控制方法與穩(wěn)定性能需進(jìn)一步研究。
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