王 婧

(天津工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

在隨機(jī)過程中，為了獲得記憶參數(shù)來解釋數(shù)據(jù)中的長(zhǎng)征相依性，人們提出了很多方法來解決參數(shù)估計(jì)問題，尤其在一維時(shí)間序列和二維隨機(jī)場(chǎng)的背景下討論最多.然而，二維隨機(jī)場(chǎng)的記憶參數(shù)估計(jì)問題由于其所具有的種種復(fù)雜性，其方法論發(fā)展遠(yuǎn)沒有時(shí)間序列的方法論發(fā)展的快.

長(zhǎng)記憶隨機(jī)場(chǎng)的模型有很多種[1]，最常見的模型之一是各向異性的，即在不同方向上的記憶參數(shù)不相同.在各向異性隨機(jī)場(chǎng)的記憶參數(shù)估計(jì)問題上，Boissy 等人[2]和 Guo 等人[3]研究了平穩(wěn)各向異性隨機(jī)場(chǎng)記憶參數(shù)的 Whittle 估計(jì)方法；Ghodsi 和 Shitan[4-5]討論了分?jǐn)?shù)求和可分離空間 ARMA (FISSARMA) 模型的對(duì)數(shù)周期圖回歸 (GPH) 估計(jì)量；Beran 等人[6]則采用了相同的模型，考慮了基于近似最小二乘的參數(shù)估計(jì)方法.這其中最經(jīng)典的莫過于由一維時(shí)間序列推廣到二維隨機(jī)場(chǎng)得到的 GPH 估計(jì)方法，該方法最先是由 Geweke 和 Porter-Hudak 在無噪聲擾動(dòng)的時(shí)間序列參數(shù)估計(jì)中提出來的[7].

Ghodsi 和 Shitan 的工作[5]，雖然把 GPH 方法應(yīng)用到了隨機(jī)場(chǎng)中，但他們沒有考慮噪聲，也沒有考慮估計(jì)量偏差的縮減.然而，在時(shí)間序列記憶參數(shù)估計(jì)的相關(guān)工作中，Sun 和 Phillips，以及 Arteche 在估計(jì)程序中加入了噪聲項(xiàng)，對(duì)其擾動(dòng)做出了響應(yīng)[8-9]；Andrews 和 Guggenberger 則在 GPH 估計(jì)程序中增添了額外的回歸項(xiàng)用以縮減估計(jì)量的偏差[10]，都在一定程度上提高了時(shí)間序列記憶參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性.

因此，為了進(jìn)一步拓展隨機(jī)場(chǎng)中記憶參數(shù)估計(jì)方法的應(yīng)用范圍，并提升估計(jì)準(zhǔn)確性，我們可以把時(shí)間序列中關(guān)于這兩個(gè)方面的工作都擴(kuò)展到隨機(jī)場(chǎng)中.本文討論把對(duì)數(shù)周期圖估計(jì)方法應(yīng)用到受噪聲擾動(dòng)的各向異性長(zhǎng)記憶隨機(jī)場(chǎng)的參數(shù)估計(jì)問題中，并采取在估計(jì)程序中增加回歸項(xiàng)的方法來縮減估計(jì)量的偏差.

1 受擾動(dòng)的各向異性長(zhǎng)記憶隨機(jī)場(chǎng)

本文考慮基于網(wǎng)格數(shù)據(jù)的受擾動(dòng)的二維各向異性(弱)平穩(wěn)(/齊次)隨機(jī)場(chǎng)模型，其定義如下：

Yrs=μ+Xrs+Nrs,r,s∈

(1)

其中:μ是一個(gè)有限常數(shù)項(xiàng)，Xrs是在不同方向上顯示出不同的強(qiáng)烈的反持久或長(zhǎng)記憶的信號(hào)場(chǎng)，而Nrs則是一個(gè)噪聲場(chǎng)，可以是一個(gè)白噪聲過程，或是一個(gè)更一般的弱相依的平穩(wěn)過程.另外，對(duì)于信號(hào)場(chǎng)Xrs，采用如下定義的完全可分的各向異性空間長(zhǎng)記憶隨機(jī)場(chǎng)模型[3, 5]：

Φ(B1,B2)(1-B1)d1(1-B2)d2Xrs=

Θ(B1,B2)εrs,

(2)

Φ(B1,B2)=Φ1(B1)Φ2(B2) Θ(B1,B2)=Θ1(B1)Θ2(B2)

(3)

其中:多項(xiàng)式Φi和Θi(i=1,2)的根在單位圓外，因此Xrs是平穩(wěn)且可逆的，且其譜密度函數(shù)為

fX(λ1,λ2)=

(4)

其中:λ1，λ2∈[-π,π]對(duì)應(yīng)的f*是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可分空間ARMA模型的譜密度函數(shù)，定義如下：

(5)

(6)

對(duì)于噪聲場(chǎng)Nrs的譜密度函數(shù)，我們假設(shè)對(duì)于常數(shù)C0，L0>,有0≤fN(0,0)≤C0，且

(7)

(8)

進(jìn)而，當(dāng)對(duì)于所有r,s∈，噪聲Nrs與信號(hào)Xrs都不相關(guān)時(shí)，受擾動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)Yrs的譜密度函數(shù)可以寫為；

fY(λ1,λ2)=fX(λ1,λ2)+fN(λ1,λ2)

(9)

將式 (4)，(6) 和 (8) 代入式 (9)，可得

(10)

logfY(λ1,λ2)=logC-2d1log|1-e-iλ1|-

(11)

2 基于偏的縮減的非線性對(duì)數(shù)周期圖回歸估計(jì)量

假定我們是在規(guī)則網(wǎng)格Rn={1,…,n1}×{1,…,n2}上觀測(cè)到了受擾動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)Yrs的數(shù)據(jù).那么，在提出估計(jì)量之前，先給出二位維情況下的周期圖的計(jì)算公式如下所示[5]：

(12)

將式 (11) 中的fY(λ1,λ2)替換為在傅里葉頻率λ1j,λ2k,j=1,…,m1,k=1,…,m2上計(jì)算的周期圖坐標(biāo)In(λ1j,λ2k)，做一些代數(shù)運(yùn)算后可得

logIn(λ1j,λ2k)=a-2d1log|1-e-iλ1j|-

(13)

其中:a=logC-c，c=0.577 216……是Euler 常數(shù)，且Ujk=log(In(λ1j,λ2k)/fY(λ1j,λ2k))+c.據(jù)此，我們提出了如下的基于偏的縮減的多元非線性對(duì)數(shù)周期圖回歸 (BNLP) ：

logIn(λ1j,λ2k)=a-d1x1j-d2x2k+log[1+

(14)

(15)

這里d=(d1,d2)T，δ=(δ1,δ2)T目標(biāo)函數(shù)

(16)

為了后續(xù)方便表達(dá)，將式 (16) 簡(jiǎn)化為

(17)

其中：

然后，對(duì)式 (17) 關(guān)于a進(jìn)行濃縮，可得

(18)

(19)

且

(20)

3 模擬仿真

本節(jié)對(duì) BNLP 估計(jì)量在有限樣本下的性能進(jìn)行了仿真運(yùn)算，并與 GPH 估計(jì)量進(jìn)行了對(duì)比，考慮如下形式的受擾動(dòng)長(zhǎng)記憶隨機(jī)場(chǎng)的模型：

Yrs=Xrs+Nrs

其中：信號(hào)部分的長(zhǎng)記憶隨機(jī)場(chǎng)Xrs采用平穩(wěn)的完全可分長(zhǎng)記憶 FISSAR(1,1) 模型[5,11]：

(1-φB1)(1-φB2)(1-B1)d1(1-B2)d2Xrs=εrs

(21)

(22)

此外，本文采用非高斯噪聲而不是高斯噪聲，是因?yàn)槲覀冋J(rèn)為 BNLP 估計(jì)量可以應(yīng)用到受到任意噪聲的隨機(jī)場(chǎng)模型中，進(jìn)而不需要加性噪聲的高斯性的限制.

圖1 當(dāng)(d10,d20)=(0.4,0.2)，φ=0.2且 時(shí)長(zhǎng)記憶信號(hào)場(chǎng)的仿真實(shí)現(xiàn)Figure 1 The realizations of long memory signal field with(d10,d20)=(0.4,0.2)，φ=0.2 and

圖2 對(duì)數(shù)卡方的獨(dú)立非高斯噪聲場(chǎng)的仿真實(shí)現(xiàn)Figure 2 The realization of log chi-square, independent and non-Gaussian noise field

圖3 當(dāng)(d10,d20)=(0.4,0.2)，φ=0.2且噪信比為 5 時(shí)受擾動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的仿真實(shí)現(xiàn)Figure 3 The realization of perturbed random field with (d10,d20)=(0.4,0.2)，φ=0.2 and nsr=5

1)除去個(gè)別情況，GPH 估計(jì)量的偏差幾乎全為負(fù)值，但 BNLP 估計(jì)量的偏差分布較為均勻，而且 GPH 估計(jì)量和 BNLP 估計(jì)量的偏差和 RMSE′s 會(huì)隨著樣本量的增多而減小.

2)噪信比對(duì)估計(jì)量的偏差存在負(fù)向影響，噪信比越大，GPH 估計(jì)量的負(fù)偏差就越嚴(yán)重，而 BNLP 估計(jì)量的正偏差則會(huì)逐漸減小，在部分情況下會(huì)導(dǎo)致負(fù)偏差.另外，隨著噪信比的增大，兩種估計(jì)量的 RMSE’s 總體上呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，但 GPH 估計(jì)量的 RMSE’s 的上升速度要比 BNLP 估計(jì)量的快很多.

3)自回歸系數(shù)增加對(duì) GPH 估計(jì)量的偏差存在正向影響，對(duì) RMSE’s 存在負(fù)向影響；而除去φ=0.8 的情況，自回歸系數(shù)增加對(duì) BNLP 估計(jì)量的偏差和 RMSE’s 存在負(fù)向影響.

4)在所考慮的 4 個(gè)帶寬中，GPH估計(jì)量的偏差在m=[n0.5] 時(shí)達(dá)到最小值，RMSE’s 則在m=[n0.5]或[n0.6] 時(shí)達(dá)到最小值；而BNLP估計(jì)量的偏差達(dá)到最小值的帶寬不穩(wěn)定，但大部分情況下RMSE’s在m=[n0.8]時(shí)達(dá)到最小值，只有在φ=0.8且n=512時(shí)BNLP估計(jì)量的 RMSE’s在m=[n0.5]時(shí)達(dá)到最小值.但即使是在m=[n0.5]時(shí)，BNLP 估計(jì)量的部分情況下的偏差和 RMSE’s 會(huì)比 GPH估計(jì)量的偏差和 RMSE’s，在小樣本n=128 時(shí)尤為明顯.

表1 關(guān)于d0=(0.4,0.2)T在n=128時(shí)的估計(jì)量的偏差和RMSE′sTable 1 Biases and RMSE’s of d with d0=(0.4,0.2)T and n=128

續(xù)表1

表2 關(guān)于d0=(0.4,0.2)T在n=512時(shí)的估計(jì)量的偏差和RMSE’sTable 2 Biases and RMSE’s of d with d0=(0.4,0.2)T and n=512

續(xù)表2

4 結(jié) 語

基于偏的縮減，并在明確考慮了噪聲擾動(dòng)項(xiàng)后，本文提出了半?yún)?shù)非線性對(duì)數(shù)周期圖回歸 (BNLP)估計(jì)量，來對(duì)完全可分的各向異性平穩(wěn)長(zhǎng)記憶隨機(jī)場(chǎng)的記憶參數(shù)進(jìn)行估計(jì).經(jīng)過數(shù)值模擬運(yùn)算，結(jié)果表明，相較于 GPH 估計(jì)量來說，BNLP 估計(jì)量的偏差要較小些，而且即使噪聲為非高斯噪聲，BNLP 估計(jì)量也依然能夠在強(qiáng)烈的噪聲擾動(dòng)下保持估計(jì)的穩(wěn)定性，說明本文提出的 BNLP 估計(jì)量的優(yōu)良性.

另外，數(shù)值模擬運(yùn)算的結(jié)果還表明，BNLP 估計(jì)量在較高帶寬時(shí)的表現(xiàn)要更好一些，在高噪信比的情況下也能保持穩(wěn)定的估計(jì)效果，在數(shù)據(jù)量較少時(shí)也能較好地完成估計(jì)任務(wù)，而且 BNLP 估計(jì)量的偏差分布較為均勻，極大地改進(jìn)了存在噪聲擾動(dòng)時(shí) GPH 估計(jì)量嚴(yán)重的負(fù)偏現(xiàn)象，大大提升了記憶參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性.

在之后的工作中，可以考慮更多類型的非高斯噪聲擾動(dòng)，來檢驗(yàn) BNLP 估計(jì)量的性能；并且可以采用其他優(yōu)化方法，如 Nadarajah 和 Martin 的工作[12]，對(duì)估計(jì)量的偏差進(jìn)行縮減，以達(dá)到更好的估計(jì)效果.