葛德，徐飛，林勇

（無(wú)錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電技術(shù)學(xué)院，江蘇無(wú)錫 214153）

0 引言

齒輪傳動(dòng)是近代機(jī)器中最常見(jiàn)的一種機(jī)械傳動(dòng)，是傳遞機(jī)器動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)的一種主要形式。斜齒輪因其在傳動(dòng)中傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲小、承載能力高等特點(diǎn)而被廣泛使用。CAD環(huán)節(jié)則是整個(gè)CAX流程的基礎(chǔ)，對(duì)于形狀復(fù)雜的斜齒輪精確快速建模及后續(xù)方案修改，通過(guò)三維設(shè)計(jì)軟件平臺(tái)變量與參數(shù)的混合建?？奢p松實(shí)現(xiàn)，大幅縮短產(chǎn)品設(shè)計(jì)周期。本文在對(duì)斜齒輪深入研究基礎(chǔ)上，指出一種現(xiàn)有建模方法上的錯(cuò)誤思路，并提出一種基于MATLAB和CATIA多平臺(tái)環(huán)境下的斜齒輪快速精確建模方法。

1 漸開(kāi)線齒輪的形成原理

1.1 齒輪漸開(kāi)線的形成原理

如圖1所示，當(dāng)一條直線MN沿半徑為rb的圓周作純滾動(dòng)時(shí)，其直線上任意一點(diǎn)M的軌跡PM就是該圓的漸開(kāi)線。在直角坐標(biāo)系下，動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程為：

圖1 漸開(kāi)線生成原理

式中：θ為漸開(kāi)線發(fā)生線的滾動(dòng)角，θ=θk+αk；θk為漸開(kāi)線展角；αk為漸開(kāi)線壓力角。

1.2 斜齒輪齒面的形成原理

圖2所示為斜齒齒輪形成原理圖，由圖可知，當(dāng)發(fā)生面BB″T′t沿半徑為rb的基圓柱作純滾動(dòng)時(shí)，發(fā)生面上直線BB′所展出的漸開(kāi)面BB″A′A為直齒輪齒廓曲面。斜齒輪齒廓曲面的形成與直齒輪類似，只是發(fā)生面上的直線與軸線不再平行，而是與基圓柱軸線成一角度βb，即斜直線BB″的運(yùn)動(dòng)所展出的曲面BB″A″A為斜齒輪的齒廓曲面。漸開(kāi)曲面BB″A″A與基圓柱的交線AA″是一條螺旋線，螺旋角為βb，故斜齒輪的齒廓曲面為漸開(kāi)螺旋面。

圖2 斜齒齒輪面形成原理

2 基于CATIA建模分析

2.1 建模方法分析

國(guó)內(nèi)部分學(xué)者基于CATIA進(jìn)行漸開(kāi)線斜齒輪參數(shù)化建模時(shí)，一般是以直齒輪齒廓為基礎(chǔ)，按照螺旋角β進(jìn)行三維拉伸，在CATIA中建立基本參數(shù)連接相關(guān)公式繪制若干點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)[1-3]。其中在β的定義過(guò)程中有兩種思路：一是以建立螺旋線參數(shù)方程生成螺旋曲線為路徑，進(jìn)而完成斜齒輪實(shí)體建模；二是以按照螺旋角β定義通過(guò)投影獲得所需螺旋角，生成實(shí)體建模。在此過(guò)程中主要存在以下幾點(diǎn)問(wèn)題：

1）在CATIA中，由于漸開(kāi)線是以樣條曲線聯(lián)接參數(shù)方程生成若干關(guān)鍵控制點(diǎn)所形成，點(diǎn)數(shù)數(shù)量有限且繪制不精確，樣條曲線與理論廓線差距較大，齒廓精度無(wú)法保證，最終影響數(shù)值模擬分析。這也是困擾廣大科研工作者的一大核心問(wèn)題。

2）輪齒齒廓漸開(kāi)線展角θk沒(méi)有固定值，通常選取θk>>[θa]（輪齒齒廓展角），以避免在更改齒輪參數(shù)時(shí)，因漸開(kāi)線長(zhǎng)度不夠而出現(xiàn)錯(cuò)誤。在θk取值一定的情況下，所繪制漸開(kāi)線精度與控制點(diǎn)數(shù)成正相關(guān)，精度越高所需點(diǎn)數(shù)越多，生成數(shù)據(jù)也就越龐大。

3）在進(jìn)行實(shí)體成形時(shí)，有相關(guān)技術(shù)人員采用的參考β以投影方法，將一平面上的與齒輪軸線夾角成β斜線投影到分度圓圓柱面，這并非按照斜齒輪螺旋角β的定義——展開(kāi)（純滾動(dòng)）進(jìn)行，最終齒輪的螺旋角β′≠β，而應(yīng)通過(guò)建立以螺旋線參數(shù)方程生成螺旋曲線做為螺旋角β。

基于上述問(wèn)題分析，在CATIA進(jìn)行斜齒輪參數(shù)化建模時(shí)，輪齒齒廓會(huì)產(chǎn)生多元偏差，在進(jìn)行有限元仿真分析時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

2.2 改進(jìn)方案

利用MATLAB GUI進(jìn)行漸開(kāi)線齒廓的繪制并生成可控關(guān)鍵點(diǎn)，通過(guò)宏運(yùn)算將可控關(guān)鍵點(diǎn)導(dǎo)入CATIA，進(jìn)而在CATIA中完成三維實(shí)體建模。該方案有如下優(yōu)勢(shì)：

1）漸開(kāi)線繪制的高效性。通過(guò)程序編譯自動(dòng)生成漸開(kāi)線關(guān)鍵點(diǎn)及相應(yīng)坐標(biāo)，利用宏運(yùn)算將點(diǎn)云數(shù)據(jù)批量導(dǎo)入CATIA環(huán)境中，免去在CATIA中手動(dòng)輸入并編輯點(diǎn)的工作，同時(shí)保證了漸開(kāi)線的精度。

2）輪齒齒廓最大展角θk具有自適應(yīng)性。在生成漸開(kāi)線的程序中通過(guò)設(shè)置方程約束，確定了θk邊界條件，生成的漸開(kāi)線即為有效漸開(kāi)線，且輪齒齒廓展角θa會(huì)隨齒輪參數(shù)更改而自行更新，實(shí)現(xiàn)了漸開(kāi)線的精確自動(dòng)繪制，生成的數(shù)據(jù)簡(jiǎn)潔有效。

3）螺旋角β具有較高的可靠性。進(jìn)行肋特征的參考β按照螺旋角的定義，通過(guò)展開(kāi)特征獲得，并非通過(guò)投影獲得（具體內(nèi)容見(jiàn)下文），這就保證了齒輪螺旋角β的正確性。

3 漸開(kāi)線斜齒輪參數(shù)化建模實(shí)例

現(xiàn)以某新型汽車變速箱行星齒輪為例，基于MATLAB進(jìn)行交互界面程序開(kāi)發(fā)，在CATIA環(huán)境下進(jìn)行斜齒輪的參數(shù)化建模，相關(guān)參數(shù)指標(biāo)如表1所示。

表1 某新型汽車變速箱行星輪部分參數(shù)

3.1 漸開(kāi)線展角θk邊界條件

由圖1及漸開(kāi)線方程可知，漸開(kāi)線在向徑為rk處的展角θk為

由圖3可知，在標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒廓當(dāng)中，齒頂圓與漸開(kāi)線有且僅有一交點(diǎn)k，OK為標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒廓漸開(kāi)線最大向徑rk，由幾何關(guān)系知：

圖3 齒輪齒廓漸開(kāi)線曲線

式中：α為標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪壓力角，取定值20°；z為標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪齒數(shù)；[θa]max為最大齒廓展角。

式（3）表明：漸開(kāi)線標(biāo)準(zhǔn)齒廓展角θa大小僅與齒數(shù)z有關(guān)，與模數(shù)m無(wú)關(guān)，因此標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒廓漸開(kāi)線展角θk的邊界條件為[0,θa]。

3.2 基于MATLAB GUI及CATIA聯(lián)合建模過(guò)程

本文利用MATLAB 開(kāi)發(fā)漸開(kāi)線曲線設(shè)計(jì)平臺(tái)，通過(guò)輸入相關(guān)參數(shù)，生成漸開(kāi)線曲線圖形，最后導(dǎo)出點(diǎn)云數(shù)據(jù)。所開(kāi)發(fā)的軟件界面如圖4所示。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)齒輪漸開(kāi)線曲線參數(shù)化設(shè)計(jì)平臺(tái)界面

程序主窗口包含方程顯示區(qū)、參變量輸入?yún)^(qū)、圖像顯示區(qū)、命令區(qū)。預(yù)設(shè)參變量缺省值為0，通過(guò)更改控制取樣點(diǎn)數(shù)可以達(dá)到控制漸開(kāi)線精度的目的。以行星齒輪為例，通過(guò)輸入表1中相關(guān)參數(shù)，生成的曲線為二維曲線，在保存點(diǎn)云數(shù)據(jù)時(shí)，軟件會(huì)自動(dòng)填補(bǔ)曲線第三維坐標(biāo)為0。將保存的三維點(diǎn)云坐標(biāo)通過(guò)宏運(yùn)算將點(diǎn)云數(shù)據(jù)批量導(dǎo)入CATIA環(huán)境中，生成漸開(kāi)線曲線如圖5所示，圖中所示取樣點(diǎn)數(shù)為100。在CATIA環(huán)境下生成一個(gè)帶參標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪的端面幾何圖形，如圖6所示。

圖5 基于MATLAB GUI與CATIA GSD環(huán)境下實(shí)現(xiàn)漸開(kāi)線繪制

圖6 全齒端面幾何圖形

3.3 螺旋角β的分析與繪制

通常在CATIA中進(jìn)行三維特征創(chuàng)建時(shí)，所采用的螺旋角β為投影方法得到，而應(yīng)用此方法所得到的螺旋角β已不是斜齒輪所用的螺旋角β，即采用投影法繪制的圖形是錯(cuò)誤的。

在一般情形下，已知基圓半徑rb，漸開(kāi)線上K點(diǎn)處坐標(biāo)（Kx，Ky）（Kx≠0），建立一般情況下的直角坐標(biāo)系如圖7（假設(shè)圖示點(diǎn)均位于第一象限）所示。

圖7 漸開(kāi)線通用坐標(biāo)系

設(shè)M、B、A 三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（Mx，My）、（Bx，By）、（Ax，Ay），則有：

如圖8所示，已知rb=10 mm，K點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，按照式（4）～式（6），得M、B、A三點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（3.417 436,9.397 934）、B（7.803 677,6.253 208）、A（2.830 540,9.591 037），通過(guò)驗(yàn)證，上述推理完全正確，即論證了投影與展開(kāi)的區(qū)別。圖9為采用展開(kāi)方法建立的齒輪數(shù)模。

圖8 投影與展開(kāi)驗(yàn)證

圖9 漸開(kāi)線斜齒輪三維數(shù)模圖

3.4 螺旋角β的驗(yàn)證

為對(duì)所建立的斜齒輪模型準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，按照螺旋線的定義，將生成的三維實(shí)體隨機(jī)取樣，用于驗(yàn)證斜齒輪螺旋角β的正確性。如圖10所示，各取樣點(diǎn)處的螺旋角度均為β，所建數(shù)模符合要求。圖11為隨機(jī)更改齒輪相關(guān)參數(shù)（z=30、β=8°）獲得的齒輪數(shù)模，數(shù)模隨參數(shù)變化而自動(dòng)更新，表明建模思路方法是切實(shí)可行的。

圖10 行星輪某齒各取樣點(diǎn)下螺旋角β值

圖11 更改齒輪參數(shù)后數(shù)模及螺旋角β

4 結(jié)語(yǔ)

1）分析了在利用CATIA進(jìn)行斜齒輪數(shù)字化建模時(shí)，易出現(xiàn)的幾點(diǎn)缺陷及產(chǎn)生原因，并提出相對(duì)應(yīng)解決方案。

2）分析并得出了漸開(kāi)線齒輪漸開(kāi)線展角與齒輪基本參數(shù)之間函數(shù)的關(guān)系，并基于上述成果實(shí)現(xiàn)了基于MATLAB的可用于生成標(biāo)準(zhǔn)直齒輪漸開(kāi)線曲線的可執(zhí)行程序開(kāi)發(fā)，提高了漸開(kāi)線繪制精度和效率。

3）分析了CATIA曲面建模中，投影與展開(kāi)命令的原理，得出各點(diǎn)坐標(biāo)推導(dǎo)關(guān)系，指出并糾正了一種斜齒輪螺旋角β的繪制思路方法。

4）實(shí)現(xiàn)了基于MATLAB與CATIA的漸開(kāi)線標(biāo)準(zhǔn)斜（直）齒輪參數(shù)化建模方法，為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的快速三維實(shí)體建模及后續(xù)相關(guān)仿真分析奠定基礎(chǔ)。