陳愛欽

（福州高新區(qū)第二中心小學，福建 福州 350109）

數(shù)學建模即把復雜的現(xiàn)實生活問題概括抽象成簡單的數(shù)學內(nèi)容，能選擇適當?shù)姆椒ń鉀Q問題。如概念、公式定律等內(nèi)容，都可以算是數(shù)學模型［1］，很多問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型進行教學，將復雜的問題簡單化。而最后留在學生腦海中的，也一定是這些數(shù)學模型，這些模型將成為學生解決生活問題的方法，對今后的學習起到重要的作用。數(shù)學建模素養(yǎng)的內(nèi)涵是極其豐富的，不僅體現(xiàn)在解決一個數(shù)學應用的問題，還蘊涵著內(nèi)容、方法、步驟、手段、策略，乃至數(shù)學的精神。無論是課程標準還是教材的編寫，都對數(shù)學模型思想給予足夠的重視，讓學生在學到知識的同時，培養(yǎng)數(shù)學建模能力。如何讓學生向建模思維的深處行，落實建模的目標設定與實施，從而提高學生的建模能力呢？課堂的總結和反思是關鍵。

一、反思問題類型，形成建模目標

例如，教學“簡單的周期”一課，設計以下練習活動和反思環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：我是設計師：你能用○△□設計一組周期規(guī)律的圖形序列嗎？并且要讓第28 個圖形是△。畫完想一想，在小組里說一說，你是怎么畫的。

問題一出來，學生有的做沉思狀，遲遲不動筆，有的拿出練習紙寫寫畫畫。不一會兒，就有學生舉手示意完成題目，陸陸續(xù)續(xù)的，全部學生都有成果了。顯然，這些設計圖來得并不容易，從學生明顯的擦拭痕跡能看出，應該是在反復試了畫、畫了擦的基礎上，才得到最后的設計圖的。不管過程有多曲折，結果都是對的，說理都是通的。

環(huán)節(jié)二：回顧剛才你是怎么畫的，怎么做才能又快又好？剛才的題目是哪個類型的問題，以后遇到這種類型的問題時應該怎么做呢？先想一想，再和同桌說一說。

生1：我先用這三個圖形畫一組，共五個，又畫了同樣的五組，發(fā)現(xiàn)還要畫3 個，就是28 個，三角形要排在第三個，所以把前面的每一組第三個都改成三角形。

生2：我認為做這道題目，一開始先不要動手畫。要先計算，只要看余數(shù)，余數(shù)是幾，就把△排在每組第幾個；如果沒有余數(shù)，就把△排在每組最后一個，計算完再畫就會簡單一些。

教師適時抓住重點追問：“是哪個類型的問題，以后遇到這種類型的問題應該怎么做呢？”學生迫不及待地補充：“這是周期問題，這種問題其實就是確定每組幾個后，先列一道除法算式，然后看余數(shù)，再來畫圖。”至此，學生不僅能說出邏輯清楚的話，更重要的是思維不再局限于問題的表面，已然觸及一種重要的數(shù)學思想——模型思想。上述活動設計，教師放手讓學生嘗試，他們最終也能設計出各種方案。相當一部分最終的結果，是在反復試錯的過程中逐漸調(diào)整而來的，是缺乏方向性指導的。相對于數(shù)學學科的嚴謹規(guī)范的標準而言，這樣帶有僥幸心理的嘗試和成功顯然并不是我們所期待的。

模型的構建重在體驗和探究，學生的學習也是體驗和探究科學知識的過程。［2］然而，經(jīng)歷體驗后，學生是否發(fā)現(xiàn)蘊含在問題解決過程中的豐富的數(shù)學思想，并主動總結？答案顯然是否定的。此時，需要教師帶領學生進行反思，在反思中總結問題類型，掌握解決此類問題的一般方法，形成建模目標。模型思想揭示的是數(shù)學對象內(nèi)在的數(shù)學關系結構，它直接指向數(shù)學本質(zhì)，抓住數(shù)學最核心的部分。細細分析，學生嘗試畫出的圖其實是一種直觀模型，接著要處理好直觀與抽象的關系，充分發(fā)揮畫圖對除法模型的直觀詮釋作用。比如，除法算式中，“被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)”分別表示什么意思，幫助學生弄清除法模型的實際意義，感受到除法模型表示規(guī)律的一般性和高度的概括性，由此建立起具有統(tǒng)攝性、符號化的除法模型，這就是周期問題的建模目標。通過反復反思問題類型，形成建模目標，強調(diào)數(shù)學的內(nèi)在架構，突出數(shù)學結構的形式化表達［3］，對學生而言，就是一種簡約化的理性思維訓練。再遇到類似問題，相信學生就能有章可循。

二、反思思考方法，學會建模手段

“怎樣計算？”“為什么這樣計算？”“有多少種計算方法？”一直是計算教學繞不開的話題。抽象的算理、枯燥的算法，往往讓學生厭煩。如何把算理和算法模型變得直觀、生動、深刻呢？以《小數(shù)加減法》研討課為例，設計以下環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：及時反思計算過程的思考方法，形成建立計算模型的手段。

師：小數(shù)計算2.75+1.4 算式的結果是多少？把你計算思考的過程記錄下來?？梢詫懸粚懟虍嬕划?。

師：誰愿意和我們分享你的思考過程？

生1：把2.75 和1.4 看作用元做單位，通過換算，得到415 分，就是4.15 元。

生2：把2.75 當作2.75 米，1.4 當作1.4 米，再化成厘米做單位。

生3：我是用2 元加1 元，7 角加4 角，還剩一個5分，這樣一眼就看出結果是4.15 元。（見圖1）

圖1

師：這三位同學的方法有沒有相同之處？

生4：都用了單位換算法，把兩個小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)。

師：還有其他的解法嗎？

生5：2.75 表示2 個1，7 個0.1 和5 個0.01，1.4 表示1 個1，4 個0.1 合在一起就是3 個1+11 個0.1+5 個0.01，也就是4 個1+1 個0.1+5 個0.01=4.15。我的方法雖然有點麻煩，但是容易理解，我是把每個小數(shù)拆開來計算的。

師：你明白他的意思嗎？這里的11 個0.1 是怎樣得到的？

生6：是7 個0.1 加4 個0.1 得到的。

師：把兩個小數(shù)分別拆成幾個1、幾個0.1 和幾個0.01 來思考，這種方法的依據(jù)是什么？

生7：小數(shù)的組成。

師：同學們不僅理解方法，還知道方法的依據(jù)。

上述活動中，教師拋出“他們的方法有沒有相同之處？”“這種方法依據(jù)是什么？”等問題，引導學生歸納思考方法，積累計算算理的經(jīng)驗，形成建構。僅“單元換算”的方法，學生的計算過程就各有不同，且視角不同，有繁有簡。正是這種不同，才使得學習素材更加多元，方法更加多樣。由于每個學生的學習起點是不同的，思維方法是豐富多彩的，教師要讓個性化的思維路徑得以展現(xiàn)。

生8：我是用方格圖來表示。（見圖2）

圖2

師：同學們創(chuàng)造了這么多的作品圖。無論是圖形圖、計數(shù)器圖還是方格圖，都特別關注到什么？

生9：滿十進一。

生10：把相同數(shù)位上的數(shù)相加。

學生用各種數(shù)學圖形來呈現(xiàn)解題思路。通過對思考方法的相互評價，質(zhì)疑創(chuàng)新、實現(xiàn)學習互補，在思維碰撞中加深對小數(shù)加減法算理的理解。思考方法越豐富，對數(shù)學知識的認識和理解就越全面、越豐盈，越接近其算理本質(zhì)。

環(huán)節(jié)二：一步一思，由表及里，理解運算法則。

生11：我是用豎式來計算的。

師：為什么要把小數(shù)點對齊？而不把末尾對齊？

生12：因為小數(shù)點對齊了，數(shù)位才能對齊。

教師總結促反思：“同學們用文字表述、畫圖理解、單位換算、豎式計算等多種方法，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，這就是數(shù)學能力，這些不同的方法，有什么共同的特點？相互之間有什么聯(lián)系呢？”

生13：相同點在于計數(shù)單位相同的數(shù)才能相加。

生14：這些方法是有聯(lián)系的。無論哪種方法，都可以在豎式計算中找到過程，其實這幾種方法，計算的道理都是一樣的。

師：你們認為哪種方法最簡潔呢？

生15：豎式計算最簡潔。

教師結合對算理思考方法的梳理反思，引導學生對不同方法進行比對，發(fā)現(xiàn)異同，歸納概括。抽象的程度由淺入深，通過思維加工，使新舊知識模型構架融為一體，內(nèi)化為學生自己的認知模型結構，有助于學生從不同的視角理解算理的內(nèi)涵，完成對算理的本質(zhì)建構。在梳理反思進程中，教師要關注思考方法，引導學生勾連各種表征之間的聯(lián)系，并透過這種聯(lián)系，全面理解數(shù)學對象的本質(zhì)，透過多元表征透視知識內(nèi)核，在習得方法的同時，促進思維向縱深發(fā)展，實現(xiàn)知識的多元建構、經(jīng)驗的多元積累、數(shù)學思維的多元發(fā)展。加深學生對數(shù)學對象的認識，完善認知結構，形成穩(wěn)固的知識體系，促進學生的數(shù)學思維拔節(jié)生長，提升數(shù)學建模素養(yǎng)。

三、反思解決過程，掌握建模步驟

滲透模型思想，培養(yǎng)建模能力，反思解決過程，形成建模步驟，人教版教材也是有意如此編排的。在教材解決問題的教學中，低年級教材編排呈現(xiàn)解決問題的三個步驟：“知道了什么？”“怎樣解答？”“解答正確嗎？”中高年級則凝練成三部曲：閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思。教師要按照三個步驟組織教學，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力以及分析并解決問題的能力。

例如，低年級“解決問題”教學時，引導學生把“解決問題”中敘述的生活語言抽象成數(shù)學語言，進而轉(zhuǎn)化成數(shù)學運算的能力和習慣。把“應用題”先轉(zhuǎn)化為“文字題”后，再進行列式解答，同時彌補了新教材中沒有“文字題”例題的缺陷。如分析“15 人做游戲，平均每組5 人，可以分成幾組？”的解題思路后，要寫出“15 里面有幾個5”，再列式解答。及時引導學生回顧反思，在解決這個問題時，經(jīng)歷了哪些步驟？又如，在具體教學中，可通過專項練習，引導學生述說思路。如根據(jù)哪些信息可以解決什么問題；要解決這個問題，需要什么信息；補信息補問題；畫示意圖或線段圖等。讓學生在講述解題思路的過程中，引發(fā)自我反思，明確解題步驟，提高建模能力。

從核心素養(yǎng)角度來看數(shù)學建模能力，就是教學時，在現(xiàn)實情境的基礎上進行數(shù)學抽象，在數(shù)學抽象的過程中構建數(shù)學模型，除了讓學生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”這四個過程，進而發(fā)展學生的四種能力：發(fā)現(xiàn)問題能力、提出問題能力、分析問題能力、解決問題能力，更應引導反思解決問題過程，以此達到“四會”：會用數(shù)學的眼光看生活、會用數(shù)學的思維想問題、會用數(shù)學的語言表述世界、會用模型思想解決問題。［4］教師適時把解決問題的幾個步驟在回顧與反思環(huán)節(jié)讓學生反思梳理，學生自然在每次梳理中，加深解決問題步驟的認識，形成自己的建模步驟。同理，每一次課堂教學中，教師要積極引導學生反思解決問題的過程，得出解決此類問題的一般步驟。

總之，在課堂教學中及時反思，讓學生在反思中形成建模目標，學會建模手段，掌握建模步驟，才能切實提高學生的數(shù)學建模能力。