章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

計(jì)數(shù)問(wèn)題在日常生活、生產(chǎn)中普遍存在.例如，幼兒會(huì)通過(guò)一個(gè)個(gè)數(shù)的方法，計(jì)算自己擁有的玩具數(shù)量；學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育老師要算一算共需舉行多少場(chǎng)比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)，顏色的不同排列表示不同的信號(hào)，也需知道一共可以組成多少種不同信號(hào)；……數(shù)量很少時(shí)，一個(gè)一個(gè)數(shù)也不失為一種好方法；但如果數(shù)量很大，這種方法不僅效率低而且容易出錯(cuò).所以，需要研究高效且準(zhǔn)確的計(jì)數(shù)方法.

實(shí)際上，自然數(shù)系就是人類在生產(chǎn)、生活中，通過(guò)長(zhǎng)期的“數(shù)個(gè)數(shù)”實(shí)踐而逐漸發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)工具，自然數(shù)是人類的發(fā)明創(chuàng)造，其對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)可以與火的使用相媲美.為了使自然數(shù)系在計(jì)量中更加有用、好用，人們定義了具有交換律、結(jié)合律和分配律的加法、乘法，這是將若干個(gè)“小的數(shù)”結(jié)合成“較大的數(shù)”的最基本方法.這兩種方法經(jīng)過(guò)推廣就成了本單元的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.這兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的最基本、最重要的方法，應(yīng)用它們，還可以得到兩類特殊計(jì)數(shù)問(wèn)題的計(jì)數(shù)公式，即排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問(wèn)題；應(yīng)用計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式，還可以推出二項(xiàng)式定理，這是一個(gè)在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用的定理.

下面對(duì)本單元的課程內(nèi)容和教學(xué)進(jìn)行概要討論.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，稱為基本計(jì)數(shù)原理；排列與組合是兩類特殊且重要的計(jì)數(shù)問(wèn)題；二項(xiàng)式定理是重要的代數(shù)公式，在數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用，可以通過(guò)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理進(jìn)行推導(dǎo).本單元的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生理解兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，學(xué)會(huì)運(yùn)用計(jì)數(shù)原理探索排列、組合、二項(xiàng)式定理等問(wèn)題.本單元內(nèi)容包括兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，排列與組合，二項(xiàng)式定理.課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生通過(guò)本單元學(xué)習(xí)，能結(jié)合具體實(shí)例，識(shí)別和理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理及其作用，并能運(yùn)用這些原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；能結(jié)合具體實(shí)例，理解排列、組合、二項(xiàng)式定理與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的關(guān)系，能運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列、組合、二項(xiàng)式定理的相關(guān)公式，并能運(yùn)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，特別是概率中的某些問(wèn)題.

分析上述內(nèi)容和要求，可得如下認(rèn)識(shí)：

首先，就像加法、乘法是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)一樣，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，課程標(biāo)準(zhǔn)將它們稱為基本計(jì)數(shù)原理.高中階段被冠以“基本”二字的定理只有基本不等式、向量基本定理等少數(shù)幾個(gè)，足見(jiàn)其重要性.

其次，排列與組合是兩個(gè)特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出計(jì)數(shù)公式.事實(shí)上，研究一類數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，往往要在研究一般性問(wèn)題后考察特例，由此得出的結(jié)論也具有特殊作用.例如各種乘法公式就是特殊多項(xiàng)式相乘的結(jié)果，它們?cè)诖鷶?shù)學(xué)中具有重要地位；等腰三角形和直角三角形的相關(guān)結(jié)論在幾何學(xué)中也有特殊的重要性；等等.

第三，二項(xiàng)式定理是有廣泛應(yīng)用的代數(shù)公式，二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)就是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、組合數(shù)公式的重要應(yīng)用.

順便指出，兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理近乎常識(shí)，容易理解，但具有極大的靈活性，所以要熟練掌握并不容易.

2 本單元的內(nèi)容與要求

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本單元提出了如下內(nèi)容與要求.

(1)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

通過(guò)實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.

(2)排列與組合

通過(guò)實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

(3)二項(xiàng)式定理

能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.

3 內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

3.1 對(duì)內(nèi)容的整體分析

我們知道，兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理是處理計(jì)數(shù)問(wèn)題的兩種基本思想方法.面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)分類或分步將它分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，在解決這些問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來(lái)得到原問(wèn)題的解，這在日常生活中也被經(jīng)常使用.通過(guò)對(duì)復(fù)雜計(jì)數(shù)問(wèn)題的分解，將綜合問(wèn)題分解為單一問(wèn)題的組合，再對(duì)單一問(wèn)題各個(gè)擊破，可以達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、化難為易的效果.

返璞歸真地看兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，它們實(shí)際上是加法與乘法的推廣，是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的理論基礎(chǔ).

由于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的這種基礎(chǔ)地位，并且在應(yīng)用它們解決問(wèn)題時(shí)具有很大的靈活性，是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理的好素材，所以需要在教學(xué)中給予充分重視.另外，學(xué)生還不習(xí)慣用它們來(lái)分析和解決問(wèn)題，所以需要通過(guò)具體實(shí)例概括出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，并通過(guò)由易到難、由單一到綜合的解題訓(xùn)練，使學(xué)生有較多機(jī)會(huì)來(lái)熟悉原理及其基本應(yīng)用.

排列、組合是兩類特殊而重要的計(jì)數(shù)問(wèn)題，解決它們的基本思想和工具就是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，其內(nèi)容安排可以按如下思路展開(kāi)：從簡(jiǎn)化運(yùn)算的角度提出排列與組合的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過(guò)具體實(shí)例的概括得出排列、組合概念；應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理得出排列數(shù)公式；應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式.對(duì)于排列與組合，有兩個(gè)基本想法貫穿始終，一是根據(jù)一類問(wèn)題的特點(diǎn)和規(guī)律尋找簡(jiǎn)便計(jì)數(shù)方法，就像算術(shù)運(yùn)算中乘法作為加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算一樣；二是注意應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理思考和解決問(wèn)題.

二項(xiàng)式定理的研究是應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的典型過(guò)程，其基本思路是“先猜后證”.“猜想”是直接應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理對(duì)展開(kāi)式項(xiàng)的特征進(jìn)行分析得出的，這個(gè)分析過(guò)程不僅是學(xué)生認(rèn)識(shí)二項(xiàng)式展開(kāi)式與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理之間內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)，而且也為證明猜想提供了基本思路.

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理幾乎是一種常識(shí)，這樣簡(jiǎn)單樸素的原理易學(xué)、好懂、能懂、好用，但要達(dá)到會(huì)用的境界，則需要經(jīng)過(guò)一定的應(yīng)用性訓(xùn)練.所以，需要選擇恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析、推理和論證，使學(xué)生在應(yīng)用中加深對(duì)原理的理解，提高思維的縝密性.

用排列、組合概念解決問(wèn)題的過(guò)程中，困難在于問(wèn)題背景不易把握而導(dǎo)致重復(fù)或遺漏，為此需要讓學(xué)生掌握一些基本類型的計(jì)數(shù)技巧.

猜想二項(xiàng)式定理的主要困難在于學(xué)生很難想到把“展開(kāi)式”與“計(jì)數(shù)”聯(lián)系起來(lái)，因此用計(jì)數(shù)原理對(duì)(a+b)2的展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行細(xì)致分析非常重要，需要加強(qiáng)引導(dǎo).

3.2 關(guān)于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

在思想方法上，用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題就是將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解為若干“類別”，然后各個(gè)擊破，分類解決；用分步乘法計(jì)數(shù)原理則是將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的解決過(guò)程分解為若干“步驟”，先分析每個(gè)步驟，再組合為一個(gè)完整的過(guò)程.其目的都是為了分解問(wèn)題、簡(jiǎn)化問(wèn)題.因?yàn)榕帕?、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是作為兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用而設(shè)置的，所以理解和掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.

1. 如何幫助學(xué)生理解“完成一件事情”

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理都是討論“完成一件事情”所有不同方法種數(shù)的問(wèn)題.“完成一件事情”是一個(gè)比較抽象的概念，它比“完成一件工作”“完成一項(xiàng)工程”等的含義要廣泛得多.某些問(wèn)題的實(shí)際背景以及文字表達(dá)中一些關(guān)鍵詞的語(yǔ)義往往會(huì)引起學(xué)生的困惑，造成理解困難，需要在教學(xué)中結(jié)合實(shí)例加強(qiáng)辨析.例如：

從甲地到乙地；從甲地經(jīng)丙地再到乙地.

從所有教科書中任取一本；從所有教科書中任取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書各一本.

從1～9這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)；2160的正因數(shù).

排列、組合中的“確定一個(gè)滿足條件的排列”“確定一個(gè)滿足條件的組合”也是指“完成一件事情”.

學(xué)生容易把“完成一件事情”與“計(jì)算完成這件事情的方法總數(shù)”混同.例如：

在分析“從1～9這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，共可組成多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)”時(shí)，學(xué)生容易把要完成的“一件事情”理解成“求滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)”；“求2160有多少個(gè)不同的正因數(shù)”要完成的“一件事情”是“計(jì)算2160正因數(shù)的個(gè)數(shù)”；在解決“求(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4)·(c1+c2+c3+c4+c5)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)”時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都不清楚這里要完成的是“得到展開(kāi)式的一項(xiàng)aibjck(i∈{1，2，3}，j∈{1，2，3，4}，k∈{1，2，3，4，5})”.

2. 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別

分類計(jì)數(shù)原理與“分類”有關(guān)，類與類之間互不相容，用任何一類中的任何一種方法都可以完成這件事；

分步計(jì)數(shù)原理與“步驟”有關(guān)，只有依次完成每一個(gè)步驟，才能完成這件事情.

利用集合進(jìn)行抽象表示，可以得到如下結(jié)果：

設(shè)完成一件事的方法的集合是U，且

card(U)=N.

如果完成這件事的方法可以區(qū)分為互不相同的A，B兩類，即A∪B=U，A∩B=?.記

card(A)=m，card(B)=n，則

N=card(U)=card(A∪B)

=card(A)+card(B)=m+n.

如果完成這件事需要分成A，B兩個(gè)步驟，即U=A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}.記

card(A)=m，card(B)=n，那么

N=card(U)=card(A×B)

=card(A)×card(B)=m×n.

分類要做到不重不漏：分類加法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方法”，是指完成這件事的所有方法可以分為兩類，即任何一類中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，兩類中沒(méi)有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類中.

分步要做到步驟完整：分步乘法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個(gè)步驟”，是指完成這件事的任何一種方法都要分成兩個(gè)步驟，在每一個(gè)步驟中任取一種方法，然后相繼完成這兩個(gè)步驟就能完成這件事，即各個(gè)步驟是相互依存的，每個(gè)步驟都要做完才能完成這件事情.

3. 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的教學(xué)

基本計(jì)數(shù)原理看似簡(jiǎn)單，但要真正把握其本質(zhì)并不容易，教學(xué)中應(yīng)注意使學(xué)生充分經(jīng)歷通過(guò)具體實(shí)例概括計(jì)數(shù)原理的過(guò)程，特別是要在分析問(wèn)題的本質(zhì)特征上多給學(xué)生一些時(shí)間和空間.為了使學(xué)生更好地概括和領(lǐng)悟計(jì)數(shù)原理，教學(xué)中要注意使用典型例子，例如從A地到B地的不同路線問(wèn)題、參加某項(xiàng)活動(dòng)的人員組合問(wèn)題等，也可以讓學(xué)生自己舉一些例子.

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)應(yīng)該在同一課時(shí)中進(jìn)行，這樣可以讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，在比較中加深認(rèn)識(shí).一般地，學(xué)生在剛剛接觸一個(gè)概念時(shí)所留下的印象是最深刻的，這里進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生先入為主地明白兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的差異及其相互聯(lián)系.

這里再次強(qiáng)調(diào)，關(guān)鍵是要讓學(xué)生分析清楚要完成的“一件事情”是什么.為此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)采取一些措施，例如“樹(shù)狀圖”的使用可以使思路的梳理更加清晰，應(yīng)要求學(xué)生學(xué)會(huì)使用“樹(shù)狀圖”分析問(wèn)題.

3.3 排列

數(shù)學(xué)研究中，大致都會(huì)經(jīng)歷這樣的過(guò)程：先在一般意義上定義研究對(duì)象(問(wèn)題)，再研究關(guān)鍵性的特例.“一般性寓于特殊性之中”，通過(guò)特例的研究，達(dá)到對(duì)研究對(duì)象(問(wèn)題)的基本認(rèn)識(shí)，獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并在解決具體問(wèn)題時(shí)，設(shè)法將問(wèn)題化歸為能應(yīng)用模型加以解決的形式.例如，一般意義上研究函數(shù)的概念與性質(zhì)后，研究基本初等函數(shù)，在給出數(shù)列的一般概念后再研究等差數(shù)列、等比數(shù)列，在一般性地討論空間基本圖形位置關(guān)系后重點(diǎn)研究直線、平面的平行與垂直等等.

排列、組合是兩個(gè)基本計(jì)數(shù)模型，在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)有非常重要的作用.

1.排列的定義

排列的定義包含兩個(gè)步驟：取出元素，按一定順序排列.這里，“元素”的意義是非常廣泛的，通常可以抽象為集合語(yǔ)言進(jìn)行表示，即從集合{a1，a2，…，an}中取出m個(gè)元素，再按一定順序排列.因此，確定一個(gè)排列要完成的“一件事情”是：取出m個(gè)元素，再按順序排列.

學(xué)生可能對(duì)“一定順序”的理解會(huì)有困難，可以結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行解釋.例如：

(1)甲、乙、丙3人中選2人，一人參加上午的活動(dòng)，一人參加下午的活動(dòng)，“甲上午、乙下午”與“乙上午、甲下午”是不同的，這樣，“上午在前、下午在后”就是“一定的順序”；

(2)1，2，3，4，5中選3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，盡管123與132，213，231，312，321有相同的數(shù)字，但卻是互不相同的數(shù)，因?yàn)槠渲袛?shù)字的順序不同，這樣，“百位、十位、個(gè)位”就是“一定的順序”.

所以，元素不同或元素相同但順序不同的排列都是不同的排列，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素和順序都相同才是同一個(gè)排列.

2.排列數(shù)公式

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作成一個(gè)排列要完成的“一件事情”包含兩個(gè)動(dòng)作，一是“取”二是“排”.完成這兩個(gè)動(dòng)作可以用兩種方法，一種是“取一個(gè)排一個(gè)”，另一種是“取出m個(gè)，再將這m個(gè)元素按順序排成一列”，就是把m個(gè)元素全排列.

按前一種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可以得到

按后一種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可以得到

3.排列數(shù)公式的變式

對(duì)排列數(shù)公式進(jìn)行一些變形，可以得到一些變式，這些變式往往蘊(yùn)含了一定的實(shí)際意義.例如：

……

4.帶有限制條件的排列問(wèn)題

對(duì)于有限制條件的計(jì)數(shù)問(wèn)題，由于對(duì)限制條件的處理不同，通常有兩種計(jì)數(shù)方法：一種是直接計(jì)數(shù)，即根據(jù)限制條件分解問(wèn)題(往往是進(jìn)行分類)，把符合限制條件的排列數(shù)直接計(jì)算出來(lái)；另一種是先不考慮限制條件而計(jì)算出所有排列數(shù)，再?gòu)闹袦p去不符合條件的排列數(shù)，從而得出符合條件的排列數(shù).

如果不符合限制條件的情況較少，那么往往采用第二種方法，這有點(diǎn)“正難則反”的味道.

3.4 組合

1.組合的概念

組合要完成的“一件事情”是“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)”，所以，組合可以看成是排列的一個(gè)步驟.用集合的語(yǔ)言表達(dá)，就是從集合{a1，a2，…，an}中取出m個(gè)元素，得到它的一個(gè)子集.

排列與組合都要“從n個(gè)元素中，任取m個(gè)元素”，所不同的是，排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“不管順序地并成一組”.因?yàn)榧系脑鼐哂袩o(wú)序性，所以用集合的語(yǔ)言解釋組合是非常恰當(dāng)?shù)?由此也可以想到，排列、組合概念的理解與用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題有緊密的關(guān)聯(lián)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好載體.

教學(xué)中可以通過(guò)具體問(wèn)題的比較，啟發(fā)學(xué)生抓住“順序”這個(gè)關(guān)鍵來(lái)區(qū)分排列問(wèn)題與組合問(wèn)題.

2.組合數(shù)

要提醒學(xué)生注意公式推導(dǎo)過(guò)程中蘊(yùn)含的“算兩次”思想——一個(gè)故事用兩種方式講解，由此可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

3.組合數(shù)的性質(zhì)

首先，對(duì)于一個(gè)代數(shù)等式，本質(zhì)上反映了“一個(gè)事物的兩種等價(jià)形式”.解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，往往可以用不同的方案，而不同計(jì)數(shù)方案得出的結(jié)果應(yīng)該相同，其數(shù)學(xué)表達(dá)也就是相應(yīng)的組合等式.所以，證明組合恒等式可以從純粹的代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行，也可以通過(guò)構(gòu)建實(shí)際背景給出解釋.

3.5 排列與組合的教學(xué)

排列與組合是有內(nèi)在聯(lián)系的兩類特殊計(jì)數(shù)問(wèn)題，教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)比.“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素”，這是最簡(jiǎn)單也是基本而重要的，取出的元素是互不相同的，與概率中的不重復(fù)抽取樣本對(duì)應(yīng)；其變式是“可重復(fù)排列”，例如“學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？”

排列、組合的問(wèn)題，困難在于對(duì)問(wèn)題背景的理解，這是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，需要通過(guò)不同情境加強(qiáng)訓(xùn)練(有時(shí)還需要一定的有迷惑性的問(wèn)題進(jìn)行辨析).

要讓學(xué)生掌握一定的技巧.例如：先分類，后分步；特殊元素、特殊位置先排；“插空法”、“捆綁法”……

3.6 二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理源于解決高次冪開(kāi)方的問(wèn)題，當(dāng)帕斯卡建立了正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理之后，這個(gè)定理又應(yīng)用到了自然數(shù)冪和、組合理論及概率計(jì)算等方面；牛頓則把指數(shù)從整數(shù)推廣到了有理數(shù)，而他的弟子泰勒則將其進(jìn)一步推廣到泰勒定理，這個(gè)定理是引進(jìn)多項(xiàng)式的微分學(xué)的一個(gè)重要起點(diǎn).

中學(xué)階段，二項(xiàng)式定理安排在計(jì)數(shù)原理、排列組合之后，隨機(jī)變量及其分布之前，可以讓學(xué)生感受到二項(xiàng)式定理作為聯(lián)系不同領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶作用.二項(xiàng)式定理的課程定位是既作為計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)的應(yīng)用，也為解決有關(guān)概率問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

1.二項(xiàng)式定理的起源

在古代，解方程是重大問(wèn)題，這就必然需要解決開(kāi)方問(wèn)題.

古代的開(kāi)方算法中，二項(xiàng)式系數(shù)扮演著重要角色.為了發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)所遵循的規(guī)律，人們將這些系數(shù)按n的取值順次排成三角形，我國(guó)稱為“楊輝三角”，西方稱為“帕斯卡三角”.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察，人們從這個(gè)算術(shù)三角形中發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的各種性質(zhì)，乃至一般規(guī)律，由此建立了二項(xiàng)式定理.

2.二項(xiàng)式系數(shù)取值規(guī)律的發(fā)現(xiàn)

首先，二項(xiàng)式定理是一個(gè)數(shù)學(xué)公式.歸根到底，它是一個(gè)多項(xiàng)式乘法問(wèn)題.所以，多項(xiàng)式乘法法則是推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的“本源”之一.結(jié)合組合數(shù)公式可以得出每一項(xiàng)的系數(shù)，但從多項(xiàng)式乘法問(wèn)題聯(lián)系到組合問(wèn)題，跨度很大，難.

其次，這是一個(gè)特殊的多項(xiàng)式乘法問(wèn)題.“特殊”在其因式都是相同的“二項(xiàng)式”，由此而決定了其展開(kāi)式的規(guī)律性.

第三，因?yàn)槎囗?xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式，所以分析展開(kāi)式的規(guī)律，應(yīng)從多項(xiàng)式概念的要素出發(fā)：項(xiàng)、次數(shù)、項(xiàng)數(shù)，其中最關(guān)鍵的是各項(xiàng)的系數(shù).

第四，對(duì)于“項(xiàng)”的規(guī)律，關(guān)鍵看結(jié)構(gòu)特征，具體表現(xiàn)在系數(shù)、a的次數(shù)、b的次數(shù)各有什么規(guī)律，因此這一分析也包含了展開(kāi)式各項(xiàng)次數(shù)的規(guī)律.

第五，如果不合并同類項(xiàng)，那么展開(kāi)式有2n項(xiàng)，其中有(n+1)類同類項(xiàng)an-kbk(k=0，1，2，…，n)，所以合并同類項(xiàng)后有(n+1)項(xiàng).而an-kbk的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)，可以根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則和組合數(shù)公式而得到.

3.二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

背景引入：前面學(xué)習(xí)了排列組合知識(shí)，下面我們運(yùn)用這些知識(shí)推導(dǎo)一個(gè)用途很廣的公式——二項(xiàng)式定理，即(a+b)n的展開(kāi)式，它是初中學(xué)過(guò)的乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2的推廣.

請(qǐng)大家先回顧多項(xiàng)式概念，多項(xiàng)式乘法法則，以及我們是如何推出乘法公式的.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確要研究的問(wèn)題，提取長(zhǎng)時(shí)記憶中關(guān)于多項(xiàng)式乘法的相關(guān)概念.

問(wèn)題1： 代數(shù)公式往往是從具體實(shí)例中歸納共性而發(fā)現(xiàn)的.為了得到二項(xiàng)式定理，我們可以先分析n=2，3，4時(shí)二項(xiàng)式(a+b)n展開(kāi)式的共同特征.

你能從(a+b)2=a2+2ab+b2出發(fā)，得到(a+b)3、(a+b)4的展開(kāi)式嗎？

預(yù)設(shè)：希望學(xué)生能想到如下方法

(a+b)3=(a+b)(a+b)2

=(a+b)(a2+2ab+b2)

=a3+2a2b+ab2+ba2+2ab2+b3

=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=(a+b)(a+b)3

=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)

=a4+3a3b+3a2b2+ab3+ba3+3a2b2+3ab3+b4

=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

追問(wèn)：(1)根據(jù)多項(xiàng)式的概念，你認(rèn)為應(yīng)從哪些角度觀察三個(gè)公式的共同特征？(2)由此你能得到(a+b)n展開(kāi)式的哪些猜想？(3)你能用上述遞推方法得到(a+b)n的展開(kāi)式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生有目的地觀察、有邏輯地思考，而不是“撞大運(yùn)”.在概念的指引下，觀察多項(xiàng)式的“要素”即項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、項(xiàng)及其系數(shù)的規(guī)律，教師要在“項(xiàng)的特征”上加強(qiáng)引導(dǎo)，如每一項(xiàng)的次數(shù)都是n，a的次數(shù)從n到0降冪排列，b的次數(shù)從0到n升冪排列等等.

問(wèn)題2： 用上述遞推的方法得出展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)有困難.能否換個(gè)角度看問(wèn)題呢？

追問(wèn)1：對(duì)于(a+b)2=a2+2ab+b2，你能抽象出展開(kāi)式各項(xiàng)的一般形式嗎？

預(yù)設(shè)：估計(jì)學(xué)生獨(dú)立得出a2-kbk(k=0，1，2)有困難，可以安排合作學(xué)習(xí)，必要時(shí)也可以由教師講解.

追問(wèn)2：你能結(jié)合多項(xiàng)式乘法的過(guò)程，利用組合知識(shí)解釋ab項(xiàng)的系數(shù)為什么等于2嗎？

預(yù)設(shè)：這是本堂課的主要難點(diǎn)所在.教師可以通過(guò)如下追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考：

追問(wèn)2.1：這里要完成的“一件事情”是什么？——得到展開(kāi)式的ab項(xiàng).

追問(wèn)2.3：類比上述分析，你能用組合數(shù)表示(a+b)2展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)并寫出展開(kāi)式嗎？

問(wèn)題3： 仿照上述過(guò)程，你能給出(a+b)3，(a+b)4的展開(kāi)式嗎？

預(yù)設(shè)：這個(gè)問(wèn)題由學(xué)生獨(dú)立完成后再進(jìn)行全班交流，因?yàn)橛?a+b)2的研究經(jīng)驗(yàn)，估計(jì)學(xué)生可以完成.

問(wèn)題4： 歸納n=2，3，4時(shí)二項(xiàng)展開(kāi)式的共性，你能得出(a+b)n展開(kāi)式的猜想嗎？你能證明嗎？

設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)線索一定要反映學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這個(gè)規(guī)律也與數(shù)學(xué)公式的歸納過(guò)程一致.從具體到抽象而展開(kāi)，也就是先對(duì)n=2，3，4時(shí)(a+b)n的展開(kāi)式進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)而歸納出一般結(jié)論.對(duì)(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的觀察中，最容易得到的規(guī)律是展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、每一項(xiàng)的次數(shù).困難在于項(xiàng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)，教師要在從一般角度看特殊事例上加強(qiáng)引導(dǎo)，概括各項(xiàng)的共性得出結(jié)構(gòu)an-kbk，這里體現(xiàn)了代數(shù)的基本思想——從具體到抽象地歸納一般結(jié)論.

發(fā)現(xiàn)系數(shù)的取值規(guī)律是困難的.要回到運(yùn)算的出發(fā)點(diǎn)，利用多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行分析：

4.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

進(jìn)一步的，可以研究一些組合恒等式.

3.7 關(guān)于楊輝三角的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

人教A版以“楊輝三角性質(zhì)的探究”為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的一個(gè)主題，一是楊輝三角的直觀性和性質(zhì)的豐富性，既有“一目了然”的性質(zhì)，也有“深藏不露”的性質(zhì)，所以它可以讓不同發(fā)展水平的學(xué)生都能探究，并有所收獲；二是楊輝三角的科學(xué)價(jià)值；三是對(duì)人的智慧的挑戰(zhàn)性，以及數(shù)學(xué)文化魅力.

教學(xué)中要加強(qiáng)探究方法的指導(dǎo).例如在“如何觀察”上加強(qiáng)指導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)字三角形中通過(guò)圈一圈、連一連、算一算等嘗試發(fā)現(xiàn)；要加強(qiáng)觀察的目的性，以“行與行的二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系”為導(dǎo)向，以運(yùn)算為手段，對(duì)相鄰行之間、各行數(shù)字的和等進(jìn)行觀察.

下面給出楊輝三角的一些性質(zhì).

(3)第n行，奇數(shù)項(xiàng)之和等于偶數(shù)項(xiàng)之和，即

(4)第n行數(shù)的和為2n，即

圖1

(5)如圖1，第n行各數(shù)平方和等于第2n-1行中間的數(shù)：

圖2

(6)如圖2，自腰上的某個(gè)1開(kāi)始平行于腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方的那個(gè)數(shù)，即

(7)數(shù)列求和，如圖3，我們有：

……

圖3

(8)斐波那契數(shù)列：如圖4，按照這種方式，依次畫下去，并將各條虛線上的數(shù)分別相加，得到

圖4

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

這就是斐波那契數(shù)列.

如果記從第n行的“1”開(kāi)始相加，得到的數(shù)為F(n)，那么根據(jù)楊輝三角，得到

于是有

F(n+1)+F(n)=F(n+2).

圖5