葛麗婷 郭玉峰 郎春雨

(1.杭州市杭州中學 310002；2.北京師范大學數(shù)學科學學院 100875；3.清華大學附屬中學 100084)

1 問題提出

隨著《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《課標(2017年版)》)提出了直觀想象素養(yǎng)等六大學科核心素養(yǎng)，2020年初頒布的《中國高考評價體系》對高考試題考查學科核心素養(yǎng)提出了要求.[1]高考數(shù)學試題作為高考評價的重要載體之一，也是對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行考查的重要載體.基于核心素養(yǎng)對高考試題進行分析和評價，有助于學科核心素養(yǎng)在高考試題中的落實和完善.

現(xiàn)有很多研究從定性[2, 3]或者定量[4-6]角度對某一年高考試題中的六大核心素養(yǎng)進行分析.有關直觀想象素養(yǎng)的研究包括課堂教學[7,8]、教材習題[9, 10]，以及定性分析高考試題中考查直觀想象素養(yǎng)所借助的數(shù)學問題背景和數(shù)學模型[11]等，但是對于新課標提出前、后直觀想象素養(yǎng)的考查趨勢、具體表現(xiàn)形式的考查等是需進一步探討的.同時，無論從課標層面，還是從教學層面，立體幾何都與直觀想象有著密切的聯(lián)系.[12-15]因此，本研究以2010—2019年高考數(shù)學試題中的立體幾何為例，定性和定量分析近十年直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式及其水平考查情況，分析新課標提出前后近十年來從考查空間想象、幾何直觀等關鍵能力向考查直觀想象素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變，以期對數(shù)學高考試題的命制以及教學實踐中的落實提供一定借鑒.

2 研究設計

2.1 試題分析框架的確定

本研究試題分析框架的確立，主要基于《課標(2017年版)》中直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵、具體表現(xiàn)形式以及水平劃分的表述.借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題，[12]根據(jù)這一內(nèi)涵表述，結(jié)合直觀想象素養(yǎng)的四個具體表現(xiàn)以及三個水平劃分，[12]構(gòu)建了本研究的試題分析框架，見表1.考慮到水平三面向自主招生考試，表1只選取了水平一、二.

2.2 試題編碼

2.2.1 對試題的量化計數(shù)

第一步，試題劃分.按照試題分析框架，用A、B、C、D依次分別表示“利用幾何圖形描述問題”、“借助幾何直觀理解和分析問題”、“運用空間想象認識事物”和“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”四個表現(xiàn)，其中每個表現(xiàn)對應的水平一分別表示為A-1,B-1，C-1，D-1，對應的水平二分別表示為A-2,B-2,C-2,D-2.

第二步，量化計數(shù).結(jié)合試題劃分，采用小題計數(shù)的方法統(tǒng)計2010—2019年高考試題中的立體幾何題目的數(shù)量.其中考查形式包括選擇題、填空題、解答題，解答題中會有2-3個小題，每一小題都記為一道題，共計846題.

2.2.2 對直觀想象素養(yǎng)考查情況的量化

借鑒已有文獻[9,10,18]，本研究對高考試題中直觀想象素養(yǎng)具體表現(xiàn)形式的考查，是對每一年高考試題中所有的立體幾何試題進行統(tǒng)計分析，計算得出每一年考查各具體表現(xiàn)形式的試題百分比，從而初步得出對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式考查的側(cè)重點.并且，用各具體表現(xiàn)形式考查水

表1 試題分析框架

圖1 試題量化過程注：①中Li(i=1,2,3,4) 依次分別表示“利用幾何圖形描述問題”、“借助幾何直觀理解和分析問題”、“運用空間想象認識事物”和“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直模型”四個表現(xiàn)上的取值； Lij(i=1,2,3,4)為第i個具體表現(xiàn)形式的第j個水平的權(quán)重(根據(jù)水平考查情況分別取值1，2，3)；nij則表示這一年(各省)高考試題中的屬于第i個具體表現(xiàn).

圖2 2010—2019年立體幾何試題在直觀想象素養(yǎng)的各具體表現(xiàn)形式上的數(shù)量百分比

平的加權(quán)平均來衡量試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查程度，具體步驟如圖1所示.

在量化過程中，計算的加權(quán)平均值不一定為整數(shù)，因此不易與賦值的水平一和水平二進行一一對應.本研究將各計算結(jié)果分類如下：

①當水平值為1時，說明無考查；

②當水平值為在1和1.5之間時，說明幾乎無考查，考查程度極低；

③當水平值在1.5和2.5(含1.5，不含2.5)之間時，考查程度一般；

④當水平值在2.5和3(含2.5，也含3)之間時，考查程度較高.

為了更加明確一整道試題對直觀想象素養(yǎng)具體考查水平情況，本研究將各個具體表現(xiàn)形式的水平值之和衡量試題的綜合水平值，從而進一步得出一道試題對直觀想象素養(yǎng)的具體考查水平.若存在一個成分的多個水平，則選擇最高水平值進行求和.當考查水平值總和處于4-9時，說明大部分試題對直觀想象素養(yǎng)的考查水平主要處于水平一，題目主要為基礎題，屬于中等水平.當試題的水平值為10—11時，說明試題主要為綜合題，對直觀想象素養(yǎng)的考查水平主要處于水平二.

3 數(shù)據(jù)結(jié)果分析

3.1 2010年—2019年試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式考查情況

3.1.1 直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的試題考查數(shù)量

從縱向看，近十年絕大多數(shù)年份的高考立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式考查的數(shù)量規(guī)律是：借助幾何直觀理解和分析問題>建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型>運用空間想象認識事物>利用幾何圖形描述問題(具體見圖2).

從橫向看，新課標提出以前，2010—2016年立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式考查的試題數(shù)量波動比較穩(wěn)定.新課標提出以后，各具體表現(xiàn)形式考查的試題數(shù)較2016年及其以前立體幾何試題而言是有所增加的.并且，考查“A-利用幾何圖形描述問題”這一具體表現(xiàn)形式的試題數(shù)量增加最多，增加了38%.

3.1.2 直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查程度

從表2看出，近十年立體幾何試題對“A-利用幾何圖形描述問題”、“B-借助幾何直觀理解和分析問題”、“C-運用空間想象認識事物”和“D-建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”表現(xiàn)形式考查程度的加權(quán)水平值分別處于1—1.5之間、2.1—2.7之間、1.7—2.0之間和1.9—2.1之間.

表2 2010—2019年直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查程度

可見，新課標提出以來，“利用幾何圖形描述問題”的考查無論是試題數(shù)量還是考查程度在數(shù)據(jù)上都有所增加，但是較其他三個表現(xiàn)形式而言仍有一定差距.實際上，近幾年絕大部分的題目已經(jīng)給出圖形，并且已有研究也表明高考試題對直觀想象此表現(xiàn)形式的考查主要是以函數(shù)圖象為載體.高考試題本身存在不同的目的和功能，試題的題型要由考核目的和考核層次決定.[19]因此，立體幾何高考相關試題對直觀想象此表現(xiàn)形式的考查較少以及考查程度較弱也是符合高考試題命題意圖的.

3.1.3 自主命題和非自主命題省份立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式考查程度的比較

結(jié)合圖3和圖4可以看出，新課標提出以后，自主命題省份對“A-利用幾何圖形描述問題”和“C-運用空間想象認識事物”這兩個表現(xiàn)形式的考查程度都有所增強.非自主命題省份對“B-借助幾何直觀理解和分析問題”這一表現(xiàn)形式的考查程度有所增強.

圖3 2010—2019年非自主命題省份立體幾何試題對各具體表現(xiàn)形式考查程度

圖4 2010—2019年自主命題省份立體幾何試題對各具體表現(xiàn)形式考查程度

圖5 2010—2019年立體幾何解答題考查直觀想象素養(yǎng)的各具體表現(xiàn)形式數(shù)量百分比

關于“D-建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”這一表現(xiàn)形式考查程度的加權(quán)平均值，近十年非自主命題省份立體幾何試題集中在2—2.5之間，自主命題省份立體幾何試題在2左右.實際上這一定量分析的結(jié)果和試題中具體類型的立體幾何試題有著密切的聯(lián)系.在近十年的試題中，每一年必考的立體幾何解答題屬于對此表現(xiàn)形式考查的典型試題，通過建立空間直角坐標系的形式進行考查.從圖5也可以看到，新課標提出前后，立體幾何解答題考查“D-建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”這一具體表現(xiàn)形式的試題數(shù)集中在50%-60%左右，并且對此表現(xiàn)形式的考查程度也較強.

圖6 2010—2019年立體幾何解答題對直觀想象素養(yǎng)的各具體表現(xiàn)形式考查程度

各省市每年必考的立體幾何簡答題，題型穩(wěn)定，線面關系的論證和空間角的求解，對“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”這一表現(xiàn)形式考查的試題數(shù)量總體上會較多.同時從圖6中也可以看出，立體幾何解答題對直觀想象素養(yǎng)的“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”以及“借助幾何直觀理解和分析問題”表現(xiàn)形式考查程度相對較高.由于“形與數(shù)”之間建立聯(lián)系為幾何直觀作了鋪墊，而且此類簡答題都是題目中已給出相關圖形，所以伴隨著對“借助幾何直觀理解和分析問題”這一表現(xiàn)形式的考查試題數(shù)量較直觀想象其他表現(xiàn)形式偏多，考查程度也最強.

圖7 2010—2019年立體幾何相關各試題對直觀想象素養(yǎng)考查水平統(tǒng)計圖

3.2 2010年—2019年試題考查直觀想象素養(yǎng)水平情況

為了進一步分析和比較試題對直觀想象素養(yǎng)水平考查情況，對近十年的立體幾何試題進行分析和統(tǒng)計得到圖7.可見，整體上近十年立體幾何試題的綜合水平值為10-11的試題數(shù)量較少，都小于25%.說明大部分立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)的考查水平值總和處于4-9，對直觀想象素養(yǎng)的考查水平主要處于水平一，題目主要為基礎題.但是，新課標提出以后，綜合水平值為10-11的立體幾何試題有明顯的增加，說明近年來考查直觀想象素養(yǎng)的立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)的考查水平越來越接近水平二，新課標提出以后高考試題的命制越來越符合新課標對考試評價提出的要求以及教育部對高校招生工作以及命題提出的要求.

4 研究結(jié)論及其啟示

4.1 研究結(jié)論

通過上述分析，近十年立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)的考查有如下特點：

(1)主要集中在“借助幾何直觀理解和分析問題”和“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”兩個具體表現(xiàn)形式.

近十年，“借助幾何直觀理解和分析問題”和“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”這兩個表現(xiàn)形式考查的試題數(shù)量主要都大于60%，而“借助幾何圖形描述問題”這一表現(xiàn)形式考查的試題數(shù)量在10%左右且考查試題數(shù)量最少.新課標提出以來，2018、2019年高考立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各表現(xiàn)形式考查的試題數(shù)量逐年增加，對各表現(xiàn)形式考查的程度逐年有所增強.直觀想象和立體幾何都離不開圖形這一載體，題干中未給出相關的圖形，在對直觀想象素養(yǎng)“借助幾何直觀理解和分析問題”考查的同時，也會在不同程度上對“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”，“運用空間想象認識事物”或者“利用幾何圖形描述問題”這幾個表現(xiàn)形式進行考查.同時，2018年的立體幾何相關試題中有6題的題目中未給出圖形，2019年的立體幾何相關試題中有9題的題目中未給出圖形，說明新課標提出以后，選擇題和填空題對直觀想象素養(yǎng)各表現(xiàn)形式的考查日趨全面，使得“利用幾何圖形描述問題”這一表現(xiàn)形式的考查在新課標提出以后有所增強.

(2)考查“利用幾何圖形描述問題”表現(xiàn)形式的試題數(shù)量有增加趨勢，“利用幾何圖形描述問題”和“借助幾何直觀理解和分析問題”的考查程度有增強趨勢.

盡管2010—2016年對“利用幾何圖形描述問題”表現(xiàn)形式考查的試題數(shù)量在8%上下波動，但新課標提出后對此考查的試題數(shù)量急劇上升.從考查程度看，2010—2016年對“利用幾何圖形描述問題”考查程度的加權(quán)水平值在1.05上下波動，“借助幾何直觀理解和分析問題”這一表現(xiàn)形式加權(quán)水平值在2.15上下波動，但是新課標提出后的加權(quán)水平值都有明顯增加，考查程度都有所增強.

(3)對“借助幾何直觀理解和分析問題”這一表現(xiàn)形式的考查程度最強.

近十年立體幾何試題對“B-借助幾何直觀理解和分析問題”這一表現(xiàn)形式的考查程度最強，對“A-利用幾何圖形描述問題”這一表現(xiàn)形式的考查程度最弱.“C-運用空間想象認識事物”和“D-建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”這兩個表現(xiàn)形式考查的程度相對穩(wěn)定.同時，新課標提出后對各具體表現(xiàn)形式的考查程度都有所增強.并且對“借助幾何直觀理解和分析問題”的考查程度最強.

(4)非自主命題省份高考立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查程度強于自主命題省份.

近十年非自主命題省份和自主命題省份高考立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查程度，基本上和整體對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查程度一致.進一步從圖3和圖4得知，非自主命題省份高考立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查程度強于自主命題省份.2010—2016年自主命題省份的立體幾何試題對“利用幾何圖形描述問題”、“借助幾何直觀理解和分析問題”以及“運用空間想象認識事物”考查程度相對集中，新課標提出后自主命題省份的立體幾何試題對“利用幾何圖形描述問題”、“借助幾何直觀理解和分析問題”以及“運用空間想象認識事物”較2010—2016年而言考查程度都有所增強.但在“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”方面的考查程度相對比較穩(wěn)定.

(5)對直觀想象素養(yǎng)考查水平漸趨水平二.

新課標提出前后對直觀想象素養(yǎng)的考查水平存在差異.從試題整體考查的綜合水平值看，新課標提出后的直觀想象素養(yǎng)考查試題的綜合程度有增強，并且考查水平逐年趨近水平二.不同類型試題在考查不同核心素養(yǎng)要求上有不同的功能，[20]正如畢業(yè)會考和高考評價功能的差異性，對水平一和水平二考查的試題也存在差異，發(fā)揮不同的評價功能.例如，三視圖類試題和棱錐或者棱柱外切、內(nèi)切問題，三視圖類試題屬于基礎題，直觀想象各表現(xiàn)形式的考查主要側(cè)重水平一.實際上，這一類試題更符合畢業(yè)會考的標準，而非高考試題命制的標準.另外，此類試題具有一定的必考性和題型的穩(wěn)定性，對近三年整體立體幾何試題對水平一和水平二的考查情況產(chǎn)生影響.棱柱外切、內(nèi)切問題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查更加側(cè)重水平二，與三視圖類試題相比，更符合高考評價的標準，試題的水平值之和較大，綜合程度更高.隨著此類試題近年來在高考試題中出現(xiàn)的頻率增大，使得試題的考查逐漸從水平一向水平二偏移，綜合程度高的試題數(shù)逐年有所增加.

4.2 啟示

4.2.1 注重在教學中落實對數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

近年來，高考命題具有以學科核心素養(yǎng)為導向的命題形勢.從上述研究結(jié)論中可以看到隨著新課標的提出，考查“利用幾何圖形描述問題”這一具體表現(xiàn)形式的試題數(shù)量以及考查程度都有增加的趨勢，立體幾何相關試題未給出圖形的試題數(shù)量亦呈現(xiàn)逐年增加的趨勢.高考試題不再追求題目結(jié)構(gòu)的完整，試題綜合程度有所增強，對學生的考查不僅僅是側(cè)重基礎知識的理解，更是側(cè)重對學科素養(yǎng)的考查，強調(diào)對知識的遷移.試題對直觀想象素養(yǎng)考查水平也漸趨水平二.因此教學中需要落實直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，而直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，是一個循序漸進的過程.

(1)觀察直觀圖與已知的文字描述和數(shù)學符號描述之間的關系.

在立體幾何教學的初始階段，設計立體幾何問題時，需要我們將問題的文字語言，搭配圖形語言一起展示給學生，讓學生建立數(shù)與形之間的聯(lián)系.這一過程是學生學習用直觀圖表達幾何對象的過程，若缺失此過程，學生自主建立幾何直觀模型時易存在畫不出來，也想象不出的問題.

(2)利用直觀想象，抓住關鍵位置關系建立直觀模型.

2020年全國卷中多次出現(xiàn)不配圖形的立體幾何問題，這些問題雖然難度不大，但是需要學生能夠根據(jù)題目的條件，建立幾何直觀模型，再進行求解，對學生的直觀想象素養(yǎng)要求較高.平面幾何問題大多數(shù)是可以利用尺規(guī)進行精確作圖的，但是立體幾何問題在作圖的初始階段就構(gòu)成了一定的操作難度.學生存在的難點之一即畫出符合題意的立體圖形，由于畫立體圖形的難度較大，在解題中，學生的直觀想象素養(yǎng)就比較重要，一方面，學生需要盡可能畫出符合題意的圖形，另一方面，也要結(jié)合空間想象，將該圖形中的核心關系想象出來，進行平面化解釋，才能順利理解題目的已知量和所求量之間的關系，進而順利求解.因此在教學中，要引導學生學會將問題轉(zhuǎn)化為圖形.

(3)善于將立體問題平面化，在立體幾何問題當中，抽離出其中某個平面中的幾何關系，進而順利解決問題.

立體幾何問題中的難點就是在平面上畫出的立體圖形所表達的位置關系是不精確的，甚至是模糊不清的，這也是造成學生求解困難的根本原因.因此，需要借助直觀想象，將立體幾何中關鍵的平面中的幾何關系，從立體幾何圖形中抽離出來，形成精確的平面圖形，進而解決立體幾何中的問題.

4.2.2 注重在高考試題的命制中落實數(shù)學核心素養(yǎng)的評價要求

《課標(2017年版)》是高考命題的依據(jù)之一.根據(jù)上述研究結(jié)論，提出如下命題建議：

(1)均衡高考試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式以及考查水平的要求.

目前高考立體幾何試題對直觀想象素養(yǎng)各具體表現(xiàn)形式的考查并不均衡，且主要集中在水平一，這不太符合新課標的要求.例如，2020年全國III卷的第8題三視圖問題，采用已知一個三棱錐的三視圖，求其表面積的問題，該題存在一定的局限性.高考數(shù)學的命題以選拔為基本目標，但是并未將對知識的考查作為唯一的目標，其對知識的考查更多的是基于對考試進一步學習所必需的數(shù)學知識儲備與數(shù)學能力儲備的考查，基于對考生作為未來公民所必要的數(shù)學素養(yǎng)的考查.[20]當試題只是片面考查某一單一的知識點或者直觀想象素養(yǎng)的某一具體表現(xiàn)形式時，則高考試題的評價功能并不能很好地發(fā)揮，容易變成對學生機械記憶以及重復訓練的知識進行考查，不符合“一核四層四翼”考試評價要求.

(2)重視對數(shù)學三種語言的綜合考查，更全面考查直觀想象各具體表現(xiàn)形式，并符合課標對各具體表現(xiàn)形式考查水平的要求.

這是與球有關的求解問題，球的圖形學生都很熟悉，但是要畫出空間感卻很難，因此需要分析題目條件，根據(jù)題目條件設計合理的草圖，再根據(jù)圖形進行求解.畫圖的過程體現(xiàn)了數(shù)學三種語言的轉(zhuǎn)化，同時，考查學生的直觀想象素養(yǎng)，是一道優(yōu)質(zhì)題目.

(3)試題命制時題型多變，可考慮以開放型試題綜合考查學生的直觀想象素養(yǎng)水平，以學生運用知識綜合靈活解決數(shù)學問題作為評價的重要指標，從而對學生的直觀想象水平進行有效地評價.

近年來，各省市的立體幾何綜合問題基本上是傳統(tǒng)的給出幾何體，進行線面關系的論證和空間角的求解，這一模式化命題慢慢成為固定套路的題目，在學生備考時往往充當了機械化訓練的推手，對培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的作用微乎其微.為了更好發(fā)揮高考指揮棒的“引導”作用，需要打破傳統(tǒng)的命題模式，探索多樣化的命題方式，從能力立意的角度對學生進行考查.

總之，高考命題需要探索和明確如何落實學科核心素養(yǎng)的考查，不應過分聚焦在知識取向、過分關注標準答案的測評方式和命題模式，實現(xiàn)高考試題命制和考試評價制度改革的有效結(jié)合，以便更好發(fā)揮高考的評價功能，真正發(fā)揮立德樹人、引導教學的目標，使得學生真正得到全面發(fā)展.