祝敏芝

(浙江省臺州市三門縣教師發(fā)展中心 317100)

《辭?！分小爸庇^是不經(jīng)過理智推理過程，而由感覺或精神直接體驗的一種認識作用”，“想象是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程.”康德認為：一切人類認知都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結(jié)束.直觀想象是一種重要的思維方式，也是數(shù)學(xué)認知的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)直觀展開想象是值得研究和關(guān)注的問題.

1 直觀想象的含義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》指出，“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.”[1]徐利治先生認為，“學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明，只有當我能把定理的直觀含義和直觀思路弄明白了，我才認為真正懂了.……在數(shù)學(xué)中，我寧愿把直觀一詞解釋為借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認識.”[2]F.克萊因在《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》中指出：“空間觀念的起源有兩個，一個是對空間觀念的直覺，可以通過量度而直接意識到.另一個是主觀的理想化的直覺，它超越感官觀察的不精確性.”[3]首都師范大學(xué)朱一心教授在《數(shù)學(xué)的可視化直觀》的演講中提出，“數(shù)學(xué)直觀主要體現(xiàn)為數(shù)感、空間觀念與幾何直觀，還有公眾不太知道的一種可操作或可實現(xiàn)的‘關(guān)系’與‘程序’，能引起對數(shù)學(xué)某種知識和理論的聯(lián)想、感悟，從而把知識理解成一種我們可以了解的直觀.” 張廣祥、張奠宙指出代數(shù)教學(xué)中的模式直觀，并將模式直觀分為常識性、遷移性、和諧性、符號性四種[5].馮靜、許亞桃、吳立寶提出“學(xué)生幾何思維的直觀、描述、理論三個水平對應(yīng)著直觀想象素養(yǎng)的三個層次：原型直觀、表象直觀和想象直觀.”[6]

數(shù)學(xué)直觀表現(xiàn)方式主要有關(guān)于事物空間形式的感知、關(guān)于事物背景意義的認識以及關(guān)于事物邏輯關(guān)系或形成發(fā)展秩序的感悟.數(shù)學(xué)想象是借助經(jīng)驗、觀察、實驗、直覺歸納與類比聯(lián)想等思維方式，尋找直觀的空間形式、直觀模型或直觀形態(tài)，把握和理解比較抽象、深刻的思維對象.

2 直觀想象的途徑與方式

2.1 基于量度的圖形直觀

如，a-b表示兩個數(shù)的差，也可以理解為兩條線段的長度之差，其絕對值也是數(shù)軸上兩點之間的距離，這樣兩數(shù)差就有了直觀的意義.基于度量的數(shù)形轉(zhuǎn)換與基于坐標的數(shù)形結(jié)合是量度的兩種最主要的途徑與方式.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.2 基于具象的模型直觀

表象是保持在記憶中某一事物的形象，是感知、記憶的結(jié)果；具象是根據(jù)個體的需要、態(tài)度、體驗和思想觀念來綜合取舍表象進而形成的表象結(jié)果.

圖5

二是符號化模型.符號化是人類對信息最強有力的壓縮加工方式，通常有數(shù)學(xué)語言、符號或圖表等等.如，任何6個人中必有3人相互認識或者3人相互不認識.6個人用6個點表示，認識用實線連結(jié)，不認識用虛線連結(jié)，則從某個人A出發(fā)與另外五個人連結(jié)的線中至少有三條AB、AC、AD同為虛線或同為實線(不妨設(shè)為實線)，如圖5，這四個人的連線中必存在同為實線或同為虛線的三角形.又如歐拉將七橋問題提煉為一筆畫問題，創(chuàng)立了圖論.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題被轉(zhuǎn)化為一個圖式，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”[7]

2.3 基于經(jīng)驗的關(guān)系直觀

還有一種直觀超越圖形、具象等知覺的局限，是一種基于經(jīng)驗的精神體驗與認識的直觀.F.克萊因認為運算法則是知覺的直接而必然的結(jié)果，并舉例說明“交換律的成立就是因為觀察到圖形：：：得到2·3=3·2，當點數(shù)適當多，這種直接知覺就不行了，但求助于數(shù)學(xué)歸納法這一抽象的直觀，能使我們超越感官知覺所達不到的界限.”[2]一般地，相對于陌生熟悉是直觀的，相對于復(fù)雜簡潔是直觀的，相對于特殊普遍是直觀的，相對于衍生本原是直觀的.關(guān)系直觀是指以相對具體的、熟悉的、普遍的、本原的模式作為背景，引起對數(shù)學(xué)某種知識和理論的聯(lián)想、感悟，從而形成對事物之間邏輯關(guān)系的一種比較直接的、形象的推斷與理解.事物之間的邏輯關(guān)系可分為某個數(shù)學(xué)知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系的分析還原與幾個數(shù)學(xué)知識之間相互關(guān)系的同構(gòu)映射.

二是相互關(guān)系直觀.相互關(guān)系直觀是指把問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)抽象出來，映射到一個同構(gòu)或同態(tài)的結(jié)構(gòu)上去，形成問題的直觀理解或求解方法.項武義教授說：“我當時提出三個幾何基本定理：一個是平行四邊形定理,一個是勾股定理, 另外一個是相似三角形的定理, 討論這三個定理的證明后, 就用它們來引進向量運算.基于上述三個幾何定理, 強調(diào)向量的運算律, 特別是分配律就是上述幾何的基本定理的代數(shù)形式.”[8]向量的運算及運算律是空間本質(zhì)的一種至精至簡的表達.

關(guān)系直觀通常是采用形式化的數(shù)學(xué)語言概括地或近似地表達出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

3 直觀想象的教學(xué)思考

F.克萊因的《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》在第二卷的序言中寫道，“我想到的是更深入、更廣泛的融合……我始終努力想使算術(shù)、代數(shù)及分析的抽象討論生動活潑起來，利用圖示和作圖使內(nèi)容更容易為個人所接受.”[4]在教學(xué)上要充分體現(xiàn)代數(shù)與幾何的融合，直觀與抽象的融合，感性與理性的融合，讓學(xué)生真正弄懂數(shù)學(xué)知識的直觀含義和直觀思路.

3.1 圖形直觀——直觀與抽象的融合

圖形直觀可以是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，形與形的轉(zhuǎn)換，也可以是數(shù)與形之間多層面的交叉表達.

圖6

例2設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b在[-1,1]上存在零點，且存在t∈[2,3]，使得0≤ta+b≤2，求b的取值范圍.如果用代數(shù)方法求解或利用f(x)=x2+ax+b的圖象討論a,b應(yīng)滿足的關(guān)系，問題解決都會很繁難.注意到式子f(x)=x2+ax+b與 0≤ta+b≤2之間的聯(lián)系紐帶是直線y=ax+b，如圖7，函數(shù)f(x)=x2+ax+b在[-1,1]上存在零點可以看成是直線與曲線有交點；存在t∈[2,3]，使得0≤ta+b≤2即表示直線與矩形區(qū)域有交點，這樣借助圖形直觀可以“看”出問題的結(jié)果.

圖7

例3(清華大學(xué)自主招生試題)已知x,y,z都是正數(shù)，且滿足(x+y+z)xyz=4，求(x+y)2+2(y+z)2+3(z+x)2的最小值.

圖8

如圖8，在AB上取點D，使得AD∶DB=1∶2，

則a2=BC2=CD2+DB2-2CD·BD·cos∠CDB，

2b2=2CA2=2CD2+2AD2-4CD·AD·cos∠CDA，

圖形直觀可以啟迪思路，但構(gòu)圖有難易，分析有繁簡，需要合理的選擇與變通.直觀是抽象的基礎(chǔ)，抽象是直觀的延伸，兩者不可分割，在感知事物的形態(tài)與變化過程中相互伴隨，不斷循環(huán)推進.

3.2 模型直觀——感性與理性的融合

模型直觀以具體的現(xiàn)實情境、生活經(jīng)驗或符號圖表等容易理解的具象作為背景，在直觀感知的基礎(chǔ)上形成對事物關(guān)系的理性認識.

從三角運算看，

從物理意義看，如圖9，7個力均勻地分布在單位圓上，那么合力必為零，所以在水平方向上分量之和為0.

圖9

從向量運算看，因為正多邊形的外角和等于360°，所以這7個向量正好可以首尾連接(如圖10)，那么向量和為0，所以在水平方向上分量之和為0.不同的學(xué)科、數(shù)學(xué)中的不同分支之間的完美統(tǒng)一，讓數(shù)學(xué)知識有了可視化的直觀.

圖10

3.3 關(guān)系直觀——經(jīng)驗與理念的融合

關(guān)系直觀在于事物間相似的迅速聯(lián)想，洞察某種可操作或可實現(xiàn)的關(guān)系與程序，讓思維對象呈現(xiàn)出一種能反映事物間的相互關(guān)系、運算性質(zhì)的整體結(jié)構(gòu)，或者在某種限定條件下的一個局部結(jié)構(gòu).借助這些邏輯關(guān)聯(lián)的直觀化與系統(tǒng)化，得以將局部的直觀經(jīng)驗上升到系統(tǒng)的抽象理念，從而豐富認知深度及廣度.

例6(清華大學(xué)THUSSAT中學(xué)生標準學(xué)術(shù)能力測試題)已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a3+b3+c3的最小值.

分析1：a+b=1-c，a2+b2=1-c2,

圖11

菲爾茲獎獲得者康奈爾大學(xué)教授威廉瑟斯頓說過，“一旦我看到一些我無法理解的東西，我會去反省和思考，用心靈的眼睛去探求，直到某個時候，視角奇跡般的發(fā)生了改變，從迷霧和困惑中出現(xiàn)了形狀、秩序與聯(lián)系.”[9]

4 結(jié)束語

圖12