胡鑫娜，孫杰

摘要：討論一類奇異積分算子與Besov函數(shù)生成的交換子從Lebesgue到Triebel-Lizorkin空間及在Lebesgue空間上的有界性.

關(guān)鍵詞：Triebel-Lizorkin空間;Besov函數(shù);交換子;極大函數(shù)

[中圖分類號(hào)]O 174.2[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Boundedness for Commutators of a Type of Singular Integral

Operators and Besov function

HU Xinna，SUN Jie

（College of Mathematical Science;Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：In this paper，we discuss the commutator generated by a type of singular integral operators and Besov function is bounded from Lebesgue spaces to Triebel-Lizorkin spaces and to Lebesgue spaces.

Key words：Triebel-Lizorkin spaces;Besov function;commutator;the Maximal function

算子理論是調(diào)和分析的核心內(nèi)容，證明奇異積分算子與適當(dāng)函數(shù)生成的交換子的有界性問(wèn)題是算子理論研究的重要內(nèi)容.1976年Coifman，Rochberg和Weiss首次介紹了經(jīng)典奇異積分算子T與局部可積函數(shù)b生成的交換子[b，T][1]，證明了奇異積分算子T與BMO函數(shù)生成的交換子有界.自此之后，交換子的問(wèn)題得到了廣泛關(guān)注，取得了很多研究結(jié)果.[2-3]本文討論一類奇異積分算子與Besov函數(shù)生成的交換子從Ld到Fβ-n/p，∞d及Ld到Lr有界的問(wèn)題.

1預(yù)備知識(shí)

2003年Trujillo-González在參考文獻(xiàn)[4]中介紹了核滿足如下條件的奇異積分算子

定義1[4]設(shè)K∈L2（Rn）.若C0>0使

（1）‖K︿‖∞≤C0;（2）|K（x）|≤C0|x|n;（3）存在函數(shù)B1，…，Bm∈L1locRn＼{0}和Rn中的一族有界函數(shù)Φ={1，…，m}且detj（yi）2∈RH∞（Rnm）;（4）對(duì)固定的γ>0及|x|>2|y|>0，有K（x-y）-∑mj=1Bj（x）j（y）≤C0|y|γ|x-y|n+γ，對(duì)f∈C∞c（Rn），定義Tf（x）=∫RnK（x-y）f（y）dy.

當(dāng)m=1，j（y）=1，Bj（x）=K（x）時(shí)，上面定義中的算子是經(jīng)典的奇異積分算子.

定義1中的奇異積分算子與Besov函數(shù)生成的交換子定義為

Tbf（x）=[b，T]f（x）=b（x）Tf（x）-T（bf）（x）.

引理1[5]設(shè)1≤p≤∞.T是定義1的算子，則存在C>0，f∈Lp（Rn），有‖Tf‖p≤C‖f‖p，其中C與f無(wú)關(guān).

引理2（i）當(dāng)1

（ii）對(duì)任意1≤s

引理3[6]設(shè)f∈Lp（Rn），當(dāng)1

supQ1Q1+β/n-1/p∫Qb-bQdy≤supQ1Qβ/n+1/q-1/p∫Qb-bQqdy1/q≤Cb∧·p，qβ.

2結(jié)果與證明

2.1奇異積分算子交換子Tb是從Ld到Fβ-n/p，∞d有界的

定義1所定義的一類奇異積分算子是具有標(biāo)準(zhǔn)核奇異積分算子的推廣，故得到的結(jié)論對(duì)具有標(biāo)準(zhǔn)核的奇異積分算子的交換子也是成立的.

定理1設(shè)22qq-2，Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，則Tb是從Ld到F·β-n/p，∞d有界的.

證明固定方體Q=Q（xQ，s）.對(duì)于f∈C∞c（Rn），令f=f1+f2，其中f1=fχ2af2=f-f1.由Tbf=Tb-bQf.令A(yù)=∑mj=1Cjj-（y-xQ），Cj是待定常數(shù)j=1，2，…，m.有

∫QTbf（y）-（Tbf）Qdy≤2∫Qb（y）-bQTf（y）dy+2∫QT（b-bQ）f1（y）dy+

2∫QT（b-bQ）f2（y）-Ady∶=J1+J2+J3.

現(xiàn)估計(jì)J1，由Ho··lder不等式及引理4得到

J1≤2∫Qb（y）-bQqdy1q∫QTf（y）qq-1dyq-1q≤CQ1+βn-1qb∧·p，qβMqq-1（Tf）（x）.

再估計(jì)J2，當(dāng)21，由引理1及Ho··lder不等式，有

J2≤CT（b-bQ）f12Q12≤C（b-bQ）f12Q12≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβM2qq-2（f）（x）.

最后估計(jì)J3，由于b-b2Q≤1Q∫Qb（y）-b2Qdy≤C2Qβn-1pb∧·p，qβ，

那么可以得到b2kQ-bQ≤Ck2kQβn-1pb∧·p，qβ.

令Cj=∫Rnf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-bQdy.j=1，2，…，m.證明Cj有限.由f∈C∞c（Rn），設(shè)suppfQ0=（xQ，d），d>0.存在方體Q*，中心為xQ，使suppf∪2QQ*.Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，根據(jù)引理4，由Ho··lder不等式有

|Cj|≤∫Q*＼2Qf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-b2Qdy<∞.

由z∈（2Q）c，y∈Q，則|y-z|～|z-xQ|有

J3≤2∫Q∫（2Q）cK（y-z）-∑mj=1Bj（xQ-z）j（xQ-y）b（z）-bQf（z）dzdy.

由定義1中條件（4）可以得到J3≤C∫Q∫（2Q）c（xQ-z）-（y-z）γy-zn+γb（z）-bQf（z）dzdy.

插項(xiàng)有J3≤C|Q|∑∞k=2∫2kQ＼2k-1Q2-ky2kQ-1b（z）-bQ+b2kQ-b2kQf（z）dz.

再由引理4得到J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβ∑∞k=22k（-γ+β-npMq′（f）（x）+∑∞k=22k（-γ+β-npkM（f）（x）.

最后當(dāng)0<β-np

J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβMq′（f）（x）+M（f）（x）.

綜上，由于d>2qq-2以及22qq-2>qq-1=q′.且0<β<1，由引理2得

TbfF·β-np，∞d≤Cb∧·p，qβfd.

定理1得證.

2.2Tb是Ld到Lr有界的

證明滿足定義1中條件（1）到（4）的一類奇異積分算子的交換子Tb是Ld到Lr有界的，即在Lebesgue空間上的有界性.

定理2設(shè)0<β<1，1

證明利用變量替換，有

Tbf（x）≤∫Rnb（x）-b（x-t）K（t）f（x-t）dt≤C0∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdt.考慮Tbf的Lr范數(shù)

Tbfr≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdtrdx1r∶=S1.

q>1，對(duì)變量t用Ho··lder不等式

S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtrq∫Rnf（x-t）tn-nq-βqq-1dtr（q-1）qdx1r.

由于pr>1再對(duì)x用Ho··lder不等式

S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtpqdx1p∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.

應(yīng)用廣義Minkowski不等式有

S1≤Cb∧·p，qβ∫Rn∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.

令α=q βq-1，取g=fqq-1，由1r=1d-βn+1p和qq-1

S1≤Cb∧·p，qβgq-1qd（q-1）q≤Cb∧·p，qβfd.

定理2得證.

3結(jié)論

本文討論了一類奇異積分算子與Besov函數(shù)生成的交換子從Lebesgue到Triebel-Lizorkin空間及在Lebesgue空間上的有界性問(wèn)題，推廣了經(jīng)典奇異積分算子交換子的相關(guān)結(jié)果，對(duì)后續(xù)交換子的研究具有一定的推動(dòng)作用.

參考文獻(xiàn)

[1]Coifman R.，Rochberg R.and Weiss G..Facorization theorems for Hardy spaces in several variables[J].Ann of Math.，1976，103（3）：611-635.

[2]Paluszyński M..Characterization of the Besov spaces via the commutator operator of Coifman，Rochberg and Weiss[J].Indiana Univ.Math.J.，1995，44：1-17.

[3]孫杰.Hardy算子與加權(quán)BMO函數(shù)生成交換子的加權(quán)估計(jì)[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2019（4）：15-18.

[4]Trujillo-González R..Weighted norm inequalities for singular integrals operators satisfying a variant of Hormander condition[J].Comment Math.Univ.Carolin.，2003，44（1）：137-152.

[5]Grubb D.J.，Moore C.N..A variant Hormander's condition for singular integrals[J].Colloq.Math.，1997，73（2）：165-172.

[6]Gao X.L.，Ma B.L..The boundedness of commutators of singular integral operators with Besov functions[J].Scientific Horizon，2010，8（3）：245-252.

[7]周民強(qiáng).調(diào)和分析講義[M].北京大學(xué)出版社，2003，67-71.

編輯：琳莉